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#1 21-04-2017 20:09:03

emna123
Invité

Polynôme

Bonjour

Merci de m'aider à montrer le résultat suivant:

Soit [tex]P[/tex] un polynôme alors [tex]P=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nz^n[/tex] avec [tex]a_n=\frac{f^{n}(0)}{n!}[/tex].
Montrer qu'il existe deux constantes [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex] strictement positives tel que
[tex]C_1 r^n\le M(r)\le C_2 r^n[/tex] pour [tex]r[/tex] assez grand? où [tex]M(r)=max_{|z|=r}|P(z)|[/tex]

Merci en avance

#2 21-04-2017 21:15:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 483

Re : Polynôme

Bonjour

  Sépare dans ton polynôme le terme de plus haut degré des autres puis majore et minore en utilisant l'inégalité triangulaire de la façon la plus naïve possible.

Fred

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#3 21-04-2017 21:39:36

emna123
Invité

Re : Polynôme

[tex]|\displaystyle P(z)|=|\sum_{i=1}^{n} a_iz^i|=|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i+a_nz^n|[/tex]

[tex]\Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le |\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i|+|a_nz^n|[/tex]

et ensuite que faut il faire?

#4 22-04-2017 08:57:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 483

Re : Polynôme

Puisque tu tt'intéresses à M(r) tu spooses que le module de z vaut r. Dans l'inégalité de droite tu peux encore utiliser l'inégalité triangulaire puis utiliser que  $ r^k $ est bien plus petit que  $ r^n $ si  $ r $ est assez grand...

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#5 22-04-2017 09:34:26

emna123
Invité

Re : Polynôme

Bonjour Fred,

[tex]\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;|z|^i=\sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^i\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^n[/tex] car pour [tex]r[/tex] assez grand [tex]r^k\le r^n[/tex] pour tout [tex]1\le k\le n-1[/tex]

pour le terme à gauche [tex]\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|[/tex] implique
[tex]\displaystyle |a_nz^n|-|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| \le |\displaystyle P(z)|[/tex] implique

[tex]\displaystyle |a_nz^n|-\sum_{i=1}^{n-1}| a_i|\;|z|^i\le |\displaystyle P(z)|[/tex]  et je sait pas quoi faire ici?

#6 22-04-2017 15:43:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 483

Re : Polynôme

Presque pareil....

$\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|r^i\le \frac{|a_n|}2 r^n$
pour $r$ assez grand....

F.

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#7 22-04-2017 16:58:43

emna123
Invité

Re : Polynôme

D'accord,

J'ai une autre question:
Pour un polynôme de degré $n$ on considère

[tex]f(z) = e ^{p_n(z)}[/tex], je veux montrer qu'il existent  des  constantes [tex]c_1,c'_1,c_2, c'_2[/tex]  tel que
[tex]c_2e^{c'_2R^n}\le |f(z)|\le c_1e^{c'_1R^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] assez grand.

voici ce que j'ai écrit:
[tex]|f(z) |= |e ^{p_n(z)}|=e ^{Re(p_n(z))}\le e^{|p_n(z)|}\le e^{cR^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] supérieur ou égal à 1  où [tex]c=n \max_{0 \leq k \leq n} |a_k| R^n[/tex] (on utilise l'inégalité triangulaire)

Mais pour l'inégalité à gauche je n'ai pas pu la montré. Je serai reconnaissante si vous m'aidez

#8 22-04-2017 17:18:26

emna123
Invité

Re : Polynôme

edit: les constantes doivent être strictement positives

#9 22-04-2017 17:57:33

emna123
Invité

Re : Polynôme

En fait mon but initial est de prouver l’existence des constante strictement positives [tex]\displaystyle c_1,c'_1,c_2, c'_2[/tex] tel que

[tex]M(R)=max_{|z|=R}|f(z)|[/tex] vérifie

[tex]\displaystyle c_2e^{c'_2R^n}\le M(R)\le c_1e^{c'_1R^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] assez grand

#10 22-04-2017 20:48:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 483

Re : Polynôme

Re-

  Tu choisis un $z$ avec $|z|=R$ et tel que $Re(a_n z^n)=|a_nz^n|=|a_n|R^n$ (je te laisse justifier l'existence d'un tel $z$, écris $a_n$ sous forme trigo...). Puis ensuite
$$Re(P(z))\geq Re(a_n z^n)-\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z^i|$$
et tu termines comme précédemment....

F.

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#11 22-04-2017 22:12:24

emna123
Invité

Re : Polynôme

[tex]a_n=Re(a_n)+iIm(a_n)[/tex], soit [tex]z=Re^{i\theta}[/tex]

[tex]Re\Big(a_nz^n\Big)=Re\Big((Re(a_n)+iIm(a_n))(R^n(cos(n\theta)+isin(n\theta)))\Big)=R^n[Re(a_n) (cos(n\theta))-Im(a_n)sin(n\theta)][/tex]
et
[tex]|a_nz^n|=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}R^n[/tex]

Il faut choisir [tex]\theta[/tex] tel que
[tex]Re(a_n) cos(n\theta)-Im(a_n)sin(n\theta)=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}[/tex]

je n'arrive pas à trouver un tel  [tex]\theta[/tex]. Merci de m'aider

#12 23-04-2017 06:17:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 483

Re : Polynôme

Tu n'as pas lu mon indication !

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#13 12-05-2017 12:00:52

Chehrouri
Invité

Re : Polynôme

bonjour;
Voila ma question: je dispose d'1 tableau; à 2 colonnes les (xi,yi)  (les xi sont équidistants) et je compte faire une interpolation en polynôme de Tchebychev, pour trouver ce polynôme la règle impose que les xi doivent être sous forme xi=( ......abscisses de Tchebychev ) mais comment trouver les yi qui leurs correspondent afin de trouver les coefficients de Tchebychev (a0,a1,a2,.........an), je ne dispose pas d'une fonction analytique, je dispose que du tableau de valeurs discrètes cité ci dessus (xi,yi).

#14 24-05-2017 22:53:31

mouradch
Invité

Re : Polynôme

bonjour;
Voila ma question: je dispose d'1 tableau; à 2 colonnes les (xi,yi)  (les xi sont équidistants) et je compte faire une interpolation en polynôme de Tchebychev, pour trouver ce polynôme la règle impose que les xi doivent être sous forme xi=( ......abscisses de Tchebychev ) mais comment trouver les yi qui leurs correspondent afin de trouver les coefficients de Tchebychev (a0,a1,a2,.........an), je ne dispose pas d'une fonction analytique, je dispose que du tableau de valeurs discrètes cité ci dessus (xi,yi).

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