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#1 15-05-2017 23:37:22

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 46

les âges

Bonjour

Les âges de 3 personnes sont entiers et la somme de leurs carrés égale leur produit.
La plus âgée n’étant pas encore centenaire, quels sont leurs âges ?

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#2 16-05-2017 12:22:55

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 464

Re : les âges

Bonjour,

Dernière modification par Terces (16-05-2017 12:24:11)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#3 16-05-2017 12:28:47

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 098

Re : les âges

Salut,

sujet beaucoup trop facile à résoudre avec un automate !


Memento Mori ! ...

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#4 16-05-2017 12:52:22

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 151

Re : les âges

Salut,

+1 pour freddy


@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 17-05-2017 00:03:25

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 46

Re : les âges

Bien sûr l'intérêt n'est pas dans la résolution algorithmique.

Mais on obtient sans effort les réponses.

Sinon comment résoudre l'équation?

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#6 18-05-2017 16:14:57

Rossignol
Membre
Inscription : 19-06-2015
Messages : 68

Re : les âges

Bonjour à tous,

Juste une remarque pour faire avancer la question.

Si $(x, y, z)$ et $(x, y, t)$ sont deux solutions du problème avec $z \neq t$, on a
$$\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2}+z^{2} &=&xyz \\
x^{2}+y^{2}+t^{2} &=&xyt
\end{eqnarray*}$$
La différence membre à membre donne $z^2-t^2=xyz-xyt$
d'où $(z-t)(z+t)=xy(z-t)$ 
Comme $z-t \neq 0$ on en déduit $z+t=xy$ et $t = xy-z$.
Donc, si $(x, y, z)$ est une solution, alors $(x, y, xy-z)$ est aussi une solution.

Partant de $(3, 3, 3)$ on obtient $(3, 3, 3\times3-3) = (3, 3, 6)$

Avec cette nouvelle solution, on a deux possibilités, compte tenu des symétries :

$(3,3,6)$ donne $(3,3, 3\times3-6) = (3,3,3)$

$(3,6,3)$ donne $(3,6, 3\times6-3) = (3,6,15)$

Avec $(3,6,15)$ on a trois possibilités:

$(3,6,15)$ donne $(3, 6, 3\times6-15) = (3, 6, 3)$

$(6, 15, 3)$ donne $(6, 15,6\times15-3) = (6, 15, 87)$

$(15, 3, 6)$ donne $(15, 3, 15\times3-6) = (15, 3, 39)$

...etc

On doit pouvoir montrer qu'on obtient ainsi toutes les solutions par une descente façon Fermat : partant d'une solution $(x, y, z)$ on descend jusqu'à $(3, 3, 3)$.

Quant à trouver une formule explicite pour la solution, c'est une autre histoire...

@+

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#7 19-05-2017 00:50:18

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 46

Re : les âges

bonjour rossignol

Est-on certain de tomber sur (3,3,3) si l'on part d'une solution (x,y,z)?
Par ailleurs, a-t-on besoin d'une formule explicite?

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#8 22-05-2017 23:21:00

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 46

Re : les âges

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