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#1 15-05-2017 22:37:22

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 54

les âges

Bonjour

Les âges de 3 personnes sont entiers et la somme de leurs carrés égale leur produit.
La plus âgée n’étant pas encore centenaire, quels sont leurs âges ?

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#2 16-05-2017 11:22:55

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 464

Re : les âges

Bonjour,

Comme ca ?

3 3 3
3 3 6
3 6 15
3 15 39
6 15 87

Dernière modification par Terces (16-05-2017 11:24:11)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#3 16-05-2017 11:28:47

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 142

Re : les âges

Salut,

sujet beaucoup trop facile à résoudre avec un automate !


Memento Mori ! ...

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#4 16-05-2017 11:52:22

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 421

Re : les âges

Salut,

+1 pour freddy

Ces 5 lignes de code...
for x in range (1,100)
  for y in range(x,100):
    for z in range(y,100):
      if x**2+y**2+z**2==x*y*z:
        print ("solutions",x,y,z)

me donnent instantanément les solutions proposées par Terces

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 16-05-2017 23:03:25

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 54

Re : les âges

Bien sûr l'intérêt n'est pas dans la résolution algorithmique.

Mais on obtient sans effort les réponses.

Sinon comment résoudre l'équation?

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#6 18-05-2017 15:14:57

Rossignol
Membre
Inscription : 19-06-2015
Messages : 100

Re : les âges

Bonjour à tous,

Juste une remarque pour faire avancer la question.

Si $(x, y, z)$ et $(x, y, t)$ sont deux solutions du problème avec $z \neq t$, on a
$$\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2}+z^{2} &=&xyz \\
x^{2}+y^{2}+t^{2} &=&xyt
\end{eqnarray*}$$
La différence membre à membre donne $z^2-t^2=xyz-xyt$
d'où $(z-t)(z+t)=xy(z-t)$ 
Comme $z-t \neq 0$ on en déduit $z+t=xy$ et $t = xy-z$.
Donc, si $(x, y, z)$ est une solution, alors $(x, y, xy-z)$ est aussi une solution.

Partant de $(3, 3, 3)$ on obtient $(3, 3, 3\times3-3) = (3, 3, 6)$

Avec cette nouvelle solution, on a deux possibilités, compte tenu des symétries :

$(3,3,6)$ donne $(3,3, 3\times3-6) = (3,3,3)$

$(3,6,3)$ donne $(3,6, 3\times6-3) = (3,6,15)$

Avec $(3,6,15)$ on a trois possibilités:

$(3,6,15)$ donne $(3, 6, 3\times6-15) = (3, 6, 3)$

$(6, 15, 3)$ donne $(6, 15,6\times15-3) = (6, 15, 87)$

$(15, 3, 6)$ donne $(15, 3, 15\times3-6) = (15, 3, 39)$

...etc

On doit pouvoir montrer qu'on obtient ainsi toutes les solutions par une descente façon Fermat : partant d'une solution $(x, y, z)$ on descend jusqu'à $(3, 3, 3)$.

Quant à trouver une formule explicite pour la solution, c'est une autre histoire...

@+

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#7 18-05-2017 23:50:18

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 54

Re : les âges

bonjour rossignol

Est-on certain de tomber sur (3,3,3) si l'on part d'une solution (x,y,z)?
Par ailleurs, a-t-on besoin d'une formule explicite?

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#8 22-05-2017 22:21:00

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 54

Re : les âges

Texte caché

Descente de Fermat
Il faut partir d'une solution quelconque (a,b,c) dont les termes sont ordonnés croissants, (a<b<c) et l’on montre que si (a,b,c) est une solution, (a, ab-c , b) l’est également avec ab-c < b . Ce qui permet la « descente de Fermat » où l’on arrive à 
(3,3,3), puisque dans N toute partie a un plus petit élément. Il existe un terme ab-c  plus petit ou égal à a ce sera 3.
Ensuite on remonte pour obtenir les solutions(cf. Rossignol).

Bon courage

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