Convergence uniforme et critere de cauchy (Page 1) / Entraide (supérieur) / Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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#1 16-05-2017 22:40:54

Gabriel01
Invité

Convergence uniforme et critere de cauchy

Bonjour, s'il vous plait aidez moi, on considere une serie de fonction $\sum_n{f_n},$ on connait que cette serie converge uniformement si et seulement si elle verifie le critere de cauchy uniforme, alors pour prouver que la serie ne converge pas uniformement, alors il suffit de prouver qu'il existe 3 suites $(u_n),(v_n) \ et \ (w_n)$ à valeur dans N, tel que $u_n<v_n,$ pour tout $n \in N,$ avec $lim_{\infty}{u_n}=lim_{\infty}{w_n}=\infty, $ et tel que $\sum_{k=u_n}^{v_n}{f_k(w_n)}$ ne tend pas vers 0.
Alors ce resultat est-il correcte? Si oui, pouvez vous m'expliquer?

Merci

#2 17-05-2017 21:40:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 421

Re : Convergence uniforme et critere de cauchy

Bonsoir,

  C'est correct, sauf que tu dois remplacer $\lim_n w_n=\infty$ par $\lim_{n} v_n=\infty$, et je ne vois pas vraiment de raisons pour laquelle la suite $(w_n)$ devrait être à valeurs dans $\mathbb N$. Il suffit qu'elle soit à valeurs dans l'ensemble où tu veux prouver qu'il n'y a pas convergence uniforme.

F.

Hors ligne

#3 17-05-2017 22:44:38

Gabriel01
Invité

Re : Convergence uniforme et critere de cauchy

Salut, oui vous avez raison, j'ai fait des fautes d'ecriture, $(w_n)$ est à valeur dans X (dominaine où on veut etudier la serie),aussi dans la serie il faut que l'indice de la suite soit k est pas n.
Je pense que cette propriéte se deduit de la negation du critere de cauchy, n'est ce pas?
Et comme application je vais considerer la serie de fonctions
$\sum_{n>0}{\frac{x^n}{nx+1}}$ sur [0,1], alors si on prend $u_n=n+1 \ et \ v_n=2n \ et \ w_n=1-\frac{1}{n},$ on obtient, par des minorations successives, une limite l>0. D'où la serie ne C.U sur [0,1]

#4 18-05-2017 07:41:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 421

Re : Convergence uniforme et critere de cauchy

Gabriel01 a écrit :

Je pense que cette propriéte se deduit de la negation du critere de cauchy, n'est ce pas?

Oui, c'est cela.

Et comme application je vais considerer la serie de fonctions
$\sum_{n>0}{\frac{x^n}{nx+1}}$ sur [0,1], alors si on prend $u_n=n+1 \ et \ v_n=2n \ et \ w_n=1-\frac{1}{n},$ on obtient, par des minorations successives, une limite l>0. D'où la serie ne C.U sur [0,1]

Ok. Cela dit, on n'a même pas convergence de la série en $x=1$.

Hors ligne

#5 18-05-2017 20:59:58

gabriel01
Invité

Re : Convergence uniforme et critere de cauchy

merci pour votre aide!!!

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