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#1 17-05-2017 00:46:29

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

Série entiere

Bonsoin a tous !

j'ai besoin d'aide pour comprendre un petit truck svp !
dans la solution d'un exercice voila ce qu'il a ecrit, et je ne l'ai pas bien saisi, si vous pouvez me montrer comment il l'ont fais.

notons $$0\le x < 1$$ $$ t =  \sqrt{x}$$
$$S(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{t^{2n}}{2n-1} =\frac{t}{2}ln (\frac{1+t}{1-t})$$

j'ai séparer le logarithm et sa a donné :

$$\frac{t}{2}ln (\frac{1+t}{1-t}) = \frac{t}{2} ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nt^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n})$$
mais je ne trouve pas la relation entre elle et : $$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{t^{2n}}{2n-1}$$

merci d'avance !

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#2 17-05-2017 08:18:00

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 950

Re : Série entiere

Bonjour,
Tu as d'abord une première erreur dans le développement de $ln(1+t)$, c'est $\sum (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$ et non $\sum (-1)^n \frac{t^n}{n}$ .
Ensuite, cause du $(-1)^{n-1}$, tous les termes correspondant à $n$ pair se simplifient dans la somme $\frac{(-1)^{n-1} t^{n}}{n} + \frac{t^n}{n}$.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 17-05-2017 14:29:03

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

Re : Série entiere

Merci yassine,
mais ma question est comment faire pour parvenir à
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n}}{2n-1} = \frac{t}{2}ln(\frac{1+t}{1-t})$$
par ce que si on simplifie les terme pair, il ne rest pas : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n}}{2n-1}$$
Merci d'avance

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#4 17-05-2017 16:38:43

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 950

Re : Série entiere

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas !

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} t^{n}}{n} + \frac{t^n}{n} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{(-1)^{2k-1} t^{2k}}{2k} + \frac{t^{2k}}{n}\right) + \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{(-1)^{2k-2} t^{2k-1}}{2k-1} + \frac{t^{2k-1}}{{2k-1}}\right)$

Le premier terme du membre de droite est nul.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} t^{n}}{n} + \frac{t^n}{n} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{t^{2k-1}}{2k-1} + \frac{t^{2k-1}}{{2k-1}}\right) = 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k-1}}{2k-1} = \frac{2}{t}\sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{2k-1}$


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#5 18-05-2017 16:33:11

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

Re : Série entiere

Merci yassine !

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