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#2 16-05-2017 12:22:55
- Terces
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Re : les âges
Bonjour,
Dernière modification par Terces (16-05-2017 12:24:11)
La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.
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#6 18-05-2017 16:14:57
- Rossignol
- Membre
- Inscription : 19-06-2015
- Messages : 141
Re : les âges
Bonjour à tous,
Juste une remarque pour faire avancer la question.
Si $(x, y, z)$ et $(x, y, t)$ sont deux solutions du problème avec $z \neq t$, on a
$$\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2}+z^{2} &=&xyz \\
x^{2}+y^{2}+t^{2} &=&xyt
\end{eqnarray*}$$
La différence membre à membre donne $z^2-t^2=xyz-xyt$
d'où $(z-t)(z+t)=xy(z-t)$
Comme $z-t \neq 0$ on en déduit $z+t=xy$ et $t = xy-z$.
Donc, si $(x, y, z)$ est une solution, alors $(x, y, xy-z)$ est aussi une solution.
Partant de $(3, 3, 3)$ on obtient $(3, 3, 3\times3-3) = (3, 3, 6)$
Avec cette nouvelle solution, on a deux possibilités, compte tenu des symétries :
$(3,3,6)$ donne $(3,3, 3\times3-6) = (3,3,3)$
$(3,6,3)$ donne $(3,6, 3\times6-3) = (3,6,15)$
Avec $(3,6,15)$ on a trois possibilités:
$(3,6,15)$ donne $(3, 6, 3\times6-15) = (3, 6, 3)$
$(6, 15, 3)$ donne $(6, 15,6\times15-3) = (6, 15, 87)$
$(15, 3, 6)$ donne $(15, 3, 15\times3-6) = (15, 3, 39)$
...etc
On doit pouvoir montrer qu'on obtient ainsi toutes les solutions par une descente façon Fermat : partant d'une solution $(x, y, z)$ on descend jusqu'à $(3, 3, 3)$.
Quant à trouver une formule explicite pour la solution, c'est une autre histoire...
@+
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