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#1 13-04-2017 17:57:42

daniel123
Invité

serie numerique

Bonsoir, je cherche à etudier la série numérique de terme général $\frac{sin(cos(n))}{n}$.
S'il vous plait pouvez vous me donner une piste pour etudier cette série?

Merci d'avance

#2 14-04-2017 06:55:28

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : serie numerique

Salut,

commence par faire un graphique, non ?
Tu devrais observer que le terme général de la série tend vers 0, ce qui est assez facile à démontrer.
Après, faut chercher un peu plus loin !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#3 14-04-2017 14:57:15

Daniel123
Invité

Re : serie numerique

Salut, j'ai essayé d'appliquer le theoreme d'abel. Mais le probleme est le cos qui est dans le sin

#4 14-04-2017 15:15:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : serie numerique

Bonjour,

  Cela ne semble pas facile du tout. Peux-tu nous dire quel est le contexte de cette question?

F.

Hors ligne

#5 14-04-2017 17:59:57

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

Re : serie numerique

Bonjour

on à :
[tex]cos(n) = \frac{e^{in}+e^{-in}}{2}[/tex].
en utilisant [tex]sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)[/tex]
on trouve :
[tex]U_n = \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})cos(\frac{e^{-in}}{2})}{n} + \frac{sin(\frac{e^{-in}}{2})cos(\frac{e^{in}}{2})}{n}  [/tex]

en utilisant un developpement limité an voisinage de 0 : [tex]\lim_{n\to \infty} e^{-in} = 0[/tex]

on trouve :

[tex]\frac{cos(\frac{e^{in}}{2})}{2ne^{in}} - \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})}{4ne^{2in}} + \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})}{n}[/tex]
on peut facilement démontrer la convergence des 2 premiers terms, et pour le 3eme on peut faire la transformé d'abel pour prouver sa convergence.

je ne suis pas sur des calcule je vous conseil de les revoir.

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#6 14-04-2017 21:50:21

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : serie numerique

Bonsoir,

Je suis d'accord avec Fred, la question n'est pas triviale...

En particulier, les méthodes classiques ne semblent pas aboutir directement (pour hichem, le point qui pose problème dans ce que tu écris est celui-ci :

hichem a écrit :

[tex]\lim_{n\to \infty} e^{-in} = 0[/tex]

qui est clairement faux ([tex]e^{-in}[/tex] est de module [tex]1[/tex]...)

Roro.

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#7 15-04-2017 00:08:21

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

Re : serie numerique

Bonsoir,

désole je n'ai pas fais attention, merci roro
donc si on réecri tt sa , sa devrai donné :

[tex]U_n = \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})cos(\frac{1}{2})}{n} + \frac{sin(\frac{1}{2})cos(\frac{e^{in}}{2})}{n}  [/tex]

donc on doi etudier les 2 séries en utilisant la transformation d'abel ?


[tex]a_n = sin(\frac{e^{in}}{2}) [/tex] qui est borné
[tex]|b_k - b_{k+1}|[/tex] = [tex]\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}[/tex]est convergente car c'est une somme telescopique.
et
[tex]b_n[/tex] tend vers 0.
on peut faire la meme chose avec [tex]\frac{cos(\frac{e^{in}}{2})}{n} [/tex]

corrigé moi si j'ai une fais erreur svp

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#8 15-04-2017 10:35:39

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : serie numerique

Bonjour,
Pour le critère d'Abel, c'est $A_n = \sum_{i=1}^n a_i$ qui doit être bornée et non $a_n$.
Sinon, on aurait pu appliquer ta méthode directement à $\dfrac{\sin(\cos(n))}{n}$, voire l'appliquer à $u_n=\dfrac{1}{n}$ !


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#9 15-04-2017 10:43:04

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

Re : serie numerique

bonjour

Merci yassine,  je comprend mieu pour quoi sa ne marche pas !

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#10 27-04-2017 21:14:06

Daniel123
Invité

Re : serie numerique

Salut, de nouveau, j'ai pensé au probleme, et j'ai trouvé une maniere pour se debarasser du sin :

On connait que pour tout reel x, [tex]|sin(x)|<|x|,[/tex] alors [tex]|\sum_{k=1}^{n}{sin(cos(k))}|<\sum_{k=1}^{n}{|cos(k)|},[/tex]  on est arrivé alors à [tex]\sum_{k=1}^{n}{|cos(k)|},[/tex]
Et on est debarassé du sin, la derniere somme est bornée, pouvez vous svp m'aider à prouver qu'elle est bornée?

#11 27-04-2017 21:29:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : serie numerique

Bonjour,

  Le problème, c'est qu'elle n'est pas bornée. Si c'était le cas, comme c'est une somme de termes tous positifs, on aurait une série convergente, dont le terme général tendrait vers zéro. Mais $(cos(k))$ ne tend pas vers 0.

F.

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#12 27-04-2017 22:24:22

Daniel123
Invité

Re : serie numerique

Salut, si une suite converge alors la suite est bornée.
la reciproque est en general fausse.
Ex :
$\sum_{k=1}^{n}{(-1)^k}$ qui est une suite bornée divergente.
Le terme general ne change rien s'il etait positif ou negaTif

#13 28-04-2017 09:39:18

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : serie numerique

Bonjour,
au contraire, ça change tout !
Si tu considères $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ avec $u_k \ge 0$, alors $S_n$ est croissante (on ajoute à chaque fois un terme positif).
Si $S_n$ est de plus bornée, alors elle converge.
Et si $S_n$ converge, alors $u_n$ converge vers $0$.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#14 28-04-2017 19:54:41

Daniel123
Invité

Re : serie numerique

Salut, oui vous avez raison, si on arrive à prouver que $|\sum_{k=1}^{n}{sin(cos(k))}|$ est bornée, numeriquement c'est vrai, mais la preuve est difficile!!

#15 05-05-2017 20:53:00

daniel123
Invité

Re : serie numerique

Salut, je pense que quelqu'un a aimé ma ma question et il l'a posé sur un autre forum (vous pouvez lire les commentaires), il a utilisé la transformation d'Abel pour etablir la convergnce, pouvez vous me m'expliquer pourquoi $s_N$ tend vers 0.
https://math.stackexchange.com/question … n-converge

#16 05-05-2017 22:24:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : serie numerique

Bonjour,

  Il y a deux liens dans le texte. Cela utilise visiblement des propriétés assez fines d'arithmétique....

F.

Hors ligne

#17 06-05-2017 17:34:03

daniel123
Invité

Re : serie numerique

merci pour votre aide!!

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