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#1 21-04-2017 20:09:03

emna123
Invité

Polynôme

Bonjour

Merci de m'aider à montrer le résultat suivant:

Soit \(\displaystyle P\) un polynôme alors \(\displaystyle P=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nz^n\) avec \(\displaystyle a_n=\frac{f^{n}(0)}{n!}\) .
Montrer qu'il existe deux constantes \(\displaystyle C_1\) et \(\displaystyle C_2\) strictement positives tel que
\(\displaystyle C_1 r^n\le M(r)\le C_2 r^n\) pour \(\displaystyle r\) assez grand? où \(\displaystyle M(r)=max_{|z|=r}|P(z)|\)

Merci en avance

#2 21-04-2017 21:15:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 371

Re : Polynôme

Bonjour

  Sépare dans ton polynôme le terme de plus haut degré des autres puis majore et minore en utilisant l'inégalité triangulaire de la façon la plus naïve possible.

Fred

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#3 21-04-2017 21:39:36

emna123
Invité

Re : Polynôme

\(\displaystyle |\displaystyle P(z)|=|\sum_{i=1}^{n} a_iz^i|=|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i+a_nz^n|\)

\(\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le |\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i|+|a_nz^n|\)

et ensuite que faut il faire?

#4 Hier 08:57:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 371

Re : Polynôme

Puisque tu tt'intéresses à M(r) tu spooses que le module de z vaut r. Dans l'inégalité de droite tu peux encore utiliser l'inégalité triangulaire puis utiliser que  $ r^k $ est bien plus petit que  $ r^n $ si  $ r $ est assez grand...

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#5 Hier 09:34:26

emna123
Invité

Re : Polynôme

Bonjour Fred,

\(\displaystyle \displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;|z|^i=\sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^i\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^n\) car pour \(\displaystyle r\) assez grand \(\displaystyle r^k\le r^n\) pour tout \(\displaystyle 1\le k\le n-1\)

pour le terme à gauche \(\displaystyle \displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\) implique
\(\displaystyle \displaystyle |a_nz^n|-|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| \le |\displaystyle P(z)|\) implique

\(\displaystyle \displaystyle |a_nz^n|-\sum_{i=1}^{n-1}| a_i|\;|z|^i\le |\displaystyle P(z)|\)   et je sait pas quoi faire ici?

#6 Hier 15:43:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 371

Re : Polynôme

Presque pareil....

$\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|r^i\le \frac{|a_n|}2 r^n$
pour $r$ assez grand....

F.

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#7 Hier 16:58:43

emna123
Invité

Re : Polynôme

D'accord,

J'ai une autre question:
Pour un polynôme de degré $n$ on considère

\(\displaystyle f(z) = e ^{p_n(z)}\) , je veux montrer qu'il existent  des  constantes \(\displaystyle c_1,c'_1,c_2, c'_2\)   tel que
\(\displaystyle c_2e^{c'_2R^n}\le |f(z)|\le c_1e^{c'_1R^n}\) pour \(\displaystyle R\) assez grand.

voici ce que j'ai écrit:
\(\displaystyle |f(z) |= |e ^{p_n(z)}|=e ^{Re(p_n(z))}\le e^{|p_n(z)|}\le e^{cR^n}\) pour \(\displaystyle R\) supérieur ou égal à 1  où \(\displaystyle c=n \max_{0 \leq k \leq n} |a_k| R^n\) (on utilise l'inégalité triangulaire)

Mais pour l'inégalité à gauche je n'ai pas pu la montré. Je serai reconnaissante si vous m'aidez

#8 Hier 17:18:26

emna123
Invité

Re : Polynôme

edit: les constantes doivent être strictement positives

#9 Hier 17:57:33

emna123
Invité

Re : Polynôme

En fait mon but initial est de prouver l’existence des constante strictement positives \(\displaystyle \displaystyle c_1,c'_1,c_2, c'_2\) tel que

\(\displaystyle M(R)=max_{|z|=R}|f(z)|\) vérifie

\(\displaystyle \displaystyle c_2e^{c'_2R^n}\le M(R)\le c_1e^{c'_1R^n}\) pour \(\displaystyle R\) assez grand

#10 Hier 20:48:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 371

Re : Polynôme

Re-

  Tu choisis un $z$ avec $|z|=R$ et tel que $Re(a_n z^n)=|a_nz^n|=|a_n|R^n$ (je te laisse justifier l'existence d'un tel $z$, écris $a_n$ sous forme trigo...). Puis ensuite
$$Re(P(z))\geq Re(a_n z^n)-\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z^i|$$
et tu termines comme précédemment....

F.

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#11 Hier 22:12:24

emna123
Invité

Re : Polynôme

\(\displaystyle a_n=Re(a_n)+iIm(a_n)\) , soit \(\displaystyle z=Re^{i\theta}\)

\(\displaystyle Re\Big(a_nz^n\Big)=Re\Big((Re(a_n)+iIm(a_n))(R^n(cos(n\theta)+isin(n\theta)))\Big)=R^n[Re(a_n) (cos(n\theta))-Im(a_n)sin(n\theta)]\)
et
\(\displaystyle |a_nz^n|=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}R^n\)

Il faut choisir \(\displaystyle \theta\) tel que
\(\displaystyle Re(a_n) cos(n\theta)-Im(a_n)sin(n\theta)=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}\)

je n'arrive pas à trouver un tel  \(\displaystyle \theta\) . Merci de m'aider

#12 Aujourd'hui 06:17:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 371

Re : Polynôme

Tu n'as pas lu mon indication !

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