Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 21-04-2017 20:09:03
- emna123
- Invité
Polynôme
Bonjour
Merci de m'aider à montrer le résultat suivant:
Soit [tex]P[/tex] un polynôme alors [tex]P=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nz^n[/tex] avec [tex]a_n=\frac{f^{n}(0)}{n!}[/tex].
Montrer qu'il existe deux constantes [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex] strictement positives tel que
[tex]C_1 r^n\le M(r)\le C_2 r^n[/tex] pour [tex]r[/tex] assez grand? où [tex]M(r)=max_{|z|=r}|P(z)|[/tex]
Merci en avance
#3 21-04-2017 21:39:36
- emna123
- Invité
Re : Polynôme
[tex]|\displaystyle P(z)|=|\sum_{i=1}^{n} a_iz^i|=|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i+a_nz^n|[/tex]
[tex]\Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le |\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i|+|a_nz^n|[/tex]
et ensuite que faut il faire?
#4 22-04-2017 08:57:07
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Polynôme
Puisque tu tt'intéresses à M(r) tu spooses que le module de z vaut r. Dans l'inégalité de droite tu peux encore utiliser l'inégalité triangulaire puis utiliser que $ r^k $ est bien plus petit que $ r^n $ si $ r $ est assez grand...
Hors ligne
#5 22-04-2017 09:34:26
- emna123
- Invité
Re : Polynôme
Bonjour Fred,
[tex]\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;|z|^i=\sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^i\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^n[/tex] car pour [tex]r[/tex] assez grand [tex]r^k\le r^n[/tex] pour tout [tex]1\le k\le n-1[/tex]
pour le terme à gauche [tex]\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|[/tex] implique
[tex]\displaystyle |a_nz^n|-|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| \le |\displaystyle P(z)|[/tex] implique
[tex]\displaystyle |a_nz^n|-\sum_{i=1}^{n-1}| a_i|\;|z|^i\le |\displaystyle P(z)|[/tex] et je sait pas quoi faire ici?
#7 22-04-2017 16:58:43
- emna123
- Invité
Re : Polynôme
D'accord,
J'ai une autre question:
Pour un polynôme de degré $n$ on considère
[tex]f(z) = e ^{p_n(z)}[/tex], je veux montrer qu'il existent des constantes [tex]c_1,c'_1,c_2, c'_2[/tex] tel que
[tex]c_2e^{c'_2R^n}\le |f(z)|\le c_1e^{c'_1R^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] assez grand.
voici ce que j'ai écrit:
[tex]|f(z) |= |e ^{p_n(z)}|=e ^{Re(p_n(z))}\le e^{|p_n(z)|}\le e^{cR^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] supérieur ou égal à 1 où [tex]c=n \max_{0 \leq k \leq n} |a_k| R^n[/tex] (on utilise l'inégalité triangulaire)
Mais pour l'inégalité à gauche je n'ai pas pu la montré. Je serai reconnaissante si vous m'aidez
#8 22-04-2017 17:18:26
- emna123
- Invité
Re : Polynôme
edit: les constantes doivent être strictement positives
#9 22-04-2017 17:57:33
- emna123
- Invité
Re : Polynôme
En fait mon but initial est de prouver l’existence des constante strictement positives [tex]\displaystyle c_1,c'_1,c_2, c'_2[/tex] tel que
[tex]M(R)=max_{|z|=R}|f(z)|[/tex] vérifie
[tex]\displaystyle c_2e^{c'_2R^n}\le M(R)\le c_1e^{c'_1R^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] assez grand
#10 22-04-2017 20:48:35
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Polynôme
Re-
Tu choisis un $z$ avec $|z|=R$ et tel que $Re(a_n z^n)=|a_nz^n|=|a_n|R^n$ (je te laisse justifier l'existence d'un tel $z$, écris $a_n$ sous forme trigo...). Puis ensuite
$$Re(P(z))\geq Re(a_n z^n)-\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z^i|$$
et tu termines comme précédemment....
F.
Hors ligne
#11 22-04-2017 22:12:24
- emna123
- Invité
Re : Polynôme
[tex]a_n=Re(a_n)+iIm(a_n)[/tex], soit [tex]z=Re^{i\theta}[/tex]
[tex]Re\Big(a_nz^n\Big)=Re\Big((Re(a_n)+iIm(a_n))(R^n(cos(n\theta)+isin(n\theta)))\Big)=R^n[Re(a_n) (cos(n\theta))-Im(a_n)sin(n\theta)][/tex]
et
[tex]|a_nz^n|=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}R^n[/tex]
Il faut choisir [tex]\theta[/tex] tel que
[tex]Re(a_n) cos(n\theta)-Im(a_n)sin(n\theta)=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}[/tex]
je n'arrive pas à trouver un tel [tex]\theta[/tex]. Merci de m'aider
#13 12-05-2017 12:00:52
- Chehrouri
- Invité
Re : Polynôme
bonjour;
Voila ma question: je dispose d'1 tableau; à 2 colonnes les (xi,yi) (les xi sont équidistants) et je compte faire une interpolation en polynôme de Tchebychev, pour trouver ce polynôme la règle impose que les xi doivent être sous forme xi=( ......abscisses de Tchebychev ) mais comment trouver les yi qui leurs correspondent afin de trouver les coefficients de Tchebychev (a0,a1,a2,.........an), je ne dispose pas d'une fonction analytique, je dispose que du tableau de valeurs discrètes cité ci dessus (xi,yi).
#14 24-05-2017 22:53:31
- mouradch
- Invité
Re : Polynôme
bonjour;
Voila ma question: je dispose d'1 tableau; à 2 colonnes les (xi,yi) (les xi sont équidistants) et je compte faire une interpolation en polynôme de Tchebychev, pour trouver ce polynôme la règle impose que les xi doivent être sous forme xi=( ......abscisses de Tchebychev ) mais comment trouver les yi qui leurs correspondent afin de trouver les coefficients de Tchebychev (a0,a1,a2,.........an), je ne dispose pas d'une fonction analytique, je dispose que du tableau de valeurs discrètes cité ci dessus (xi,yi).
Pages : 1