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#1 17-04-2017 17:13:28

gg0
Invité

Continuité

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice:

1. Soit f une fonction continue sur [0,1] telle que f(0)=f(1). Montrer qu'il existe c dans [0,1/2] tel que f(c)= f(c+1/2).

2. Un mobile parcours, à vitesse continue, une distance d en une unité de temps. Montrer qu'il existe un intervalle d'une demi-unité de temps pendant lequel il parcourt une distance d/2.


Mes réponses:
1. Si je pose g(x)=f(x+0,5) - f(x). Je montre que g est continue car correspond à la différence de deux fonctions continues.
Je dois maintenant prouver qu'il peut prendre des valeurs positives et négatives afin de prouver par le TVI qu'il s'annule en un point c mais je ne vois pas comment montrer qu'il peut prendre des valeurs positives et négatives.

Merci d'avance.

#2 17-04-2017 18:14:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 418

Re : Continuité

Bonjour

  Compare g(0) et g(0.5)


Fred

Hors ligne

#3 19-04-2017 17:05:20

gg0
Invité

Re : Continuité

Oui merci, je ne trouve pas comment faire la deuxième partie par contre

#4 19-04-2017 21:27:32

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 23

Re : Continuité

Bonjour
soit v(t) la vitesse \(\displaystyle t\in [0,1]\) on a \(\displaystyle d=\int_0^1 v(t) dt\)
Pour \(\displaystyle x\in[0,1/2]\) on pose \(\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1/2} v(t) dt\)
Clairement f est continue, f(0) est la distance parcourue la première 1/2 unité de temps et
f(1/2) est la distance parcourue la deuxième unité de temps. 
Si f(0)<d/2 alors f(1/2)>d/2 et vice versa. La solution s'obtient avec le th des valeurs intermédiaires.

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