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#1 07-04-2017 15:53:21

yann06
Membre
Lieu : CANNES
Inscription : 11-01-2017
Messages : 59

produit scalaire de 2 vecteurs à partir des longueurs

Bonjour ,

EFGH est un parallélogramme avec EF = 5 , FH = 4 et EH = 7 Calculer le produit scalaire EF . EG

si le parallélogramme est EFGH alors [FH] et [EG] sont les diagonales et les vecteurs $\overrightarrow{FH}$ et $\overrightarrow{EG}$ ne sont pas égaux


EF . EG = EF . (EF + FG )

pour calculer le produit scalaire EF . EG  ; le calcul par le carré scalaire d 'une relation de Chasles   est une bonne méthode ?

$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} $

ensuite $ \overrightarrow{EF} . (\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}) $

$\left(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}\right)^{2} = \left(\overrightarrow{EF}\right)^{2} + 2\overrightarrow{EF} .\overrightarrow{FG} + \left(\overrightarrow{FG}\right)^{2}$

comme EH = FG

$ \left(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}\right)^{2} = 5^{2} + 2\overrightarrow{EF} . \overrightarrow{FG} + 7^{2}$

$ \left(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}\right)^{2} = 35 + 49 + 2 \overrightarrow{EF}.\overrightarrow{FG} $

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#2 09-04-2017 16:59:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : produit scalaire de 2 vecteurs à partir des longueurs

Salut,

Je t'ai un peu zappé...
On peut trouver la valeur exacte de ce  produit scalaire...
MAIS
pour l'instant (faut que je réfléchisse davantage, il doit bien y avoir un moyen de s'en passer...) pour le calcul de l'angle, ma seule piste est le théorème d'Al Kashi ; en as-tu entendu parler ?
Avec un triangle ABC quelconque BC = a, AC = b et AB= c
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat A[/tex]


@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 10-04-2017 11:22:46

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 947

Re : produit scalaire de 2 vecteurs à partir des longueurs

Salut,

Il dois y avoir plus simple, mais pour l'instant j'ai trouvé ça :

On commence de manière similaire à ce que tu as fait :
$\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}.(\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HG})=\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{HG}$

$\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{HG}=5^2=25$

$\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{EX}.\overrightarrow{EH}$ avec $X$ le projeté orthogonal de $F$ sur $(EH)$.
Il nous reste juste à trouver la longueur $EX$.
Les triangles EXF et HXF étant rectangle, on obtient un système d'équation permettant de trouver $EX=\dfrac{29}{7}$.

Ce qui permet de trouver le résultat.

Dernière modification par tibo (10-04-2017 11:53:50)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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