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#1 03-04-2017 19:16:39

Michel1
Invité

Developpement asymptotique

Salut, j'ai besoin de votre aide svp:
Je desire faire un DA a l'infini et a la precision $1/x^3$de la fonction definie par $f(x)=ln(x+1)\sqrt{x+1}$.
Pour cela j'ai raisonné de la façon suivante:
$f(x)=\sqrt{x}(ln(x)+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3} +o(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}))(1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+\frac{1}{16x^3}+o(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

On fait le calcul du produit et on obtient le DA a la precision $1/x^3$
Le raisonnement suivant est-il juste?

Merci d'avance

#2 03-04-2017 20:33:15

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : Developpement asymptotique

Bonsoir Michel1,

Tu peux effectivement faire le produit des développements limités.
Pour ce qui est de tes calculs, je ne vois pas comment tu obtiens des termes [tex]o\left(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)[/tex], j'aurais plutôt écris [tex]o\left(\frac{1}{x^3}\right)[/tex], ce qui n'empêche pas que le produit de tes deux développements sera aussi du même ordre (car tu auras des termes de la forme [tex]1 \times o(\frac{1}{x^3})[/tex].

Pour moi, je pense que le plus simple est de poser y=1/x, de tout faire au voisinage de 0 pour y (parce que je suis plus à l'aise dans ce cadre...) et de revenir tout à la fin avec ta variable x=1/y.

Roro.

Hors ligne

#3 04-04-2017 21:12:13

Michel1
Invité

Re : Developpement asymptotique

Salut, meme si on effectue ce changement, le resultat ne change pas.on pose $u=1/x$, alors u tend vers 0. Formons un developpement à l'ordre 3 :
$f(x)=f(1/u)=ln(\frac{1}{u}+1)\sqrt{1+\frac{1}{u}}=\frac{(ln(u+1)-ln(u))\sqrt{u+1}}{\sqrt{u}}$
Puisque ce qu'on veux un DL à l'ordre 3, et on trouve le terme $x^{-\frac{1}{2}}$ alors il faut former un DL pour $ln(u+1)-ln(u)\sqrt{u+1}$ à l'ordre $3/2$
D'où le resultat que j'ai obtenu (sans faire un changement).
Je pense que le raisonnement que j'ai fait est correcte.

#4 04-04-2017 21:36:11

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Developpement asymptotique

Hello,

  Attention! Comme l'a dit Roro, le produit de deux DLs à l'ordre n ne donne pas un DL à l'ordre 2n. Voici un exemple :
$e^x=1+x+o(x)$ et $\frac{1}{1-2x}=1+2x+o(x)$. Alors tu as
$$\frac{e^x}{1-x}=\big(1+x+o(x)\big) \times\big(1+2x+o(x)\big)=1+2x+o(x)+x+2x^2+xo(x)+1o(x)+2xo(x)+o(x)o(x)$$
ce qui donne encore
$$\frac{e^x}{1-x}=1+x+2x^2+o(x)+o(x^2).$$
Le premier terme que tu ne contrôles pas est le $o(x)$. Tu peux donc couper le développement limité à cet ordre, et tu obtiens bien $1+3x+o(x)$, et tu ne sais pas ce qui se passe à l'ordre 2.

F.

Hors ligne

#5 05-04-2017 12:45:05

michel1
Invité

Re : Developpement asymptotique

Salut, je suis d'accord avec vous Fred, le produit de deux developpement limite à l'ordre n ne donne pas un developpement à l'ordre 2n, pour chercher le DL du produit il faut faire le DL de chaque facteur à l'oirdre n, mais parfois on peut simplifier par ex, si on veut le DL en 0 et à l'ordre 7 de $(1-cos(x))sin(x),$ alors il suffit de faire un DL pour 1-cos(x) à l'ordre 6 et de sin(x) à l'ordre 5.
Aussi, parfois il faut augmenter l'ordre par ex pour former le DL(0) à l'ordre 6 de : $\frac{e^(x)-1}{sin(x)-x},$ alors on ne peut pas faire un DL pour le numerateur et le denominateur à l'ordre 6, il faut faire un DL pour le num à l'ordre 9 et pour le denom à l'ordre 11.

Revenant à la fonction initiale $f(x)=\sqrt{x+1}ln(x+1)$ à l'ordre $1/x^3,$ alors on forme un DA pour $ln(1+\frac{1}{x}) \ et \sqrt{1+\frac{1}{x}}$  à l'ordre $7/2$ (j'ai fait une faute de calcul avant).
c'est pour cela j'ai proposé cet ordre.

#6 05-04-2017 13:54:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Developpement asymptotique

Ok, je comprends mieux ce que tu voulais faire, le $o(1/x^{7/2})$ est alors en effet approprié. On pourrait même aller un peu plus loin (sans frais supplémentaires) en le remplaçant par $O(1/x^4)$.

F.

Hors ligne

#7 06-04-2017 19:18:34

Michel1
Invité

Re : Developpement asymptotique

Merci pour l'aide

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