Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 30-03-2017 21:42:31

fon jazar
Invité

transformation du plan

Bjr on ɗonne les A B C alignes tels que  AC=4AB
ɗemontrer quƙ'il existe une et une seule homothetie qui transforme Aen B et B en C.
Determiner la.

#2 06-04-2017 12:25:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : transformation du plan

Bonjour,

  Le manque de courtoisie dans la rédaction de la question n'imposait pas de réponse rapide. Je le fais quand même pour garder une trace. D'abord, je vais supposer que $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$ (il n'était pas clair qu'il s'agisse de vecteurs).
Supposons d'abord qu'une telle homothétie existe, notons $O$ son centre et $k$ son rapport. Alors on a
$\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OB}$.
Utilisant la relation de Chasles, ceci s'écrit encore
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{OB}$$
soit
$$\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{AC}=-4\overrightarrow{AB}.$$
Mais on a aussi
$$-k\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec 0.$$
Multiplions cette dernière équation par $k$ et ajoutons la à la précédente. Il vient :
$$(1-k^2)\overrightarrow{OA}=-4\overrightarrow{AB}.$$
Mais de l'équation $\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$, on peut aussi tirer
$$(1-k)\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{AB}.$$
Ceci entraîne que $4(1-k)=(1-k^2)=(1-k)(1+k).$
Puisque $k\neq 1$ (il faut quand même supposer que $A\neq B$), on a $1+k=4$ soit $k=3$. Et on a $\overrightarrow{OA}=\frac 12\overrightarrow{AB}$.
Réciproquement, en définissant $O$ de la façon suivante, on vérifie que l'homothétie de centre $O$ et de rapport 3 transforme $A$ eb $B$ et $B$ en $C$.

F.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le troisième mot de cette phrase?

Pied de page des forums