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#1 04-02-2017 23:31:58

yann06
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Lieu : CANNES
Inscription : 11-01-2017
Messages : 59

Cas général : forme canonique

Résolution de l'équation $P(x) = ax^{2} + bx +
c$ avec a, b et c des réels non nuls

$ax^{2} + bx + c = a  \begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x+ \frac{c}{a}
  \end{bmatrix}$

$\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr) ^{2}$ est le début de développement d'une identité remarquable

on va dire $ \bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} =x^{2} + 2 *
\frac{b}{2a} x+ \bigl(\begin{smallmatrix}
\frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} = x^{2} + \frac{b}{a}
x+ \bigl(\begin{smallmatrix}
\frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} $

$a\begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}
\end{bmatrix} =  a \begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} -
\bigl(\begin{smallmatrix}
\frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} +\frac{c}{a}
\end{bmatrix}$

$a\begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}
\end{bmatrix} =  a \begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}
+\frac{c}{a}
\end{bmatrix}$

$a\begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}
\end{bmatrix} =  a \begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}
+\frac{4ac}{4a^{2}}
\end{bmatrix}$

les fractions $-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ et $\frac{4ac}{4a^{2}}$ont le même dénominateur , donc je peux les
additionner


et avec $\frac{4ac}{4a^{2}} = -\frac{-4ac}{4a^{2}} $

ce qui donne $a \begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}
\end{bmatrix} = a \begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}-
4ac}{4a^{2}}
\end{bmatrix}$

le problème est que je me trompe souvent
arrivé à  cette étape :
$a\begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}
\end{bmatrix} =  a \begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}
+\frac{4ac}{4a^{2}}
\end{bmatrix}$

j'ai tendance à faire ceci :

$a\begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}
\end{bmatrix} =  a \begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}+ 4ac}{4a^{2}}
  \end{bmatrix}$

ce qui est faux bien sur , mais j'ai tendance à  faire ça
quelqu'un de patient pour m'expliquer ??

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#2 04-02-2017 23:33:01

yann06
Membre
Lieu : CANNES
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Messages : 59

Re : Cas général : forme canonique

J'ai oublié de dire Bonsoir
j'ai voulu aller trop vite pour poster mon message

à demain

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#3 05-02-2017 08:48:06

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 384

Re : Cas général : forme canonique

Bonjour,


yann06 a écrit :

arrivé à  cette étape :
[tex]a\left(x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\right][/tex]

j'ai tendance à faire ceci :
[tex]a\left(x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2+4ac}{4a^2}\right][/tex]

ce qui est faux bien sur , mais j'ai tendance à  faire ça.

Quelqu'un de patient pour m'expliquer ??

Je vois.
Le problème ne date pas d'aujourd'hui, il doit remonter à l'époque des suppressions de parenthèses avec présence de fractions...
Hmmmmm...
[tex]-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}[/tex]
c'est aussi :
[tex]\frac{-b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}[/tex]
Et là, je suis sûr que ne te tromperais pas :
[tex]\frac{-b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}=\frac{-b^2+4ac}{4a^2}[/tex]
d'où
[tex]a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2+4ac}{4a^2}\right]=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}\right][/tex]
Mais le - de $-b^2$ n'est là que pour $-b^2$ pas pour $4ac$.
Mais si tu écris alors [tex]-\frac{??}{4a^2}[/tex], tu dois absolument penser qu'en réalité puisque là le - s'intéresse à toute la fraction qu'il y a au numérateur des parenthèses inutiles qu'on n'écrit donc pas :
[tex]-\frac{(??)}{4a^2}[/tex]
Pourquoi sont elles inutiles ?

Parce  les conventions d'écriture stipulent que, le - devant une fraction étant équivalent à  [tex]\frac{-(??)}{4a^2}[/tex], il n'est pas nécessaire de les écrire...
Ceci étant posé, on a donc
[tex]\cdots-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2} = \cdots+\frac{-b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}[/tex]
Et pour retrouver la forme classique :
[tex]\cdots+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2}=\cdots-\frac{(b^2-4ac)}{4a^2}=\cdots-\frac{b^2-4ac}{4a^2}[/tex]
Si je prends ton écriture et que je fasse apparaître les parenthèses "inutiles" (ou encore cachées)
[tex]\cdots-\frac{b^2+4ac}{4a^2}=\cdots-\frac{(b^2+4ac)}{4a^2}[/tex]
alors je peux écrire :
[tex]\cdots-\frac{b^2+4ac}{4a^2}=\cdots-\frac{(b^2+4ac)}{4a^2}=\cdots+\frac{-(b^2+4ac)}{4a^2}=\cdots+\frac{-b^2-4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-b^2}{4a^2}+\frac{-4ac}{4a^2}=\cdots-\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}[/tex]
Vois-tu ce qui cloche ?

Alors, essaie de penser comme ça :
[tex]\cdots-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2} = \cdots+\frac{-b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2}=\cdots-\frac{(b^2-4ac)}{4a^2}=\cdots-\frac{b^2-4ac}{4a^2}[/tex]

Ça te va ?

------------------------------------------------
Info annexe.
Il s'affiche sur mon écran :

arrivé à  cette étape :
$a\begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}
\end{bmatrix} =  a \begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}
+\frac{4ac}{4a^{2}}
\end{bmatrix}$

j'ai tendance à faire ceci :

$a\begin{bmatrix}
x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}
\end{bmatrix} =  a \begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x + \frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}+ 4ac}{4a^{2}}
  \end{bmatrix}$

ce qui est faux bien sur , mais j'ai tendance à  faire ça
quelqu'un de patient pour m'expliquer ??

Rien à dire sur l'apparence...

Mais compare donc ton code avec le mien :

arrivé à  cette étape :
a\left(x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\right]

j'ai tendance à faire ceci :
a\left(x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2+4ac}{4a^2}\right]

ce qui est faux bien sur , mais j'ai tendance à  faire ça.

Quelqu'un de patient pour m'expliquer ??

\matrix code pour écrire une matrice avec encadrement type crochet...
Alors qu'ici, il n'y a pas de matrice, mais des parenthèses et des crochets qu'on fait précéder de \left et \right pour qu'ils s'adaptent à la tailles des fractions...
S'il y avait une erreur dans l'affichage, à ton avis quel est le code où il est plus "facile" de trouver l'erreur ?

------------------------------------------------------------
Tu as déjà deux discussions en suspens,
* la première en algèbre : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=9307
* l'autre en géométrie : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 547#p63547...

Personnellement, j'ai horreur de ne pas mener un travail à son terme, d'où ma question : qu'est-ce qu'elles deviennent ?

@+


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#4 05-02-2017 11:14:21

yann06
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Re : Cas général : forme canonique

Bonjour YOSHI

     Je viens de lire votre message, et c'est toujours un plaisir d'avoir votre correspondance
visiblement , vous avez compris ce qui n'allez pas et aussi , vous avez compris qu'il s'agit d'un problème qui remonte depuis longtemps
c'est aussi ,  la même incertitude avec les racines carrés

En revanche , J'ai la chance de vous rencontrer, cependant  je ne peux pas me contenter de survoler rapidement tout ce que vous avez écrit , il faut que je passe deux à trois heures pour bien assimiler tout ce que vous avez écrit  (puisque c'est un problème qui remonte ..)
(je prends cet exemple )  demain , si le professeur m'interroge , je ne suis pas certain de pouvoir répondre
ou alors
si je réponds :
$\begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x +\frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{4ac}{4a^{2}}
\end{bmatrix}$
puis  :
$\begin{bmatrix}
\bigl(\begin{smallmatrix}
x +\frac{b}{2a}
\end{smallmatrix}\bigr)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{-4ac}{4a^{2}}
\end{bmatrix}$

c'est parce  que j'ai appris par coeur  (donc , c'est de la triche !! ) je ne fait  pas des mathématiques comme on me demande de le faire .......
--->      depuis le mois de Septembre , on me demande de réfléchir et mes limites  : je commence à les voir ....)

donc mon BUT : c'est d'essayer de maitriser le passage entre la première et la deuxième étape
je vais faire ça aujourd'hui

   Pour les 2 sujets qui n'ont pas été fini , là , je suis d'accord avec vous , j'ai aussi horreur de ne pas terminer un travail
alors , je vais répondre qu'il y a aussi la Physique et la Chimie , qui me demandent beaucoup de travail , comme le tableau d'avancement et l'utilisation de la burette et du bécher pour trouver le réactif limitant)
          1) pour le sujet en géométrie , j'a bloqué au niveau des droites d'Euler et j'ai remis le DM sans le terminer
        2) pour le sujet en Algèbre , idem , je l'ai remis sans le terminer (je n'ai pas trouvé la solution aux dernières questions et c'est souvent le cas en DS ---> quand les questions commencent à devenir difficile , je n'arrive pas à  réfléchir et c'est ce qui explique que je n'arrive pas à avoir le total des points

Bon Dimanche
et peut être à tout à l'heure

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#5 05-02-2017 12:58:45

yoshi
Modo Ferox
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Re : Cas général : forme canonique

Salut,

Le problème des signes et des fractions, on le trouve aussi ici :
Résoudre dans [tex]\mathbb{N}[/tex]
[tex]\frac{x+2}{4}-\frac{2x-3}{6}=\frac{5x+6}{12}[/tex]
Ça a été au prog de 3e, puis supprimé.
Dommage, c'était un bon révélateur...
J'exposais la difficulté de la méthode "naturelle" :
[tex]\frac{3(x+2)}{12}-\frac{2(2x-3)}{12}=\frac{5x+6}{12}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{3x+6}{12}-\frac{4x-12}{12}=\frac{5x+6}{12}[/tex]
Et maintenant, on retrouvait ton pb :
[tex]\frac{3x+6-4x+6}{12}=\frac{5x+6}{12}[/tex]
et non
[tex]\frac{3x+6-4x-6}{12}[/tex]

J'expliquais pourquoi, comment...
Puis je disais que j'allais leur donner un moyen de contourner la difficulté qui, de plus, permettrait de mieux comprendre cette histoire de signes.
La consigne était courte et simple : ne pas effectuer de calculs aux numérateurs tant que les dénominateurs sont présents...
Voilà ce que ça donnait :
[tex]\frac{x+2}{4}-\frac{2x-3}{6}=\frac{5x+6}{12}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{3(x+2)}{12}-\frac{2(2x-3)}{12}=\frac{5x+6}{12}[/tex]
Et là, je demandais d'écrire : on multiplie les deux membres par 12...

En 2nde, je me suis pointé en disant (comme nombre de mes copains) : on chasse le dénominateur...
Et le prof de rétorquer :
mon ami, si vous continuez comme ça, c'est vous qui allez être chassé !
Donc on dit : on multiplie les deux membres par 12...
Et l'équation devient :
[tex]3(x+2)-2(2x-3)=5x+6[/tex]
(Maintenant, on effectue les calculs)
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]3x+6-4x+6=5x+6[/tex]
Et là, en général, l'erreur ne se produisait pas, parce la multiplication par un nombre négatif était bien ancrée...
Comprends-tu ?

j'ai aussi horreur de ne pas terminer un travail
alors , je vais répondre qu'il y a aussi la Physique et la Chimie , qui me demandent beaucoup de travail

J'ai aussi été élève...
En Terminale, mon horaire se composait, par semaine,  notamment de
- 9 h de maths
- 5 h 30 de Physique-Chimie.
A côté, j'avais Français, Philo, Biologie, HG, LV1, LV2.
Autant dire qu'il ne fallait pas se rater en Maths-Phys-Chimie... Sinon, adieu le Bac !

N'oublie pas non plus que la calculatrice à plus forte raison graphique, n'existait pas encore...
On se tapait les calculs et les courbes... à la main !!!
Ce qui rallongeait la sauce d'autant...
Alors, je sais ce que c'est qu'avoir du travail !

Bon, je vais essayer de me replonger dans tes sujets et voir ce qure je peux te donner comme indications.

Pour finir, réfléchir, c'est bien et hautement louable, mais tu as besoin aussi après avoir compris d'implanter des automatismes qui te feront gagner du temps.

@+


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#6 01-04-2017 00:42:58

duquenne
Invité

Re : Cas général : forme canonique

Bonsoir Yoshi

je m'aperçois avoir encore des difficultés avec les fractions


à partir de cette ligne :

[tex]\cdots-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2} = \cdots+\frac{-b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}[/tex]

dans ton explication , tu me dis que si j 'écris $-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ , il faut absolument que je pense que le - s 'intéresse à  toute la fraction et qu 'il y a au numérateur des parenthèses inutiles
c 'est à dire : $ -\frac{()}{4a^{2}}$

en fait , si je mets les parenthèses , cela donne :
[tex]\cdots-\frac{(b^2)}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2} = \cdots+\frac{-b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}[/tex]

je ne comprends pas comment on arrive ensuite à  $b^{2} - 4ac $

Peux tu m 'expliquer ? s 'il te plait

#7 01-04-2017 07:48:38

yoshi
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Re : Cas général : forme canonique

Salut,

Tout est là :
[tex]=\cdots+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2}=\cdots-\frac{(b^2-4ac)}{4a^2}=\cdots-\frac{b^2-4ac}{4a^2}[/tex]

L'opposé de $x$ c'est $-x$, et l'opposé de l'opposé de $x$ s'écrit $-(-x)$  d'accord ? Mais l'opposé de l'opposé de $x$ c'est $x$...
Donc cette égalité est vraie :
[tex]x = -(-x)[/tex]
Alors, maintenant je fais ça sur une expression algébrique un plus évoluée :
* l'opposé de [tex]-b^2+4ac[/tex]  c'est [tex]-(-b^2+4ac)[/tex] soit [tex]b^2-4ac[/tex].  Ça va ?
* et l'opposé de l'opposé de [tex]-b^2+4ac[/tex] c'est [tex]-b^2+4ac[/tex] elle-même. Donc [tex]-b^2+4ac = -(b^2-4ac)[/tex]

Voilà pour le passage de [tex]\cdots+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2}[/tex]

Ensuite, [tex]\cdots+\frac{(-x)}{y}=-\frac x y[/tex]
Donc :
[tex]\cdots+\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2} = \cdots-\frac{b^2-4ac}{4a^2}[/tex]


@+


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#8 01-04-2017 12:56:58

yann06
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Re : Cas général : forme canonique

Bonjour Yoshi ,

merci de m 'avoir répondu aussi vite , mais je vais encore abuser de ta patience !

$ P(x) = a \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{c}{a}\right) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{4ac}{4a^{2}}\right)$

j 'ai compris que $ - \frac{b^{2}}{4ac}$  et  $ \frac{-b^{2}}{4ac}$ ce sont les mêmes écriture , donc ça c ' est OK

$ P (x) = a \left(x + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}\right) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2}}{4a^{2}} + \frac{4ac}{4a^{2}}\right)$

ensuite , j 'additionne les 2 fractions puisque ce sont les mêmes dénominateurs

$ P (x) = a \left(x +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2} + 4ac}{4a^{2}}\right)$

et après , je ne comprends pas pourquoi je dois mettre les parenthèses au numérateur , c' est à dire $ - ( b^{2} + 4ac )$
il n ' y a rien à  faire , le déclic ne se fait pas

l 'opposé de x , ce sera - x , x = - (x)
l 'opposé de l 'opposé , ce sera - ( -x) , c 'est à dire x
ça aussi c 'est Ok

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#9 01-04-2017 14:51:08

yoshi
Modo Ferox
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Re : Cas général : forme canonique

Re,

1. D'abord, ce n'est pas $ - ( b^{2} + 4ac )$  mais $ - ( b^{2} - 4ac )$

2. Si tu appelles $\Delta$ l'expression [tex]b^2-4ac[/tex], tu auras donc
[tex]a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2} + 4ac}{4a^{2}}\right) =a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-\Delta}{4a^{2}}\right)=a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right)[/tex]
Pourquoi est-ce si important d'avoir le - devant la fraction ?
Et bien, on reconnaîtra alors  la forme
* [tex]A^2-B^2[/tex] si [tex]\Delta >0[/tex] : [tex] ax^2+bx+c = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right][/tex]
qui se factorise alors classiquement : [tex]ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)[/tex] et tu vois que[tex] ax^2+bx+c = 0[/tex] a deux solutions...
* [tex]a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2[/tex]  si $\Delta = 0$, avec une solution double,

* Et si $\Delta < 0$  alors [tex]-\frac{\Delta}{4a^2}>0[/tex]  et là, c'est la forme [tex]A^2+B^2[/tex] qu'on obtient et qui n'est pas factorisable...

@+


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#10 01-04-2017 22:44:21

yann06
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Re : Cas général : forme canonique

Bonsoir Yoshi


l 'opposé de $ -b^{2} + 4 ac $ est  $ - (-b^{2} + 4 ac)$ ce qui  donne $ b^{2} - 4 ac $`

donc on doit écrire :


$ P (x) = \left( x + \frac{b}{2a}\right)^{2} -\frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{4ac}{4a^{2}}$

$  P (x) =  \left( x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2}}{4a^{2}} + \frac{4ac}{4a^{2}} $

$= .. + \frac{- b^{2} + 4 ac }{4a^{2}} = .. + \frac{- (-b^{2} + 4 ac)}{4a^{2}} = .. + \frac{b^{2} - 4 ac}{4a^{2}}$

tu écris :
[tex]=\cdots+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}=\cdots+\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2}=\cdots-\frac{(b^2-4ac)}{4a^2}=\cdots-\frac{b^2-4ac}{4a^2}[/tex]

je ne comprends pas le passage de $\frac{-b^2+4ac}{4a^2}$ vers $\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2}$

peux tu m 'expliquer ? s 'il te plait

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#11 02-04-2017 00:32:12

yann06
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Re : Cas général : forme canonique

Bonsoir

en fait le but , c 'est d 'arriver à  cette étape $  a \left [\left (x + \frac{b}{2a} \right)^{2}  -  \left ( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^{2}\right] $

il faut écrire différemment pour faire apparaitre la différence de 2 carrés

il faut absolument ce signe -

donc de l ' étape $  P (x) =  a  \left [  \left ( x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2}}{4a^{2}} + \frac{4 ac} {4a^{2}} \right] $

il faut arriver à  l 'étape $ a  \left (  \left ( x + \frac{b}{2a}\right)^{2} -  \left ( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) ^{2} \right)$

c 'est comme ça qu ' il faut raisonner ???

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#12 02-04-2017 06:01:39

yoshi
Modo Ferox
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Re : Cas général : forme canonique

Re,

Oui et non, pas tout à fait, tu dois faire très attention à ce que tu écris : écrire[tex] \sqrt{\Delta}[/tex] n'est pas toujours "légal"...
Il faut arriver à l'étape :
[tex]a\left [ \left ( x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \right][/tex]
où $4a^2$ étant toujours positif, le signe de la fraction sera le même que celui $b^2-4ac$
Ceci posé, tu as 3 cas à étudier : $b^2-4ac >0$, $b^2-4ac =0$ et $b^2-4ac <0$...
En français : Action de séparer, de distinguer deux ou plusieurs êtres ou choses à partir de certains critères ou caractères distinctifs ; distinction est la définition du Larousse pour le verbe discriminer...
Et ce qui permet ce distinguo est la quantité $b^2-4ac$, (je pense que) c'est pourquoi on l'a nommée discriminant.
On lui a affecté le symbole $\Delta$.

Si [tex]\Delta >0[/tex] alors on peut mettre en évidence le produit remarquable [tex]A^2-B^2[/tex]
[tex]a\left [ \left ( x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \right]=a\left [\left (x+\frac{b}{2a}\right)^{2} -\left( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 \right][/tex]

Si [tex]\Delta = 0[/tex] la fraction finale est nulle :
[tex]a\left [ \left ( x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \right]=a\left (x+\frac{b}{2a}\right)^{2}[/tex]

Si [tex]\Delta <0[/tex] alors [tex]-\Delta >0[/tex] :
[tex]a\left [ \left ( x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \right]=a\left [\left (x+\frac{b}{2a}\right)^{2} +\left( \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2 \right][/tex]
Et là c'est la forme A^2+B^2 qui apparaît, laquelle n'est pas factorisable...

Tu vois que la résolution d'une équation via le calcul de la quantité appelée discriminant n'arrive pas comme un cheveu sur la soupe ! La mise sous forme canonique permet de mettre en évidence [tex]b^2-4ac[/tex] qui permet de savoir s'il y 2 solutions distinctes, une solution double ou pas de solution du tout..

Après, on ne va tout refaire à chaque résolution, on calcule automatiquement le discriminant... en oubliant bien souvent d'où il vient.

C'est la même chose avec les théorèmes de Géométrie : on les démontre (en général) une fois puis, on oublie la démo et on applique le théorème...

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#13 02-04-2017 09:10:23

yann06
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Re : Cas général : forme canonique

Bonjour Yoshi

il y a quand meme un problème avec les fractions et l ' opposé de l' opposé ( ce sont des difficultés qui remontent au collège )

il faut que j 'y aille pas à pas

---> l ' opposé de x est - x

------>  l ' opposé de $ -b^{2} + 4 ac $ est $ - (-b^{2} + 4 ac )$
je prends l 'opposé d 'une expression donc je met les parenthèses
c 'est à  dire $ -b^{2} + 4 a c  = (-b^{2} + 4 ac)$

ensuite $ -(-b^{2} + 4 a c) = b^{2} - 4 a c $

on a bien notre delta = $b^{2} - 4 ac $

pour quoi calculer ensuite l ' opposé de l ' opposé de $- b^{2} + 4 a c$

Peux tu m 'expliquer ? s 'il te plait

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#14 02-04-2017 09:49:43

yoshi
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Re : Cas général : forme canonique

Salut,

on a bien notre [tex]\Delta = b^2−4ac[/tex]

pour quoi calculer ensuite l ' opposé de l ' opposé de [tex]−b^2+4ac[/tex]

Là, je ne comprends pas ta question : fais-tu référence au 3e cas que j'ai montré [tex]\Delta < 0[/tex]  où j'ai écrit
[tex]ax^2+bx+c = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2\right][/tex] ????

Si oui, alors c'est simple : [tex]\Delta[/tex]  étant négatif, je n'ai pas le droit d'écrire [tex]\sqrt{\Delta}[/tex]., je suis obligé d'écrire [tex]\sqrt{-\Delta}[/tex], mais pour ça, je dois remettre le - sur la fraction et donc remplacer :
[tex]\cdots -\frac{\Delta}{4a^2}[/tex]  par [tex] \cdots +\frac{-\Delta}{4a^2}[/tex]  ainsi la fraction est postive et je peux en prendre la racine carrée...

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#15 02-04-2017 22:46:03

yann06
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Re : Cas général : forme canonique

Bonsoir Yoshi

dans ton message de samedi , celui de 08 : 48 , c 'est à dire le 7

$ P (x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{4ac}{4a^{2}}\right) $

$ P (x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2}}{4a^{2}} + \frac{4ac}{4a^{2}}\right)$

$ P (x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2} + 4 ac}{4a^{2}}\right)$

c ' est à partir de là , qu 'il faut écrire différemment pour faire apparaitre éventuellement la différence de 2 carrés

mais , c 'est là ou je bloque

toi , tu poursuis en faisant :

$ P (x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-(b^{2} - 4ac)}{4a^{2}}\right)$

tu m ' as expliqué que l 'opposé de x , c'est - x  --> OK

donc l 'opposé de $-b^{2} + 4 ac $ est $ - (-b^{2} + 4ac)$ soit $ b^{2} - 4 ac $

en fait il y a au numérateur des parenthèses inutiles que je n ' écris pas

$ P (x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2} + 4 ac}{4a^{2}}\right)$

ce qui donne :
$ P (x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{(-b^{2} + 4 ac)}{4a^{2}}\right)$

il faut que j 'aile dormir , demain j 'ai cours
si tu as ce message maintenant , je te souhaite une bonne nuit
si tu l 'as ce matin , et bien alors je te dis : bonjour  et d 'avance : bonne journée


à plus

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#16 03-04-2017 08:27:08

yoshi
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Re : Cas général : forme canonique

Ave,


yann06 a écrit :

en fait il y a au numérateur des parenthèses inutiles que je n ' écris pas
$ P (x) = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-b^2 + 4 ac}{4a^2}\right]$

A ce stade, ok !
Mais après tu dois remplacer [tex]-b^2+4ac[/tex] par [tex]-(b^2-4ac)[/tex]
Ce qui donne :
$ P (x) = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-(b^2 - 4 ac)}{4a^2}\right]$

Le - indique l'opposé de toute la parenthèse, donc ce - je peux le mettre devant la fraction à la place du + :
[tex]\cdots+ \frac{-(b^2 - 4 ac)}{4a^2} =\cdots -\frac{(b^2 - 4 ac)}{4a^2}= \cdots -\frac{b^2 - 4 ac}{4a^2}[/tex]

Etape n°1 :
Les parenthèses sont indispensables, si tu les faisais purement et simplement disparaître tu écrirais [tex]-b^2-4ac[/tex] qui est faux

A l'étape n°2 :
* [tex]\cdots+\frac{-A}{B}[/tex] ou [tex]\cdots -\frac A B[/tex]  sont deux écritures équivalentes
* Le - est devant le trait de fraction, donc  pour toute la fraction, donc pour tout le numérateur,
* Au numérateur devant les parenthèses, il n'y a pas de signe, donc (classe de 5e) c'est  un + qui commence le numérateur voilà pourquoi, il n'est pas écrit,
* Ces parenthèses au numérateur, jouent alors le même rôle qu'au début d'une ligne : précédées d'un +, elles sont inutiles...

Etape n°3 :
*  je peux donc les supprimer...

J'espère que cette fois, c'est bon.

@+


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#17 03-04-2017 10:36:06

yann06
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Re : Cas général : forme canonique

Bonjour Yoshi,



$ P (x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{-b^{2} + 4 ac}{4a^{2}}\right)$

j ' ai donc le droit d ' écrire ça :

$ P (x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{(-b^{2} + 4 ac)}{4a^{2}}\right)$

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