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#1 20-03-2017 18:17:20

Champchesnel
Invité

intégrale indéfinie

Bonjour. Je fais travailler mon peti-fils en math et je bloque sur la résolution de l'intégrale de 1/cos puissance 6 de xdx. J'ai la solution:

intégrale de 1/cos^6xdx= sinx/5cos^5x +4sinx/15cos^3x +8sin/15cosx

mais je n'arrive pas à le démontrer, même par intégration par partie. Qui peut m'aider. Merci

#2 20-03-2017 18:30:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 343

Re : intégrale indéfinie

Bonsoir,

  Connais-tu cette page du site qui explique la plupart des méthodes classiques pour calculer une intégrale.

A l'aide de ce qui est écrit, je te conseille le changement de variables $t=\tan x$. Les formules
$$dt=\frac{dx}{\cos^2 x}\textrm{ et }\frac{1}{\cos^2 x}=1+t^2$$
pourront sans doute t'aider.

F.

Hors ligne

#3 21-03-2017 16:58:18

champchesnel
Invité

Re : intégrale indéfinie

Bonsoir Fred; Merci pour votre suggestion, mais malgré tout je n'obtiens pas la solution. Je désespère d'y arriver.

   Olivier

#4 21-03-2017 18:30:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 343

Re : intégrale indéfinie

Re-

  Avec le changement de variables que je t'ai donné, on cherche désormais une primitive de $(1+t^2)^2 dt$ non?
En développant, on peut facilement trouver une primitive, puis on remplace $t$ par $\cos x$? Où bloques-tu?
Evidemment on ne trouve pas la forme que tu donnes, puisqu'on a quelque chose du type $a (\sin x/\cos x)^5+b(\sin x/\cos x)^3+c\sin x/\cos x$. Si on veut se ramener à la forme que tu donnes, il faut encore remplacer $\sin^2$ par $1-\cos^2$, mais je n'ai pas eu le courage de faire les calculs!

Fred.

Hors ligne

#5 21-03-2017 20:37:58

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 071

Re : intégrale indéfinie

Salut,

ce que Fred voulait dire est de calculer $\int (1+t^2)^3\;dt$

Je trouve de mon côté, sauf erreur : $ \frac{1}{30}\frac{1}{\cos^5 x}\times (10\sin x + 5\sin3x+\sin5x)+ C$

Je ne sais pas si ça t'aide.


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#6 21-03-2017 21:46:29

adam
Invité

Re : intégrale indéfinie

∫∫exp(x 3 +y 3/xy)  avec x2<ay ; y2<ax

changement de variable
x = vu2
y = uv2

#7 22-03-2017 10:47:28

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 849

Re : intégrale indéfinie

freddy a écrit :

Salut,

ce que Fred voulait dire est de calculer $\int (1+t^2)^3\;dt$

Je trouve de mon côté, sauf erreur : $ \frac{1}{30}\frac{1}{\cos^5 x}\times (10\sin x + 5\sin3x+\sin5x)+ C$

Je ne sais pas si ça t'aide.

Salut Freddy,
Je pense que tu as oublié d'ajuster le $dx$ dans le changement de variable. En effet, $\dfrac{1}{\cos^6(x)}=(1+t^2)^3$, par contre $dx = \dfrac{1}{1+t^2}dt$, ce qui correspond à l'intégrale indéfinie indiquée par Fred.

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^6(x)}dx = \displaystyle \int (1+t^2)^2 dt = t + \dfrac{2}{3}t^3 + \dfrac{1}{5}t^5 + C$
soit encore

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^6(x)}dx = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} + \dfrac{2}{3}\dfrac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} + \dfrac{1}{5}\dfrac{\sin^5(x)}{\cos^5(x)} + C$

Après, comme le disais Fred, il faut avoir le courage de faire des calculs :
$\sin^5(x) = (\sin^2(x))^2\sin(x) = (1-\cos^2(x))^2\sin(x) = \sin(x) - 2\cos^2(x)\sin(x) + \cos^4(x)\sin(x)$
idem pour $\sin^3(x)$ et assembler les termes après.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#8 22-03-2017 13:53:12

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 071

Re : intégrale indéfinie

Salut Yassine,

oui, d'accord.
Mon calcul et résultat ne tient toutefois pas compte de cet affichage.


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#9 22-03-2017 19:01:27

champchesnel
Invité

Re : intégrale indéfinie

Merci à Fred, Freddy, Adam et Yassine pour votre aide pour résoudre mon intégrale. Je m'en veux d'avoir été aussi mauvais, en fait je n'arrêtais pas de faire des erreurs de calcul et d'écrire puissance moins 2 à la place de puissance 2!. Merci encore et peut-être à bientôt pour d'autres questions. Olivier

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