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#1 15-03-2017 20:43:29

hichem
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Messages : 107

séries de fonction

Bonsoir
je voudrai savoir si il y a des cas ou on peut intervertire l'ordre d'une somme et de sa limite comme suit :

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^\infty U_n(x) \) = \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \lim_{n \to \infty} U_n(x) \)

Merci d'avance !!

Dernière modification par hichem (15-03-2017 21:01:56)

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#2 16-03-2017 00:02:34

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 431

Re : séries de fonction

Bonsoir

  Je pense qu'il y a des erreurs dans ta notation. La somme est sur k et rien ne dépend de k !

Fred

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#3 16-03-2017 11:39:44

hichem
Membre
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Messages : 107

Re : séries de fonction

bonjour !

oui c'est vrai, alors on notera 2 cas differents !

1 /  \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^\infty U_{n,k}(x) \) = \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \lim_{n \to \infty} U_{n,k}(x) \)


et le second

2 / \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{n=0}^\infty U_n(x) \) = \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \lim_{n \to \infty} U_n(x) \)

Merci d'avance !

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#4 16-03-2017 22:08:12

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 431

Re : séries de fonction

Re-

  Le second cas n'a aucun sens (essaie de comprendre tout seul pourquoi).
Pour le premier, le $x$ ne joue aucun rôle, et je dirais plutôt que tu veux prouver quelque chose comme
$$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}u_k(n)=\sum_{k=0}^{+\infty}\lim_{n\to+\infty}u_k(n).$$

C'est possible par un argument de convergence uniforme (voir dans ce résumé de cours le théorème d'interversion des limites).

F.

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#5 17-03-2017 17:09:10

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

Re : séries de fonction

bonjour,
non ce que je cherche plutot a prouver est . . .
pour savoir si mon raisonement est correct pour prouver la convergence simple d'une série de focntion ou pas.
voici la série :
\(\displaystyle F_n : \mathbb{R_+\to R}\)
\(\displaystyle F_n(x) = \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n)}\) avec \(\displaystyle n\ge 0\)
tout d'abord on à:
\(\displaystyle F_n(0) = 0\)

ensuite,
\(\displaystyle F_n(x) = \frac{x^n}{e^{ln{((1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n))}}} \) = \(\displaystyle \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(1+x^n)}}\)
\(\displaystyle F_n(x) = \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(x^n) + ln(\frac{1}{x^n}+1)}}\)

\(\displaystyle \forall x > 1\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} F_n(x)\) est ce que je cherche a calculer
donc si je peux faire la permutation limite et somme pour calculer la somme  sur l'exponentiel et voir si cette série converge ou pas.

Dernière modification par hichem (17-03-2017 17:10:34)

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#6 17-03-2017 17:45:32

Fred
Administrateur
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Messages : 4 431

Re : séries de fonction

hichem a écrit :

\(\displaystyle F_n(x) = \frac{x^n}{e^{ln{((1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n))}}} \) = \(\displaystyle \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(1+x^n)}}\)
\(\displaystyle F_n(x) = \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(x^n) + ln(\frac{1}{x^n}+1)}}\)
.

Fais attention à ce que tu écris. Dans la somme, c'est $x^k$ non????

F.

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#7 17-03-2017 21:37:51

hichem
Membre
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Messages : 107

Re : séries de fonction

re

Oui oui c'est vrai  je n'ai pas fais attention !
donc mon raisonement n'ai pas correct ?
\(\displaystyle F_n(x) = \frac{x^n}{e^{ln{((1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n))}}} \) = \(\displaystyle \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(1+x^k)}}\)
\(\displaystyle F_n(x) = \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(x^k) + ln(\frac{1}{x^k}+1)}}\)
?

Merci d'avance !

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#8 17-03-2017 22:10:45

Fred
Administrateur
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Messages : 4 431

Re : séries de fonction

Vu ton exercice, je me demande si tu t'intéresses à la suite de fonctions $(F_n)$, ou à la série de fonctions $\sum_n F_n$.

Ce n'est pas du tout pareil!!!

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#9 17-03-2017 22:13:40

hichem
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Messages : 107

Re : séries de fonction

c'est a la série que je m'interesse.

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#10 18-03-2017 11:48:22

Fred
Administrateur
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Messages : 4 431

Re : séries de fonction

Il faut que tu separes 3 cas :
x<1 tu majores par x^n
x=1
x>1 tu détruis le numérateur avec le dernier facteur du dénominateur.

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#11 19-03-2017 11:47:21

hichem
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Messages : 107

Re : séries de fonction

bonjour !

Merci, je vais voir  chaque un des cas

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#12 19-03-2017 14:45:29

hichem
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Messages : 107

Re : séries de fonction

Re bonjour

Oui grace a ça j'ai pu demontrer sa convegence normal sur \(\displaystyle \mathbb R_+\) , Merci beaucoup !

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