Série de fonctions (Page 1) / Entraide (supérieur) / Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 18-03-2017 21:12:06

Mendes
Nouveau membre
Inscription : 16-03-2017
Messages : 5

Série de fonctions

Bonjour,

Voici un petit exercice scolaire qui me tiens en haleine depuis quelques temps:

On considère une suite réelle  (a_n) telle que :
∑_(n≥1)〖n² (a_n) ²〗converge.
Il s'agit de montrer que la série de fonctions ∑_(n≥1) 〖a_n  cos⁡(n x)〗  définit une fonction continue sur IR.
Pour se faire je veux démontrer que ∑_(n≥1) 〖a_n  cos⁡(n x)〗 converge uniformément sur IR.
On déduit rapidement que |a_n| < 1/n à partir d'un certain rang N et que |a_n| décroît vers 0.
Mon intuition me dit que en réalité ∑_(n≥N) 〖| a_n |〗converge. (si c'est le cas l'affaire serait régler,  peut être n'est pas le cas...) Cependant je n'arrive pas à la faire immerger et à tirer les ficelles de cet exercice.

Des idées svp ?
Merci d'avance.

Hors ligne

#2 18-03-2017 22:28:12

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 540

Re : Série de fonctions

Bonsoir Mendes,

Ton intuition me semble correcte.
Un mot clef qui peut sans doute t'aider : inégalité de Cauchy-Schwarz...
Vois-tu ce que je veux dire ?

Roro.

Dernière modification par Roro (18-03-2017 22:29:58)

Hors ligne

#3 19-03-2017 10:18:06

Mendes
Nouveau membre
Inscription : 16-03-2017
Messages : 5

Re : Série de fonctions

Bonjour Roro,

Merci de ton indication.
Oui je vois bien ce que c'est cauchy schwarz ( |<x,y>| <= ||x|| * ||y|| ) . Cependant dans le cadre des suites et des séries je ne vois pas son utilité...pourrais tu m'en dire un peu plus stp .

Hors ligne

#4 19-03-2017 11:36:38

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 540

Re : Série de fonctions

Bonjour,

Tu peux utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec le produit scalaire suivant :
\(\displaystyle \langle u_n,v_n \rangle = \sum u_nv_n\) .
Tu peux ainsi majorer la somme \(\displaystyle \sum |a_n|\) en utilisant \(\displaystyle \sum n^2 a_n^2\) ...

Roro.

Hors ligne

#5 19-03-2017 11:44:28

Mendes
Nouveau membre
Inscription : 16-03-2017
Messages : 5

Re : Série de fonctions

Ok merci Roro
J'ai trouvé finalement c'était juste manipuler ∑|an| =∑|an|*n *(1/n) et d'utiliser Cauchy ...

Bonne journée
Cordialement.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer

Les questions suivantes sont faites pour éviter le spam. Si vous voulez ne plus les avoir, inscrivez-vous!

Quel est le résultat de 81+15?

Quel est le 3 ième chiffre de 4780322?

Pied de page des forums

[ Générées en 0.025 secondes, 10 requêtes exécutées - Utilisation de la mémoire : 2.1 MiB (pic d'utilisation : 2.41 MiB) ]