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#1 12-03-2013 20:37:49

CIRDECO
Invité

loi uniforme

Bonsoir,
voici 2 exercices que j'ai résolus mais dont la solution me semble suspecte et me pousse à demander votre avis d'expert.

Ex 1 A partir de 7 heures le matin, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt précis. Un usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée à cet arrêt, représentée par le nombre de minutes après 7h, est la variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle [0,30].
1) Quelle est la probabilité que l'usager attente moins de 5 minutes le prochain bus ?
2) Quelle est la probabilité qu'il attende plus de 10 minutes ?

REPONSES : 1) La fonction densité associée à cette variable aléatoire est la fonction constant 1/30 et si j'intègre cette fonction sur [0,5], je trouve 5/30, c'est-à-dire 1/6.
2) Si j'appelle X la variable aléatoire, P(X>10) = 1 - P(X<10) = 2/3 car P(X<10) correspond à l'intégrale de 1/30 sur [0,10], c'est-à-dire 1/3.
Cependant, ces résultats me semblent douteux, la donnée "les bus passent toutes les 15 minutes" n'apparaît pas dans mes calculs et par exemple pour la question 2, la probabilité qu'il attende plus de 10 minutes me semble intuitivement trop élevée (pourtant j'ai bien appliqué la définition d'une loi uniforme.

Ex 2 Olivier vient tous les matins entre 7h et 7h45 chez Karine prendre un café.
1) Sachant qu'Olivier ne vient jamais en dehors de la plage horaire indiquée et qu'il peut arriver à tout instant avec les mêmes chances, quelle densité peut-on attribuer à la variable aléatoire "heure d'arrivée d'Olivier" ?
REPONSE : je prendrais la fonction constante 1/45
2) Calculer la probabilité qu'Olivier sonne chez Karine
- après 7h30    REPONSE : 1/3
- avant 7h10     REPONSE : 2/9
- entre 7h20 et 7h22        REPONSE : 2/45
- à 7h30 exactement.   JE TROUVE 0 car l'intégrale de 1/45 sur [30, 30] vaut 0 MAIS CELA NE ME SEMBLE PAS TRES COHERENT !

MERCI D'AVANCE POUR VOTRE AIDE !
Cédric

#2 12-03-2013 20:59:15

Fred
Administrateur
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Re : loi uniforme

Salut,

  Je n'ai lu que le résultat de la première question, et effectivement ce n'est pas correct. Comme tu l'imagines, tu ne peux pas ne pas tenir compte de l'information sur le passage du bus.
En réalité, si on note X le temps d'attente de l'usager, tu as fait l'hypothèse que X suit une loi uniforme, alors que ce n'est pas du tout ce que dit l'énoncé. L'énoncé te dit que l'heure d'arrivée suit une loi uniforme.
Notons Y cette heure d'arrivée, qui suit donc une loi uniforme entre 0 et 30.
Ma question, pour t'aider, est : quelles sont les valeurs que peut prendre Y pour que le temps d'attente soit inférieur à 5 min (sachant donc qu'un bus passe à 7h, à 7h15 et à 7h30...).

Fred.

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#3 12-03-2013 21:10:20

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 071

Re : loi uniforme

Salut,

pour le 1 tu n'as pas assez réfléchi. Repose le problème en combinant mouvement certain des bus et déplacement aléatoire de l'usager.

Pour le 2, tout est OK, et comme tu as un loi continue, le 0 est normal.


Memento Mori ! ...

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#4 12-03-2013 21:43:40

jdec
Invité

Re : loi uniforme

b'soir,

CIRDECO ex 2 question 2  a écrit :

- avant 7h10     REPONSE : 2/9

Ne faut-il pas revoir ?

#5 12-03-2013 21:46:10

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 345

Re : loi uniforme

jdec a écrit :

b'soir,

CIRDECO ex 2 question 2  a écrit :

- avant 7h10     REPONSE : 2/9

Ne faut-il pas revoir ?

Pourquoi? 10/45=2/9 non???

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#6 12-03-2013 22:25:22

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 071

Re : loi uniforme

Re,

pardon Fred, je n'avais pas vu que tu avais répondu. Le serveur doit avoir des lenteurs !


Memento Mori ! ...

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#7 13-03-2013 09:43:57

CIRDECO
Invité

Re : loi uniforme

Bonjour,
Merci pour votre aide.
Pour l'ex 1 1), P(7h10<Y<7h15) = 5/30 = 1/6 et P(7h25<Y<7h30) = 5/30 = 1/6 donc la probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes le prochain bus est 2*1/6 = 1/3.
Par ailleurs, pour la question 2), P(7h<Y<7h05) + P(7h15<Y<7h20) = 2*5/30 = 1/3 donc la probabilité qu'il attende plus de 10 minutes est 1/3.

Pour l'ex 2, je  comprends par la calcul que la probabilité qu'Olivier sonne chez Karine à 7h30 précises soit nulle mais je n'arrive pas à l'expliquer intuitivement. Elle ne devrait pas être nulle puisqu'une telle éventualité est possible.
Merci d'avance pour la suite,
Cordialement,
Cédric

#8 13-03-2013 10:41:24

Fred
Administrateur
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Re : loi uniforme

Salut,

  Il y a deux points importants dans ce que tu ne comprends pas :
* la différence entre événement impossible et événement de probabilité nulle.
* la différence entre le discret et le continu. Arriver à 7h30 précise (0sec, 0 milliseconde,etc....) n'est pas
un événement impossible - mais sa probabilité est nulle parce que on évalue un temps d'arrivée discret
alors que l'intervalle possible des temps d'arrivée est continu. Une justification mi-calcul, mi intuition peut être la suivante.
La probabilité qu'il arrive entre 7h30 et 7h31 est 1/45.
La probabilité qu'il arrive entre 7h30 et 7h30 et 1s est 1/(45*60).
On peut continuer ainsi avec des intervalles de temps de plus en courts autour de 7h30, la probabilité va tendre vers 0.

Fred.

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#9 13-03-2013 10:43:26

freddy
Membre chevronné
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Messages : 6 071

Re : loi uniforme

Salut,

je vais te poser une question faussement naïve : es-tu certain de pouvoir appuyer sur le bouton de la sonnette de Karine à 7:30:00 ...

Une courte anecdocte (inventée) : en 1985, de brillants ingénieurs du California Institut of Technologie mirent au point un ordinateur capable de donner l'heure exacte. Une interface homme - machine permettait de lui poser la question et la machine répondait avec une voix féminine.

Le jour de l'inauguration, un participant demanda à la machine : quelle heure est il ? La machine répondit : il est exactement 8 h 00' 000 ... euh 8 heures 0 minutes 0000 ... euh 8 heures 0 minutes 00000001 ... euh  ... et l'expérience s'arréta là, l'ordinateur boucla sur lui-même jusqu'à saturation de sa mémoire.

En clair, es-tu parfaitement certain de pouvoir sonner à 7:30:00000000000000....  ??? Non évidemment.

Au plan plus mathématique, la raison en est que le point est un ensemble de mesure nulle sur \(\displaystyle \mathbb{R}\) .

Si tu avais défini une loi à valeurs entières, de minute entière en minute entière sur l'intervalle de nombres entiers [0 , 45] , là oui, tu aurais pu dire que la proba = 1/45, ce qui sous entend que tu ne comptes pas les secondes en plus ou en moins qui encadrent 7h30'.

Voilà le pourquoi.

Je laisse Fred compléter.

_______

[EDIT] le temps d'écrire ma prose, Fred est allé à l'essentiel !

Dernière modification par freddy (14-03-2013 11:26:36)


Memento Mori ! ...

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#10 14-03-2013 10:01:01

CIRDECO
Invité

Re : loi uniforme

Bonjour,
ça y est, tout est parfaitement clair ! Merci infiniment pour la pertinence et la capacité persuasive de vos réponses !
Comme vous n'avez fait aucune remarque sur l'ex 1, je pense que c'est OK (pour ma deuxième proposition).
Cordialement,
Cédric

#11 14-03-2013 11:32:52

freddy
Membre chevronné
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Messages : 6 071

Re : loi uniforme

Salut,

oui, cette fois-ci, le 1 est OK. Au passage, on relève que la régie des transports du coin a fait en sorte que la probabilité d'attendre entre 5 et 10 min soit aussi de 1/3.

On précisera aussi que la probabilité d'attendre plus d'un quart d'heure est nulle.

C'est une exemple intéressant pour comprendre comment les ingénieurs des transports déterminent les fréquences de passages de train, de métro, de tram ou de bus à certaines heures de la journée.


Memento Mori ! ...

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#12 08-05-2013 16:24:09

yoooooo
Invité

Re : loi uniforme

Bonjour, quelqu'un pourrait m'éclairer ? Je  ne comprends pas le résultat de l'exercice 2, question une : 1/45 ? Ne serait-ce pas plutôt 1/0,45 ? Etant donné que l'intervalle [a;b] donc [7;7,45] donc 1/b-a soit 1/7,45-7=1/0,45 ?

#13 08-05-2013 17:07:05

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : loi uniforme

Bonjour,

la densité est un rapport entre éléments mesurés avec la même unité
ici 1/45 est pour chaque minute dans l'intervalle  de 45 minutes...

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#14 11-05-2013 11:06:47

yeah man
Invité

Re : loi uniforme

Je pense avoir compris que 1/45 est Olivier qui peut arriver toute les minutes durant 45 minutes (entre 7h et 7h45) mais dans ce cas, quelles sont les valeurs de la formule 1/(b-a) ?
b=?
a=?

#15 09-06-2013 15:08:03

ludovic1974
Invité

Re : loi uniforme

Bonjour,
Dans l'exercice sur le passage du bus :  Y heures d'arrivée des bus suit une loi uniforme sur [0,30].
Pouvez vous me dire quelle est la loi suivie par X temps d'attente à l'arrêt ?
Merci

#16 18-03-2017 16:23:49

kendji
Invité

Re : loi uniforme

ln 2= 0.7 et ln 7= 1.9

expliquer comment à partir de ces deux valeurs approchées, on peut trouver sans calculatrice une valeur approchée de ln56 et ln3.5

pouurriez vous m'aider svp

#17 18-03-2017 17:06:00

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 076

Re : loi uniforme

Bonjour,

(on n'est pas des chiens, si ?)

En prime, qu'est-ce que ta question a à voir avec le sujet en cours ? Rien !
Donc, tu la parasites...
Ouvre ta propre discussion en cliquant sur ce lien  : Nouvelle discussion

Je te donne quand même une piste : \(\displaystyle 56 = 7 \times 8\)   et  \(\displaystyle 3,5 = \frac 7 2\)
Plus amples détails si tu en as besoin et dans ta propre discussion.
Dans 48, je supprimerai ce post et le tien.
Alors dépêche-toi...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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