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#1 15-03-2017 21:43:29
- hichem
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séries de fonction
Bonsoir
je voudrai savoir si il y a des cas ou on peut intervertire l'ordre d'une somme et de sa limite comme suit :
[tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^\infty U_n(x) [/tex] = [tex]\sum_{k=0}^\infty \lim_{n \to \infty} U_n(x) [/tex]
Merci d'avance !!
Dernière modification par hichem (15-03-2017 22:01:56)
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#3 16-03-2017 12:39:44
- hichem
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Re : séries de fonction
bonjour !
oui c'est vrai, alors on notera 2 cas differents !
1 / [tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^\infty U_{n,k}(x) [/tex] = [tex]\sum_{k=0}^\infty \lim_{n \to \infty} U_{n,k}(x) [/tex]
et le second
2 / [tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{n=0}^\infty U_n(x) [/tex] = [tex]\sum_{n=0}^\infty \lim_{n \to \infty} U_n(x) [/tex]
Merci d'avance !
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#4 16-03-2017 23:08:12
- Fred
- Administrateur
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Re : séries de fonction
Re-
Le second cas n'a aucun sens (essaie de comprendre tout seul pourquoi).
Pour le premier, le $x$ ne joue aucun rôle, et je dirais plutôt que tu veux prouver quelque chose comme
$$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}u_k(n)=\sum_{k=0}^{+\infty}\lim_{n\to+\infty}u_k(n).$$
C'est possible par un argument de convergence uniforme (voir dans ce résumé de cours le théorème d'interversion des limites).
F.
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#5 17-03-2017 18:09:10
- hichem
- Membre
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Re : séries de fonction
bonjour,
non ce que je cherche plutot a prouver est . . .
pour savoir si mon raisonement est correct pour prouver la convergence simple d'une série de focntion ou pas.
voici la série :
[tex]F_n : \mathbb{R_+\to R}[/tex]
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n)}[/tex] avec [tex]n\ge 0[/tex]
tout d'abord on à:
[tex]F_n(0) = 0[/tex]
ensuite,
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{e^{ln{((1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n))}}} [/tex] = [tex]\frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(1+x^n)}}[/tex]
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(x^n) + ln(\frac{1}{x^n}+1)}}[/tex]
[tex]\forall x > 1[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} F_n(x)[/tex] est ce que je cherche a calculer
donc si je peux faire la permutation limite et somme pour calculer la somme sur l'exponentiel et voir si cette série converge ou pas.
Dernière modification par hichem (17-03-2017 18:10:34)
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#6 17-03-2017 18:45:32
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 049
Re : séries de fonction
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{e^{ln{((1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n))}}} [/tex] = [tex]\frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(1+x^n)}}[/tex]
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(x^n) + ln(\frac{1}{x^n}+1)}}[/tex]
.
Fais attention à ce que tu écris. Dans la somme, c'est $x^k$ non????
F.
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#7 17-03-2017 22:37:51
- hichem
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Re : séries de fonction
re
Oui oui c'est vrai je n'ai pas fais attention !
donc mon raisonement n'ai pas correct ?
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{e^{ln{((1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n))}}} [/tex] = [tex]\frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(1+x^k)}}[/tex]
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(x^k) + ln(\frac{1}{x^k}+1)}}[/tex]
?
Merci d'avance !
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