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#1 17-03-2017 02:40:14

soso1
Membre
Inscription : 12-11-2016
Messages : 85

integrale

Bonjour


j étudie cette suite définie par une  intégrale ,j ai réussie a montrer que la suite est décroissante


Y a t'il une autre méthode ou astuce pour arriver à cette conclusion, mon intuition se porte sur les bornes de l'intégrale?


[tex]n\ge 1[/tex]


[tex]{ u }_{ n }=\int _{ { 2 }^{ n } }^{ { 2 }^{ n+1 } }{ \frac { dx }{ x\ln { x }  }  }[/tex]



[tex] =\ln { \left( \ln { { 2 }^{ n+1 } }  \right)  } -\ln { \left( \ln { { 2 }^{ n } }  \right)  }[/tex]


[tex]
{ u }_{ n }=\ln { \left( \frac { n+1 }{ n }  \right)  }[/tex]



j 'ai décalé l'indice puis soustrait les deux suites et arrive au résultat ci dessous


[tex] \Leftrightarrow \quad { \frac { 1 }{ n+1 }  }<\frac { 1 }{ n }[/tex]




[tex] \Leftrightarrow \quad { ln\frac {n+2 }{ n+1 }  }<ln\frac { n+1 }{ n }[/tex]




je vous dis merci par avance

Dernière modification par soso1 (17-03-2017 05:02:21)

Hors ligne

#2 17-03-2017 12:39:17

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 121

Re : integrale

Salut,

pas mieux !


Memento Mori ! ...

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#3 17-03-2017 13:40:26

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 548

Re : integrale

Bonjour soso1,

Tu dois aussi pouvoir arriver au même résultat en faisant un changement de variable (si tu l'as déjà vu) :
[tex]u_{n+1} = \int_{2.2^n}^{2.2^{n+1}} \frac{dx}{x\, \ln x} =  \int_{2^n}^{2^{n+1}} \frac{2\, dy}{2y\, \ln (2y)}[/tex]
Puisque [tex]\ln(2y)>\ln y[/tex] tu en déduis
[tex]u_{n+1} < \int_{2^n}^{2^{n+1}} \frac{dy}{y\, \ln y}=u_n[/tex].

Roro.

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#4 17-03-2017 19:01:20

soso1
Membre
Inscription : 12-11-2016
Messages : 85

Re : integrale

merci,c'est noté

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