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#1 09-03-2017 17:23:32

saintlouis
Invité

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Bonjour,

Je bloque un peu sur l'interprétation du résultat de cet exercice :

Benjamin, Aurélie et Anna ont prévu d'aller voir le film Jurassic World. Benjamin sait que pendant un film, il mange en moyenne 130 grammes de popcorn avec un variance de 9. Un paquet de popcorn vendu au cinéma pèse 145 grammes. Quel est l'énoncé le plus précis que l'on puisse dire concernant la probabilité qu'il restera du popcorn pour Aurélie et Anna ?

J'ai procédé ainsi :

Données :

µ = 130 σ = 3 puisque V(X)= 9


A partir de ça j'ai les conditions nécessaire pour appliquer l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 −1/k2

On nous dit que le paquet pèse 145 gramme donc la valeur maximal est de 145 (borne supérieure).
Donc 145 = 130 + k.3 --> k = 5
Si on remplace k par 5 de l'autre coté on a 115 pour la borne inférieure.

Au final on arrive donc a :
P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 −1/(5)2

P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 0.96

J'interprète ca comme la probabilité que Benjamin ait consommé entre 115 et 145 grammes de pop corn est de 96% ou plus. Mais en quoi cela laisse-t-il présager qu'il y'aurait encore du Popcorn pour Aurélie et Anna ? La variable est comprise entre 115 et 145 avec les 2 valeurs comprises, et si on prend justement 145 gr il n'en restera plus pour les autres.

#2 09-03-2017 18:19:31

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Bonjour,

  Je dirais la chose suivante :
$$P(X\geq 145)=1-P(X\leq 145)\leq 1-P(115\leq X\leq 145)\leq 0,04$$

Il y a donc plus de 96% de chances qu'Aurélie et Anna aient (un peu) de popcorn à se partager.

F.

Hors ligne

#3 09-03-2017 18:30:51

saintlouis
Invité

Re : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Que représente la variable aléatoire pour vous ? Je pense avoir fait une mauvaise interprétation de cette dernière alors

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