Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cirdec

Invité

spécialité math en terminale S

Bonjour,
Soit le cas d'une matrice A de type 2*2 ou 3*3 à coefficients tous positifs et telle que la somme des coefficients sur chacune des colonnes fasse 1.
J'ai remarqué que A² a encore la même propriété mais pourquoi ? Je n'arrive pas à le prouver même dans le cas 2*2.
Merci pour votre aide.
Très cordialement,
C.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 048

Re : spécialité math en terminale S

Bonjour,

  Pour une matrice 2x2, cela suit d'un simple calcul : si $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$, alors $A^2=\left(\begin{array}{cc}a^2+bc&*\\ac+dc&*\end{array}\right)$, et alors
$$a^2+bc+ac+dc=a(a+c)+c(b+d)=1.$$
On peut faire une preuve similaire pour une matrice 3*3, et même pour une matrice n*n.

Il y a une raison plus profonde qu'un simple calcul à cela. Si on a un graphe probabiliste et que l'on regarde sa matrice de transition, alors elle vérifie cette propriété (éventuellement, c'est la somme des lignes qui est égale à 1, suivant la définition que l'on donne de la matrice de transition). Regarder le carré de la matrice, c'est regarder la matrice de transition du graphe que l'on a itéré une fois (c'est-à-dire qu'on regarde la probabilité d'un mouvement de longueur 2 dans le graphe). C'est encore un graphe probabiliste, et donc la matrice de transition de ce deuxième graphe vérifie encore cette propriété.

F.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : spécialité math en terminale S

Bonjour,

Une petite digression pour appuyer ce qu'a (si bien) dit Fred ci-dessus :

En considérant la transposée, on peut en effet considérer des matrices dont la somme des lignes vaut $1$. Ces matrices ont même méritées un nom spécial. On les appelle matrices stochastiques.

Si on prend deux matrices stochastiques $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$, alors le terme général du produit s'écrit comme $c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$.
Alors, la somme des éléments d'une ligne de ce produit se calcule comme suit :
$\displaystyle\begin{array}
.\sum_{i=1}^n c_{ij} &= \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \\
&= \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ik}b_{kj} \\
&= \sum_{k=1}^n b_{kj} \sum_{i=1}^n a_{ik} \\
&= \sum_{k=1}^n b_{kj} \\
&= 1 \end{array}$
Donc, le produit de deux matrices stochastique est une matrice stochastique.

On peut aussi regarder ce problème sous un autre angle, celui du point fixe.
Si on prend le vecteur $e=(1,1,\cdots,1)^T$ (vecteur colonne avec que des $1$). Alors le vecteur $Ae$ contient les sommes des lignes de la matrice $A$. Donc, si $A$ est une matrice stochastique, $Ae=e$, et donc $e$ est un point fixe de $A$.
On vérifie donc aisément que pour deux matrices stochastiques $A$ et $B$, $ABe=Ae=e$, et donc $AB$ est stochastique. Si $A$ est stochastique et inversible, alors $A^{-1}$ est également stochastique.

Maintenant, sous l'angle des probabilités, si on considère un système qui a $n$ états et peut évoluer d'un état à l'autre de manière aléatoire (une puce qui sauterait d'un point à un autre par exemple), on représente par une matrice stochastique les probabilités de transition, c'est à dire la probabilité d'évoluer vers l'état $j$ sachant qu'on le système est dans l'état $i$. La condition sur la somme qui vaut $1$ matérialise simplement le fait que le système va forcément se retrouver dans un état donné en partant de n'importe quel état $i$.
Cette condition sera bien remplie si on applique d'abord une matrice stochastique $B$ puis une matrice stochastique $A$.

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Cirdec

Invité

Re : spécialité math en terminale S

MERCI !!!
Tout est clair et complet !
Cordialement,
C.