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#1 23-02-2017 11:30:14

mistral
Invité

demande de vérification sur exercice de probabilité

BONJOUR,

(On n'est pas des sauvages !)

Je pose cette question.
1 sac à 50 jetons de forme et de couleurs différentes
20 jetons sont ronds
40 sont blancs
15 sont ronds et blancs

Quel est la probabilité que le jeton soit Rond ou Blanc ?
A = (obtenir 1 jeton rond) P(A)=20 ronds
B = (obtenir 1 jeton blanc) P(B)=40 blancs

Rond (et) blanc P(A∩B)=15ronds et blancs
Rond (ou)Blanc P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)→ 20/50+40/50-15/50=45/50

Le défaut constaté, est que si je calcul P(A∩B)= 20/50 x 40/50 = 800/2500 =16/50
Mais, dans l'énoncé, on donne 15/50.

Est-il logique de ne pas avoir une réponse cohérente entre l'énoncé et la preuve mathématique via la formule P(A∩B)=16/50(réponse mathématique) au lieux de 15/50(énoncé)

Comment vérifier que 15/50 est correcte ?

Comment faut-il procéder pour placer un fichier, de manière à visualiser le schéma en forme d'arbre ou autre ?
Merci de votre aide.

Dernière modification par yoshi (23-02-2017 11:34:08)

#2 23-02-2017 14:27:09

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : demande de vérification sur exercice de probabilité

Salut,

mistral a écrit :

Le défaut constaté, est que si je calculE P(A∩B)= 20/50 x 40/50 = 800/2500 =16/50

c'est cela qui est très faux.
$P(A \cap B) \ne  P(A)\times P(B)$, c'est le sel du problème (cf. relire le chapitre sur les événements indépendants).

mistral a écrit :

Est-il logique de ne pas avoir une réponse cohérente entre l'énoncé et la preuve mathématique via la formule P(A∩B)=16/50(réponse mathématique FAUSSE) au lieux de 15/50(énoncé)

Aucun sens. Le défaut de logique n'est pas dans le problème ...


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 23-02-2017 15:39:54

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : demande de vérification sur exercice de probabilité

Salut,

Houlà ! Plusieurs erreurs dans la solution que tu proposes. Et un énoncé assez mal posé.



La première erreur et la plus grave (à mon sens) est celle relevée par freddy.

$P(A \cap B) \neq  P(A)\times P(B)$

Ici, il faut revenir à la propriété :

On considère une expérience aléatoire telle que toutes les issues ont la même probabilité (cas d'équiprobabilité).
Alors pour tout évènement $A$,
$P(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues réalisant }A}{\text{nombre total d'issues}}$

Ainsi, dans ton exercice, si on arrive à montrer qu'il y a équiprobabilité, on trouve bien $P(A\cap B)=\dfrac{15}{50}$
Je reviens à la fin sur le fait que l'équiprobabilité n'est pas complètement évidente ici...


Deuxième erreur qui me dérange beaucoup, c'est quand tu écris :
P(A)=20 ronds
P(B)=40 blancs
P(A∩B)=15 ronds et blancs

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Tu n'as pas le droit d'écrire ça comme ça.
Ce qu'il faut écrire est plutôt :
$A$ = "Obtenir 1 jeton rond."
L'évènement $A$ contient 20 issues.
Donc $P(A)=\dfrac{20}{50}$


Ensuite, un petit détail. Tu écris :
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)→ 20/50+40/50-15/50=45/50
Pourquoi utiliser une flèche ici? Le symbole adéquat est bien un "=" !



Passons aux problèmes de l'énoncé.
Je ne sais pas si tu as recopié l'énoncé d'un livre, mais je le trouve assez mal rédigé. (ou alors tu ne l'as pas recopié entièrement)

Premièrement, l'expérience aléatoire n'est pas décrite.
Par défaut, on a envie de considérer l'expérience "On tire au hasard un jeton de ce sac."
Mais on pourrait imaginer plein d'autre expérience aléatoire qui donnerait donc des probabilités différentes.
Par exemple : "On tire un jeton au hasard dans le sac. S'il est blanc on le remet dans le sac et on retire un jeton au hasard dans le sac.


Deuxième problème, on ajoute souvent la condition "les jetons sont indiscernables au toucher." Ceci afin de sous-entendre le fait que chaque jeton à la même probabilité d'être tiré.
Là avec des jetons de forme différentes, l'équiprobabilité ne va pas de soit...

Dernière modification par tibo (23-02-2017 15:40:59)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#4 23-02-2017 23:23:52

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : demande de vérification sur exercice de probabilité

Salut Tibo,

ta remarque est fondée, mais puisque rien n'est dit sur l'expérience aléatoire, j'ai imaginé qu'il y avait un opérateur neutre qui procédait lui même au tirage avec la main de l'innocent (par exemple, tirage électronique genre "bandit manchot").
Pas sûr que le mistral revienne, encore une question-minute.
S'il revient, on va lui expliquer qu'à son niveau, il faut avant toute chose se remettre en cause avant de s'en remettre à son jugement pour critiquer le travail d'un auteur. C'est le plus sûr moyen de progresser.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 25-02-2017 11:20:42

mistral
Invité

Re : demande de vérification sur exercice de probabilité

Bonjour à tous,
Merci de vos réponses.
C'est la toute première fois que je fais de la probabilité.

Donc, je découvre.
L'énoncé est écrit comme ceci d'un cours de mathématique.
Je recopie simplement et bêtement l'énoncé.

Un sac contient 50 jetons de forme et de couleurs différentes : 20 sont ronds, 40 sont blancs et 15 sont à la fois ronds et blancs.
On tire au hazard un jeton du sac.
Quelle est la probabilité que le jeton soit rond oublanc ?

A =  obtenir un jeton rond
B=   obtenir un jeton blanc

Nombre de jetons ronds ou blancs = 40+20-15
P(A union B) = (40/50+20/50-15/50) = P(A)+P(B)-P(A et B)

Je viens de refaire cet exercice, avec les différents schémas soit arbre, tableau et diagramme de Venn.
Mais, comment faire pour ajouter ce fichier ????

Ainsi, il serait plus facile de pouvoir apporter une correction.
Merci encore et en attente de vous relire.

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