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#1 23-02-2017 16:55:11

linearspartiat
Invité

Inegalité

Bonjour,


Je suis bloqué sur l'exercice suivant :

Soit [tex]q_m(x)=\sum_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{(2m-j)!}{(2m)!}(-x)^j[/tex] et [tex]r_m(x)=\frac{q_m(-||A||)}{q_m(||A||)}[/tex], on dispose de la relation [tex]||q_m(A)^{-1}||\leq \frac{1}{2-q_m(-||A||)}[/tex] et [tex]r_m(x)-e^x[/tex].
Il faut montrer que [tex]||e^{-A}r_m(A)-I_n|| \leq \frac{q_m(||A||)}{2-q_m(-||A||))}|exp(A) - r_m(A)|[/tex]

Voici ce que j'ai fait
[tex]||{G_r}|| = ||{\exp(-A)r_m(A)-I_n}|| = ||{\exp(-A)(r_m(A)-\exp(A))}|| = ||{\exp(-A)\frac{A^{2m+1}}{(2m)!}q_m(A)^{-1} \int_0^1 \exp(tA)(1-t)^mt^mdt}|| \leq
||{q_m(A)^{-1}}|| \frac{||{A}||^{2m+1}}{(2m)!}||{\exp(-A)\int_0^1 \exp(tA)(1-t)^mt^mdt}||\leq \frac{1}{2-q_m(-||{A}||)} \frac{||{A}||^{2m+1}}{(2m)!}|\int_0^1 \exp((1-t)||{A}||)(1-t)^mt^mdt| \leq \frac{1}{2-q_m(-||{A}||)} \frac{\norm{A}^{2m+1}}{(2m)!}|\int_0^1 \exp((1-t)||{A}||)\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}(-t)^{m-j}t^mdt| \leq \\ \frac{1}{2-q_m(-||{A}||)} \frac{||{A}||^{2m+1}}{(2m)!}|\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}(-1)^{m-j}\int_0^1 \exp((1-t)||{A}||)t^{2m-j}dt|\leq\\
\frac{1}{2-q_m(-||{A}||)} \frac{||{A}||^{2m+1}}{(2m)!}|\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}(-1)^{j}\int_0^1 \exp((1-t)||{A}||)t^{2m-j}dt|\\[/tex]

En utilisant alors une intégration par partie $m+1$ fois, on obtient

[tex]||{G_r}|| \leq \frac{1}{2-q_m(-||{A}||)} \frac{||{A}||^{2m+1}}{(2m)!}|\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}(-1)^{j} \sum\limits_{k=0}^{2m-j} (-1)^k [(-1)^{k+1}\frac{\exp((1-t)||{A}||)}{||{A}||^{k+1}}\frac{(2m-j)!}{(2m-j-k)!}t^{2m-j-k}]_{t=0}^1| \leq \\ \frac{1}{2-q_m(-||{A}||)}||{A}||^{2m+1}|\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{(2m-j)!}{(2m)!}(-1)^j(\frac{\exp(||{A}||)}{||{A}||^{2m-j+1}}-\sum\limits_{k=0}^{2m-j}\frac{1}{(2m-j-k)!||{A}||^{k+1}})| \leq\\
\frac{1}{2-q_m(-||{A}||)}||{A}||^{2m+1}|\frac{\exp(||{A}||)}{||{A}||{2m+1}}\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{(2m-j)!}{(2m)!}(-||{A}||)^j-\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{(2m-j)!}{(2m)!}(-1)^j\sum\limits_{k=0}^{2m-j}\frac{1}{(2m-j-k)!||{A}||^{k+1}}| \leq\\
\frac{1}{2-q_m(-||{A}||)}||{A}||^{2m+1}|\frac{\exp(||{A}||)}{||{A}||{2m+1}}\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{(2m-j)!}{(2m)!}(-||{A}||)^j-\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{(2m-j)!}{(2m)!}(-1)^j\sum\limits_{k=0}^{2m-j}\frac{1}{k!||{A}||^{2m-j-k+1}}|\leq\\
\frac{1}{2-q_m(-||{A}||)}||{A}||^{2m+1}|\frac{\exp(||{A}||)}{||{A}||{2m+1}}\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{(2m-j)!}{(2m)!}(-||{A}||)^j-\frac{1}{||{A}||^{2m+1}}\sum\limits_{j=0}^m \binom{m}{j}\frac{(2m-j)!}{(2m)!}(-1)^j\sum\limits_{k=0}^{2m-j}\frac{||{A}||^{j+k}}{k!}|\leq\\[/tex]

Mais impossible de conclure...

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