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#1 11-02-2017 08:52:50

pascalm
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Probabilités : PDF(x|x0)

Bonjour,

Je suis confronté au problème suivant :
je connais la PDF d'une variable aléatoire notée f(x) (typiquement Gauss ou Rayleigh).
Je voudrais connaître la PDF de x sachant x0.
Avec des mots, ce que je voudrais connaître est la densité de probabilité du niveau x connaissant le niveau x0.
Dans ma tête il y a de la corrélation mais sans le temps...

1/ J'espère que ma question a du sens !
2/ J'ai cherché sur internet mais sans succès, j'espère avoir bien cherché...

Merci d'avance pour votre aide, quelle qu'elle soit !

Pascal

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#2 11-02-2017 17:48:50

freddy
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Lieu : Paris
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

pascalm a écrit :

Bonjour,

Je suis confronté au problème suivant :
je connais la PDF d'une variable aléatoire notée f(x) (typiquement Gauss ou Rayleigh).
Je voudrais connaître la PDF de x sachant x0.
Avec des mots, ce que je voudrais connaître est la densité de probabilité du niveau x connaissant le niveau x0.
Dans ma tête il y a de la corrélation mais sans le temps...

1/ J'espère que ma question a du sens !

J'ai bien peur que non.


Memento Mori ! ...

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#3 11-02-2017 17:57:02

pascalm
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Freddy, serait-ce possible de savoir pourquoi ?

Merci !

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#4 11-02-2017 21:54:35

freddy
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Salut,

car tu bosses avec une v. a réelle, pas discrète, donc tu ne peux pas t'arrêter à un seul point dont la mesure est nulle, mais il te faut considérer un intervalle, de mesure a priori non nulle.


Memento Mori ! ...

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#5 13-02-2017 09:04:18

pascalm
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Bonjour Freddy,

Désolé mais je ne comprends pas ta réponse, notamment la notion de mesure nulle.
Certes ma v.a. est réelle, mais PDF(x) existe bel et bien.
Je ne comprends pas dans ce cas pourquoi PDF(x|x0) n'existerait pas, seulement parce que ma v.a. ne serait pas discrète ?

Merci,

Pascal

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#6 13-02-2017 10:51:03

freddy
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Re,

c'est quoi, la PDF ? Si tu parles de la fonction de répartition, je maintiens ma réponse.


Memento Mori ! ...

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#7 13-02-2017 11:18:19

pascalm
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

C'est la densité de probabilité (je suppose que tu connais mais je précise que l'intégrale de la densité de probabilité $f_X(x)$ donne la fonction de répartition $F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(u) du$, associés à la v.a. X).

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#8 13-02-2017 11:53:16

Yassine
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Bonjour pascalm,
Je penses que ta question n'est pas bien formulée. Néanmoins, dans ce flou, la réponse de Freddy est sensée : on ne conditionne pas par rapport à un évènement de probabilité nulle.

Donc, si on reprend, $X$ est une v.a. réelle, c'est à dire une fonction mesurable de $\Omega \to \mathbb{R}$.
Sa fonction de distribution est donnée par $F_X(a) = \Pr(X \le a)$ et la densité, quand elle existe par $f_X(t)=\dfrac{d}{dt}F_X(t)$.
On a alors $\displaystyle \Pr(a \le X \le b)=\int_a^b f_X(t)dt$. Donc $\forall a \in \mathbb{R}, \Pr(X=a)=\Pr(a \le X \le a) = 0$
(c'est ce que disais Freddy, la probabilité est une mesure d'ensembles, et la mesure des singletons (mais pas que) est nulle).

Donc souvent, en étant peu regardant sur la notation, on note plutôt $\Pr(a \le X < a + da)=f_X(a)da$ (c'est pour ça qu'on parle de diffusion : la probabilité n'est jamais portée par un seul point mais est diffuse autour du point).

D'autre part, ça ne fait pas de sens de parler de la distribution d'une v.a. sachant sa propre valeur !
Donc, en prenant l'exemple d'une variable discrète, parler de $\Pr(X=b | X=a)$ définit une mesure dégénérée.

Je pense que ce dont tu veux parler, ce sont les processus stochastiques, c'est à dire une famille de variables aléatoires (qu'on indexe souvent par le temps) : $(X_t)_{t \ge 0}$, sachant qu'on peut avoir soit une famille discrète (l'indexation est dénombrable) ou continue (l'index parcours une partie de $\mathbb{R}$). Dans ce cas, pour $s < t$, on peut parler de $\Pr(X_t \in [x,x+dx[\ |\ X_s \in [y, y+dy[)$. Un exemple très utilisé est le mouvement Brownien. Un autre exemple très courant sont les chaines de Markov.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#9 13-02-2017 13:05:03

pascalm
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Messages : 8

Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Bonjour Yassine,

Merci pour l'explication qui m'a semblée très claire.
Je commence à comprendre que (et surtout pourquoi !) ma question était bizarre...

Je reprends ton dernier paragraphe ("... processus stochastiques...") pour avoir quelques compléments si possible : ta dernière formulation "pour $s < t$, on peut parler de $\Pr(X_t \in [x,x+dx[\ |\ X_s \in [y, y+dy[)$ " a l'air d'exprimer exactement ce dont j'ai besoin.
Par contre une chose m'interpelle : il n'y a pas de "lien" entre s et t, ce qui peut les séparer d'un temps arbitrairement long (pas de $t=s+\tau$ qui induirait un résultat fonction également de $\tau$). étant donné qu'il n'y a pas de lien entre s et t, autre que s<t, quelle est la différence avec $\Pr(X \in [x,x+dx[\ |\ X \in [y, y+dy[)$ ce qui, me semble-t-il, revient à ma formulation  $\Pr(x|y)$ ?
Ma question de départ vient effectivement du fait que j'ai un signal aléatoire dont je connais la densité de probabilité. En gros j'aurais souhaité pouvoir déduire un certain nombre de caractéristiques générales sans avoir à connaître le signal temporel (puis autocorrélation et autres), mais en exploitant seulement le fait de connaître sa densité de probabilité.

Merci,

Pascal

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#10 13-02-2017 13:57:06

Yassine
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Je vais essayer de donner un exemple simple pour illustrer la différence entre les deux notations.

Supposons une expérience où on tire une seule fois une boule d'une urne et on obtient $0$ ou $1$ (rouge et noir par exemple).
On note $X_a \in \{0,1\}$ le résultat du tirage ($a$ étant une étiquette, pas nécessairement un nombre). Tu seras d'accord avec moi pour dire qu'il ne fait pas sens de parler de la probabilité que $X_a$ soit égal à $0$ sachant que $X_a$ est égal à $1$ !

Supposons que de plus, il y a une autre urne à côté de la première et qu'il y ait une connexion dont on ignore le fonctionnement entre les deux urnes et on notera $X_b$ le résultat du tirage de cette autre urne. Ici, il fait sens de parler de la probabilité conditionnelle $\Pr(X_b=1\ |\ X_a = 0)$. Si le lien entre les deux urnes est en réalité inerte, alors $\Pr(X_b=1\ |\ X_a = 0) = \Pr(X_b=1)$ (conditionner par rapport à une variable indépendante ne change rien). Par contre, si le lien entre les deux urnes influence le résultat, alors on peut avoir $\Pr(X_b=1\ |\ X_a = 0) \neq \Pr(X_b=1)$.

Donc, pour revenir à ta question, l'écriture $\Pr(X \in [x,x+dx[\ |\ X \in [y, y+dy[)$ se ramène au premier cas que j'ai listé : Si on mets de de côté continue (qui ne change rien sur le fond) cela revient à écrire $\Pr(X =x\ |\ X =y)$ et ce truc vaut $1$ si $x=y$ et $0$ sinon).

Je pense que tu continues à penser au temps quand tu écris $\Pr(X \in [x,x+dx[\ |\ X \in [y, y+dy[)$ mais que tu ne l'explicites pas.
Je pense que tu veux dire "la probabilité que mon signal soit égal à $x$ maintenant sachant qu'il était égal à $y$ au début. Sauf que dans cette phrase, il y a deux variables aléatoires : le signal au début, et le signal maintenant : $X_t$ et $X_0$ et donc la bonne écriture est $\Pr(X_t \in [x,x+dx[\ |\ X_0 \in [y, y+dy[)$.

Si tu connais la loi jointe des deux variables $F_{X,Y}(x,y)=\Pr(X \le x, Y \le Y)$, tu connais la PDF jointe : $\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\int_{x=-\infty}^a \int_{y=-\infty}^b f_{X,Y}(x,y)dxdy$, tu peux connaitre la densité conditionnelle via $f_X(x\ |\ Y=y) = \dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$ où $f_Y(y)$ est la loi marginale de $Y$.

Quand les variables sont indépendantes, tu a alors $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ et tu retrouves alors $f_X(x\ |\ Y=y)=f_X(x)$.


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#11 13-02-2017 17:27:29

pascalm
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Yassine,

Merci beaucoup pour tes réponses.
Je vais réfléchir à tête reposée et revenir si besoin !

A+,

Pascal

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#12 20-02-2017 10:40:46

pascalm
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Bonjour Yassine,

Après réflexion il me reste des questions...
Ce que je cherche est effectivement la probabilité de Xt=x, sachant X0=y (j'ai enlevé les dx et dy pour la simplicité d'écriture...).
Mais comment connaître la loi jointe ? Y a-t-il une formule à appliquer ? une méthode ?

Merci, A+,

Pascal

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#13 20-02-2017 10:57:14

Yassine
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Bonjour Pascal,
Non, malheureusement (ou heureusement !) il n'y a pas de recette générale.
Il faut faire des hypothèses sur les marginales des variables aléatoires et sur les dépendances de ces variables et recourir à des modèles.
Tu peux regarder par exemple les copules pour avoir une idée des modélisations de lois jointes (ici sur Wikipedia).

Autre exemple, les chaines de Markov vont stipuler que $X_t$ n'est dépendante que de $X_{t-1}$ et le problème consistera à modéliser la matrice (stochastique) de transition $p_{ij}(t)=\Pr(X_t=x_j\ | \ X_{t-1}=x_i)$.


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#14 20-02-2017 11:01:27

pascalm
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Re : Probabilités : PDF(x|x0)

Gasp ! Bon ben, j'ai du boulot...

Merci encore !

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