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#1 18-02-2017 13:42:48

yann06
Membre
Lieu : CANNES
Inscription : 11-01-2017
Messages : 59

question en géométrie

Bonjour ,

Pouvez-vous m'aider pour ce doute que j'ai en géométrie

J'ai un triangle ABC donc trois vecteurs $\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC};\overrightarrow{BC}$


si je complète le triangle , en ajoutant un point D , pour faire apparaitre  un parallélogramme

que puis je dire  des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ ?

et bien , $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont parallèles

c'est bien ça ??

ensuite on m'a posé la question $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + ?? = ??$

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#2 18-02-2017 20:11:47

yann06
Membre
Lieu : CANNES
Inscription : 11-01-2017
Messages : 59

Re : question en géométrie

Dans le parallélogramme ABCD , les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont parallèles

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$

est ce que l'ensemble (\overrightarrow{AB;\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BC}} est un ensemble vectoriel

le vecteur

si je fais la somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ j'obtiens le vecteur $\overrightarrow{AD}$ n'est pas parmi les vecteurs $\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{BC}$

le vecteur $\overrightarrow{AD}$ n'est aucun des trois de mon ensemble

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#3 18-02-2017 21:25:29

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : question en géométrie

RE

,

yann06 a écrit :

Dans le parallélogramme ABCD , les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont parallèles

Faute de frappe j'espère...
Non, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BD}$ ne sont pas parallèles.
[AB] est un côté du parallélogramme et et [BD] su parallélogramme sont deux côté consécutifs de ton parallélogramme ABCD, comment veux-tu qu'ils soient parallèles ?
Le quadrilatère ABCD est un côté du parallélogramme et [BD] une de de ses diagonales : comment veux-tu qu'ils soient parallèles.
Dans le cas du parallélogramme ABDC, tes vecteurs ne sont pas parallèles non plus : [AB] et [BD] sont alors deux côtés consécutifs.

ABCD est un parallélogramme [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{cases}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\\\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\end{cases}[/tex]

Tes sommes sont fausses...
Dans un parallélogramme ABCD :
[tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}[/tex]

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#4 18-02-2017 21:59:26

yann06
Membre
Lieu : CANNES
Inscription : 11-01-2017
Messages : 59

Re : question en géométrie

Oui  , faute de frappe
Bonsoir Yoshi
J'ai passé toute la nuit avec les espaces Vectoriels (je veux aller trop vite )

en  fait , j'ai un triangle ABC , je complète mon triangle , en ajoutant le point D pour faire apparaitre apparaitre le parallélogramme ABCD

qu'est ce que je peux dire des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ ??

ils sont bien parallèles
ensuite je peux dire que $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$ d'apr!s la relation de Chasles

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#5 19-02-2017 09:40:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : question en géométrie

Re,

Dans le cas où ABCD est un parallélogramme, non !

yann06 a écrit :

en  fait , j'ai un triangle ABC , je complète mon triangle , en ajoutant le point D pour faire apparaitre le parallélogramme ABCD

Terriblement imprécis !
La preuve :
* si je place D tel que ABCD soit un parallélogramme alors tes vecteurs sont portés par les diagonales et non parallèles.
Mais
* si je place D tel que ACBD soit un parallélogramme alors tes vecteurs sont portés par des côtés opposés et sont bien parallèles.
Alors ?

170219092610941750.png

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … /e/ev.html
Je ne comprends même pas ce que tu cherches à prouver...
Je t'ai proposé une définition simple d'un e.v et pourtant tu peux constater dès la première ligne la mention que K est un Corps [tex]\mathbb{R}[/tex] ou [tex]\mathbb{C}[/tex] (Groupe, Anneau, Corps sont des structures) ce qui te renvoie ici http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 852#p63852 au post #3.
Je t'y avais d'ailleurs répondu en post #7 à ta question sur [tex]\mathbb{Z}[/tex], ce matin, elle n'y est plus, j'ai dû oublier de poster...

@+


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#6 19-02-2017 22:19:22

yann06
Membre
Lieu : CANNES
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Messages : 59

Re : question en géométrie

Bonsoir Yoshi

Je place D tel que ABDC soit un parallélogramme
$\overrightarrow{AD}$ est une diagonale
et  dans ce cas
$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont parallèles
donc
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$

maintenant l'ensemble $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BC})$ muni de l'addition usuelle des vecteurs est - il un espace Vectoriel ?
non , ce n'est pas un espace Vectoriel
le vecteur $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ n'est pas parmi les trois vecteurs de mon ensemble sauf si A = B = C (si les trois points sont alignés
et j'ai pris l'exemple d'un triangle , donc les points A,B et C ne sont pas alignés

ensuite pour la commutativité
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ n'est pas égal à $ \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AB}$
la commutativité n'est pas vérifiée

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#7 20-02-2017 09:52:14

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : question en géométrie

Bonjour,

Comment te dire ?
Avant de jouer avec des espaces vectoriels, il faudrait commencer par arrêter de bafouer les fondamentaux : cf ta conclusion ...Pour dire la même chose que toi avec d'autres mots :
il existe deux vecteurs \vec u et \vec v du plan tels que
[tex]\vec u + \vec v \neq \vec v + \vec u[/tex],
tu as réussi à trouver un contre-exemple...
L'addition vectorielle n'est pas commutative !
A toi la médaille FIELDS (l'équivalent du prix Nobel pour les  Maths).

Comme toutes les réponses que je te fais, les infos que je t'apporte, les liens que je te signale ne provoquent de ta part aucune réaction,
comme lorsque je te dis que je ne sais pas ce que tu veux faire, tu ne réponds qu'en reprenant tes calculs et tu me laisses deviner,
je vais donc te laisser deviner - pour une fois - pourquoi ce que tu écris est une hérésie...
Vois-tu, il y a une bonne raison qui fait que les Inspecteurs de Mathématiques n lorqu'ils réunissent les profs martèlent régulièrement cette phrase :

On n'a pas à enseigner à un niveau n+1 quand on est à un niveau n !

K étant un corps ([tex]\mathbb{R}[/tex] ou [tex]\mathbb{C}[/tex]) et E étant un ensemble muni d'une loi interne notée + et d'une loi externe définie sur un couple (a,u) de K×E, et notée a,
on dit que E est un espace vectoriel sur K, ou un K-espace vectoriel, si
E un ensemble muni d'une loi interne notée + et d'une loi externe définie sur un couple (a,u) de K×E, et notée a.u
On dit que E est un espace vectoriel sur K, ou un K-espace vectoriel, si
1.    (E,+) est un groupe commutatif.

Il n'y a pas besoin d'aller chercher midi à 14 heures.
En effet, soit [tex]E=\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\}[/tex] ; munissons cet ensemble E de l'addition vectorielle usuelle, la première question à se poser est :
L'addition vectorielle dans E est-elle une loi interne dans E ?
La réponse est non !
D étant le point tel que ABDC soit un parallélogramme, par définition [tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AD}[/tex].
Or, [tex]\overrightarrow{AD} \not \in E[/tex]...
Le reste, je m'en moque...
L'addition vectorielle dans E n'est pas une loi de composition interne dans E, c'est suffisant pour dire que (E,+,.) n'est pas un espace vectoriel...
(Si on me demande si ma voiture est une Peugeot cabriolet à jantes alliages  et que je réponds non que ce n'est pas une Peugeot, à quoi cela sert-il d'aller voir si c'est un cabriolet avec des jantes alliages ?
Et s'il s'avérait que c'est une Renault cabriolet à jantes alliages, cela changerait-il la réponse à la question posée :
avez-vous une voiture Peugeot cabriolet à jantes alliages ?)
Si je modifie E pour que :
[tex]E=\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}\}[/tex] la réponse ne change pas et pour une raison identique :
Soit F le point tel que, par exmple, [tex]\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}[/tex], comme [tex]\overrightarrow{AF} \not \in E[/tex], l'addition vectorielle n'est pas une loi de composition interne dans E...
(E,+,.) n'est toujours pas un espace vectoriel...
Et, on peut continuer longtemps...

@+


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#8 20-02-2017 12:34:19

yann06
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Messages : 59

Re : question en géométrie

Bonjour Yoshi

merci beaucoup pour tes explications

@ plus

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#9 21-02-2017 09:25:27

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : question en géométrie

Re,

Calcul de [tex]\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{AB}[/tex]
ABDC étant un paralélogramme, on a donc :
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}[/tex].
D'où :
[tex]\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}[/tex]
Mais dans le parallélogramme ABDC, on a :
[tex]\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}[/tex]
On peut donc écrire :
[tex]\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}[/tex].
En conclusion :
[tex]\begin{cases}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}&=\overrightarrow{AC}\\\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{AC}\end{cases}[/tex]
On en déduit  que
[tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}[/tex]
L'addition vectorielle dans ton ensemble E est bien commutative...

@+


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#10 21-02-2017 21:56:55

yann06
Membre
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Messages : 59

Re : question en géométrie

pas mal !

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#11 22-02-2017 11:48:25

yann06
Membre
Lieu : CANNES
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Messages : 59

Re : question en géométrie

Salut ,

Pour démontrer la symétrie , je fais comme ça :

le produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ sur $\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AH}$  AC est le projeté orthogonal de AH sur AB

le produit scalaire de $\overrightarrow{AC}$ sur $\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AK}$ AB est le projeté orthogonal de AB sur AC
$\begin{cases}\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AK}\\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AB}\end{cases}$

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