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#1 10-02-2017 11:41:11

tina
Membre
Inscription : 27-03-2014
Messages : 285

Question de calcul

Bonjour,
je bloque sur une question de calcul. Merci par avance pour l'aide.
Soit $varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Soit $x, y \in \mathbb{R}^n$. On note $\tau_x \tilde{\varphi}(y)= \varphi(x-y)$. ($\tilde{\varphi}(x)= \varphi(-x))$.
Ma question est: soit $\alpha \in \mathbb{N}^n$. Comment on arrive à montrer que
$$
D_y^\alpha(\tau_x \tilde{\varphi})= (-1)^{|\alpha|} \tau_x(D_y^{\alpha} \tilde{\varphi})= (-1)^{|\alpha|} D_y^{\alpha}(\tau_x \tilde{\varphi})
$$
?

Dernière modification par tina (10-02-2017 16:35:27)

Hors ligne

#2 19-02-2017 18:12:24

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Question de calcul

On peut faire une récurrence sur |\alpha|. Si  |\alpha|=0 c'est trivial. Supposons que c'est vrai pour |alpha|=p et montrons que c'est vrai pour |alpha|=p+1. Pour simplifier et sans restreindre la généralité on suppsose que l'on dérive une fois de plus par rapport à la première composant de y noté y_1. C'est à dire que alphabis=(alpha_1+1,alpha_2,.....)  avec | alphabis|=p+1 et
alpha=(alpha_1,alpha_2,.....) et |alpha|=p.   On a bien entendu la formule
D^alphabis_y=D_y1 D^alpha_y = D^alpha_y D_y1.

maintenant
D^alphabis (tau_x fit )=D_y1( D^alpha_y (tau_x fit )) =D_y1[ (-1)^p tau_x D^alpha (fit)]


=(-1)^p  D_y_1(tau_x D^alpha (fit))= (-1)^p*(-1) tau_x (D_y1D ^alpha (fit)  (pourvu que l'on ait démontré la propriété pour alpha=(1,0,0,0..) . )

dc D^alphabis (tau_x fit )=(-1)^(p+1)tau_x D(D_y^alpha fit).  Ce qu idémontre la première égalité. pour la deuxème c'est un peu pareil.

Bien entendu la démonstration pour alpha=(1,0,0,0..) mais c'est facile, il suffit d'écrire les choses explicitement)

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