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#1 23-01-2017 22:53:05

yann06
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DM géométrie

Bonsoir ,

on considère un triangle ABC et on appelle A' B' C' les milieux respectifs des segments [BC] [CA] [AB]
on note 0 le centre du cercle circonscrit au triangle ABC , H est son orthocentre et G son centre de gravité

a - réaliser une figure
b - pour  plus de clarté , utiliser des couleurs pour distinguer les différentes droites remarquables (médianes , hauteurs) du triangle
c - dans la copie , expliquer la procédure  pour construire les points O H

2 - autour du centre de symétrie

a - sur la figure , construire le point G' , symétrique du point G par rapport à  C'
b - démontrer que le quadrilatère AGG'B est un parallélogramme
c - démontrer que le point G est le centre du segment [C G']
d-       déduire de ce qui précède que :
GA + GB + GC = 0

e - exprimer le vecteur CG par rapport au vecteur CC'
  préciser quelle est la position du point G sur la médiane CC'

3 - droite D'Euler

a - sur la figure , construire les vecteurs OH et OG
b - déplacer les points A B  et C puis émettre une conjecture sur les points O G et H
plus précisément , conjecture une relation entre les vecteurs OH et OG

pour la figure , j'ai construit un premier triangle avec un deuxième triangle à l'intérieur
pour tracer la cercle circonscrit au triangle ABC , il faut que le cercle passe par les 3 sommets du triangle
pour tracer le centre de gravité , je divise le segment qui fait fasse au sommet puis je trace une droite qui part du sommet vers le milieu du segment opposé

question 2  b)
je me place dans le triangle CBG' , je démontre que (A'G) // (BG')

je peux démontrer que (AG) // (BG')
il n'a pas de différence entre (AG) et (A' G) , ce ne sont pas des segments mais des droites

question 2 c)
il faut démontrer que G est le milieu de [C G']
G est le centre de gravité donc $GC' = \frac{1}{3}CC'$
ensuite je sais que $GC' = \frac{1}{2} GG'$
$\frac{1}{2}GG' = \frac{1}{3} CC'$

non , ça ne va pas , ce n'est pas cela
il faut exprimer CG'

Pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

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#2 24-01-2017 00:08:55

yann06
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Re : DM géométrie

Re bonsoir
j'ai envie d'essayer ceci :

$GC' = \frac{1}{3}CC'$
comme GC' = C'G'
$C'G' = \frac{1}{3} CC'$
$GC' + C'G' = \frac{1}{3} CC' + \frac{1}{3}CC'$
$GC' + C'G' = \frac{2}{3}CC'$

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#3 24-01-2017 08:55:37

Fred
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Re : DM géométrie

Bonjour,

Avec la figure c'est plus clair pour raisonner.

figure

D'abord un point sur la question 2)b. C'est AGBG' qui est un parallélogramme. L'ordre des points est important.
De plus, ta démonstration ne suffit pas. Il faut aussi démontrer que les droites $(AG')$ et $(BG)$ sont parallèles.

Pour la question 2)c), ce que tu proposes dans ton deuxième post m'a l'air de très bien fonctionner!?!

F.

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#4 26-01-2017 00:03:37

yann06
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Re : DM géométrie

Bonsoir monsieur ,

merci pour la figure


je me place dans le triangle CBG'  et j'utilise le théorème de Thalès dans cette configuration

je pars du sommet C


$\frac{CA'}{CB} = \frac{CG}{CG'} = \frac{GA'}{G'B}$

si (GA') // (G'B) alors (AG) // (G'B) car ce sont des droites et pas des segments



il faut aussi démontrer que les droites (AG') et (BG) sont parallèles

je me place dans le triangle CAG' et j'utilise le théorème de Thalès dans cette configuration
je pars du sommet C $\frac{CB'}{CA} = \frac{CG}{CG'} = \frac{GB'}{G'A}$

si (GB') // (G'A) alors ( BG) // (AG') puisque ce sont également des droites


autre solution
G' est le symétrique de G par rapport à  C'
C' qui est le milieu de AB
donc milieu des diagonales de AGBG'

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#5 26-01-2017 00:23:42

yann06
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Re : DM géométrie

pour la question 2 c) démontrer que G est le milieu de [CG']

je viens de démontrer que (GA') // ( G' B)

donc en utilisant la réciproque de thalles , je peux démontrer l'égalité de rapport entre $\frac{CG}{CG'} et \frac{CA'}{CB}$

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#6 26-01-2017 09:15:45

yoshi
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Re : DM géométrie

Salut,


Je reviens sur le parallélogramme. Pour le montrer, tu peux utiliser :
* 4 côtés parallèles 2 à 2
* 2 côtés parallèles et de même longueur (remarque de Fred)
* Diagonales de même milieu

- L'énoncé te donne C' milieu de [AB]
- L'énoncé te donne G' symétrique de G par rapport à C' [tex]\Leftrightarrow[/tex] C' milieu de [GG'] (c'est la définition)
Et là, c'était direct.

Post #2, yann06 a écrit :

comme GC' = C'G'
[tex]C′G′=\frac 1 3 \overrightarrow{CC′}[/tex]

Ça marche oui.
--------------------------------------
N-B
Milieux et vecteurs :
[tex]\text{C' milieu de [AB] } \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{C'B}\\\overrightarrow{C'A}+\overrightarrow{C'B}=\vec 0\\\overrightarrow{AC'}=\frac 1 2 \overrightarrow{AB}\text{  et donc }\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC'}=2\overrightarrow{C'B}\end{cases}[/tex]
Et on peut changer les sens, des sens et des signes...
Au passage  :
vecteur AB --> \overrightarrow{AB} --> [tex] \overrightarrow{AB}[/tex]
----------------------------------------
Donc 2.c
Utilise les vecteurs (tu ne dois plus avoir les mêmes appréhensions qu'en 3e) : dommage de transformer un exo sur les vecteurs en exo méthodes 3e, même si ça marche et que rien ne l'interdit...
G centre de gravité du triangle ABC et [AC'] médiane [tex]\Rightarrow[/tex]
Oui, [tex]\overrightarrow{CG}=\frac 2 3 \overrightarrow{CC'}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{GC'}=\frac 1 3 \overrightarrow{CC'}[/tex]
Et donc :
[tex]\overrightarrow{CG}=  2\overrightarrow{GC'}[/tex] (1)
Or tu sais que C' milieu de [GG'] :
[tex]\overrightarrow{GG'} = 2\overrightarrow{GC'}[/tex] (2)
De (1) et (2), tu tires une égalité vectorielle dont tu déduis le milieu que tu cherches (voir le N-B) ci-dessus.

Q3
Je vais écrire une évidence :
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\overrightarrow{GC}[/tex]
Donc occupe-toi de :
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}[/tex]
[GA] et [GB] sont deux côtés du parallélogramme AGBG', [GG'] est la diagonale dpartant de G.
Qu'est-ce tu sais alors de :
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}[/tex]  et de  [tex]\overrightarrow{GG'}[/tex] ?
Ensuite que peux-tu dire de [tex]\overrightarrow{GC}[/tex] et [tex] \overrightarrow{GC'}[/tex] ?
Conclusion pour :
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}[/tex] ?

----------------------------------------------

$\frac{CB'}{CA} = \frac{CG}{CG'} = \frac{GB'}{G'A}$

Ta dernière égalité est bien trop rapide, ça demande un développement plus conséquent...

donc en utilisant la réciproque de thalles , je peux démontrer l'égalité de rapport entre $\frac{CG}{CG'} et \frac{CA'}{CB}$

Non, on utilise la réciproque de Thalès en montrant que des rapports sont égaux et des points placés dans le même ordre pour conclure au parallélisme...

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#7 26-01-2017 18:13:00

yann06
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Re : DM géométrie

Bonsoir YOSHI

vous me dites que la dernière égalité est trop rapide et demande un développement  ,

$\frac{CB'}{CA} = \frac{CG}{CG'} = \frac{GB'}{G'A}$

je démontre donc que $\frac{GB'}{G'A}$

comme (GB') et (BG) sont des droites et pas des segments , j'ai démontré que (BG) // (G'A)

je ne vois pas à quel niveau ,il y a un manque de développement ??

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#8 26-01-2017 18:26:05

yann06
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Re : DM géométrie

salut ,


est ce que je peux écrire ça :
$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{C'B}$
$\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{C'B} = 0$

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#9 26-01-2017 18:49:48

yann06
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Re : DM géométrie

re - salut

je viens de piger

$\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CC'}$ et $ \overrightarrow{GC'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'}$

$2 * \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} = 2 * \overrightarrow{GC'}$

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#10 26-01-2017 19:24:26

yoshi
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Re : DM géométrie

Salut,

je me place dans le triangle CBG'  et j'utilise le théorème de Thalès dans cette configuration.
(...)
je ne vois pas à quel niveau ,il y a un manque de développement ??

1. Où est-il dit explicitement (en toutes lettres) dans l'énoncé) que A, G, C', G' sont alignés ?
2. Où l'as tu prouvé ?
La réponse à ces deux questions est la même...
Donc à faire  : d'accord c'est facile à faire...
Ce que je te propose avec les vecteurs passe par dessus cette difficulté, parce que la notion de vecteurs inclut la direction, le sens et la longueur...

En outre, si je reprends :

je me place dans le triangle CBG'  et j'utilise le théorème de Thalès dans cette configuration
je pars du sommet C
$\frac{CA'}{CB} = \frac{CG}{CG'} = \frac{GA'}{G'B}$

si (GA') // (G'B) alors (AG) // (G'B) car ce sont des droites et pas des segments

Là, on est dans la question 2.b)... Tu cherchais à montrer que AGBG' est un parallélogramme et pour cela tu avais besoin de droites parallèles...
Pour utiliser le théorème de Thalès dans le triangle CBG' et écrire des rapports égaux, il faut déjà savoir que (GA') // (G'B)...

Puisque (énoncé) G est le centre de gravité et [AA'] une médiane, alors [tex]G \in [AA'][/tex]. Puisque (AG) // (G'B) et que G est sur [AA'] alors (GA') est un autre nom pour la droite (AG).
Donc (GA') // (G'B).
  OK !
MAIS
1. Cette justification doit prendre place avant l'écriture de rapports égaux, pas après...
   J'espère que cela ne veut pas dire que tu déduis le parallélisme des rapports égaux, parce qu'alors soit il y a confusion entre le théorème et sa réciproque, soit c'est le coup du chien qui se mord la queue : on déduit le parallélisme des rapports égaux que tu n'as le droit d'écrire que si tuy sais que les droites (GA') et (G'B) sont parallèles...
2. Admettons que oui, tu reconnais avoir fait une erreur de placement. Dans ce cas ma question est : où as-tu prouvé (AG) // (G'B) ?
Réponse : à ce stade jamais ! (voir ci-dessus).
Comprends-tu ce que je veux dire ou pas ?
Si tu n'aimes pas le passage par les diagonales de même milieu et que tu tiens à ta démo utilisant les parallèles, je te priopose de démontrer ça comme ça :
C' est le le milieu de [AB] donc B est le symétrique de A par rapport à C'
Et on sait que G' est le symétrique de G par rapport à C'.
Donc dans la symétrie centrale de centre C' :
[tex]A \mapsto B\\
G \mapsto G'[/tex]
Donc [tex](AG) \to (BG')[/tex]
Dans une symétrie centrale, le symétrique d'une droite est une droite parallèle0
Donc (AG)//(B'G)...

Et tu pourrais encore poursuivre comme ça (mais là, on n'utiliserait pas Thalès, désolé) ;
[tex][AG] \to [BG'][/tex], la symétrie centrale conservant les longueurs, alors AG = BG'..
Puisqu'il a deux côtés parallèles et de même longueur, alors AGBG' est un parallélogramme...

C'est comme tu veux...

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#11 26-01-2017 19:41:04

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Alors revenons à la 2.c)

est ce que je peux écrire ça :
$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{C'B}$
$\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{C'B} = 0$

Oui, mais je ne vois pas où ça te mène...

je viens de piger

$\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CC'}$ et $ \overrightarrow{GC'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'}$

$2 * \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} = 2 * \overrightarrow{GC'}$

Oui et alors ?

Réponds aussi à ces questions :
* AGBG' est un parallélogramme, donc [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}= \overrightarrow{??}[/tex] (1)
* G est le milieu de [CG'], donc [tex]\overrightarrow{??} = \overrightarrow{??}[/tex] (2)
* Que déduis-tu de (1) et (2) ?
* Donc [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=.... = ....[/tex]

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#12 26-01-2017 20:09:06

yann06
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Re : DM géométrie

$\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CC'}$
$\overrightarrow{GC'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'}$
$\overrightarrow{CG} = 2 \overrightarrow{GC'}$ (1)

$\overrightarrow{GG'} = 2 \overrightarrow{GC'}$ (2)
de (1) et (2)  on a l'égalité vectorielle $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{GG'}$

$\overrightarrow{GG'} = 2 \overrightarrow{GC'} = 2 \overrightarrow{C'G'}$ donc $\overrightarrow{GC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{GG'}$

je n'arrive pas à conclure

je cherche encore un peu

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#13 26-01-2017 20:28:03

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

$\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CC'}$
$\overrightarrow{GC'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'}$
$\overrightarrow{CG} = 2 \overrightarrow{GC'}$ (1)

$\overrightarrow{GG'} = 2 \overrightarrow{GC'}$ (2)
de (1) et (2)  on a l'égalité vectorielle $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{GG'}$

Bin, je ne sais pas ce que tu cherches...
Mais ça :
$\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{GG'}$
c'est suffisant pour dire G est le milieu de [CG'].
Et c'est une égalité très importante qui va te servir pour montrer que
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0[/tex]

Maintenant, il te faut trouver le lien entre [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{GG'}[/tex]...

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#14 26-01-2017 20:40:09

yann06
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Re : DM géométrie

re - bonsoir

G est le milieu de [CG'] donc $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{GG'}$

$\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{0}$

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#15 26-01-2017 20:58:19

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Oui,
Mais tu ,n'as pas noté, ni justifié le maillon [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{??}[/tex]

@+


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#16 26-01-2017 21:48:12

yann06
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Re : DM géométrie

Bonne soirée

j'utilise la relation de Chasles ???
$\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AB}$

j'en profite pour vous dire merci pour le temps que vous passé avec moi , cela me fait très plaisir
en particulier pour le message de 19 h 24 sur comment  utiliser le théorème de Thalès et comment écrire des rapports égaux
merci beaucoup !

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#17 27-01-2017 10:01:04

yoshi
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Re : DM géométrie

Bonjour,

Je crois qu'il est temps de faire le point...
Question 2.b
Montrer que AGBG' est un parallélogramme...
Tu as essayé Thalès : ta démonstration n'est pas valable parce que tu dois savoir d'abord que les droites sont parallèles. Or pou utilioserr le théorème de Thalès, tu dois déjà savoir que les droites sont parallèles...
Pour démontrer que AGBG' est un parallélogramme, tu disposes - en théorie -  des moyens suivants .
  I- Avec les vecteurs
    Soit montrer que [tex]\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{G'B}[/tex] (ou dans l'autre sens)
    Soit montrer que [tex]\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AG'}[/tex] (ou dans l'autre sens)
    Dans ton cas, pour le faire, il faudrait te servir de ce qui suit...
II- Sans les vecteurs
     Les 3 méthodes les plus courantes sont :
     1. Montrer que les diagonales [GG'] et [AB] ont le même milieu C'.
        Ici, c'est l'affaire de 4/5 lignes
     2. Montrer que les 4 côtés de ce quadrilatère sont parallèles deux à deux : (AG) // (GG') et (AG') // (GB)
       (Ici, la réciproque de Thalès pour montrer le parallélisme ne peut pas être utilisée)
     3. Montrer que 2 côtés de ce quadrilatère sont parallèles et de même longueur :
        (AG) // (GG') et AG = GG'  ou  (AG') // (GB)  et AG' = GB
        Pour le parallélisme, via la réciproque de Thalès, voir ci-dessus et pour les longueurs tu as besoin de savoir que c'est un parallélo...

Pour 2. et 3. On peut penser à la "droite des milieux" (cas particulier de Thalès) : si on sait bien que A' est le milieu de [BC], on ne sait pas que G est le milieu de [AG'] : c'est demandé... [tex]après[/tex] !

III- Reste la solution de la Symétrie centrale qui est une "transformation ponctuelle", une fonction qui travaille sur des points...
Pour trouver l'image d'une droite - ou d'un segment - dans une Symétrie Centrale (ou même orthogonale) :
* On prend deux points sur la droite - ou les deux extrémités du segment - et on construit l'image de chacun des deux points.
* On trace la trace passant par les deux points images - ou on joint les deux points images dans le cas du sement.
Propriétés de la Symétrie centrale :
* L'image d'une droite est une droite parallèle,
* l'image d'un segment est un segment de même longueur
* l'image d'un angle est un angle de même mesure
* l'image du milieu d'un segment et le milieu du segment image
Voilà pourquoi je t'avais aussi proposé :
C' est le milieu de [AB] donc B est le symétrique de A par rapport à C'
On sait que G' est le symétrique de G par rapport à C'.
Don le symétrique de la droite (AG) - ou du segment [AG] est la droite (BG') - ou le segment [BG] et on applique les propriétés pour rejoindre les points II- 2)  ou II- 3). Méthode quand même un peu plus technique.
Etant d'un naturel paresseux et enclin à ne pas chercher les ennuis je recommande la solution II- 1) (en vert)

Question 2.c
On a [tex]\overrightarrow{CG}=\frac 2 3\overrightarrow{CC'}[/tex]
On en déduit que [tex]\overrightarrow{GC'}=\frac 1 3\overrightarrow{CC'}[/tex], puis que :
[tex]\overrightarrow{CG}= 2\overrightarrow{GC'}[/tex] (1)
Maintenant tu utilises C' milieu de [GG'] que tu traduis par :
[tex]\overrightarrow{GG'}= 2\overrightarrow{GC'}[/tex] (2)
Et tu compares (1) et (2) qui te donne une égalité vectorielle (3) qui te permet de répondre à la question.


Question 3
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\cdots\, ?[/tex]
Comment construis-tu sur un dessin la sommes de ces 2 vecteurs ?
Ou si tu préfères, sachant que AGBG' est un parallélogramme (voilà le pourquoi de la question 2.b), quel est le vecteur [tex]\overrightarrow{??}[/tex] somme de ces vecteurs ? (4)
Ensuite dans la somme [tex](\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\overrightarrow{GC}[/tex], tu remplaces [tex](\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})[/tex] par [tex]\overrightarrow{??}[/tex]...
Et là, tu peux conclure grâce à (3) : voilà pourquoi on a posé la question 2.c

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#18 27-01-2017 21:07:17

yann06
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Re : DM géométrie

Bonsoir Yoshi

je viens de consulter votre message et je vous remercie une nouvelle fois pour le temps que vous avez passé
ce n'est pas souvent qu'un professeur passe autant de temps  et surtout avec autant de gentillesse

pour la question 2. b
pour montrer que AGBG' est un parallélogramme
et bien dans la classe , nous sommes beaucoup à avoir utiliser le théorème de Thalès
afin de démontrer que les 4 cotés du parallélogramme sont parallèles 2 à 2 (AG)//(G'B) et (GB)//(AG')

Avec les vecteurs
soit montrer que $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{G'B}$
ou il faut montrer que $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AG'}$
il faut faire une translation  de vecteurs ??
je ne vois pas très bien

question3

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} =  ??$
comment construire la somme de ces 2 vecteurs ?
il faut utiliser la relation de chasle
$\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AB}$

Bonne soirée

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#19 27-01-2017 22:09:40

yoshi
Modo Ferox
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Re : DM géométrie

Re,


$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} =  ??$
comment construire la somme de ces 2 vecteurs ?
il faut utiliser la relation de chasle
$\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AB}$

Je te signale que [tex]\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{GA}[/tex]
Donc, non pas du tout
Q Comment construire la somme de ces 2 vecteurs ?
Réponse
La somme des deux vecteurs [tex]\overrightarrow{GA}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{GB}[/tex] est porté par la diagonale issue de G duparallélogramme construit à partir de [GA] et [GB] soit ici AGBG'...
Donc [tex]\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GG'}[/tex]
Tiens un peu de Physique : imagine que [tex]\overrightarrow{GA}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{GB}[/tex] sont deux forces appliquées à l'objet G.
La somme des 2 vecteurs, c'est la résultante des forces, et cette résultante donne la direction sur laquelle va se d"placer l'objet G...
Avec ta réponse, tu dis, que si G, c'est toi, et qu'on est deux à te tirer chacun par un bras comme ça :

                    G
                   /\
                  /  \
                 /    \
               A/      \B

tu vas te déplacer de A vers B ????
ABGB' parallélogramme donc [tex]\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AG'}[/tex]
Donc [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG'}= \overrightarrow{GG'}[/tex]
C'est clair cette fois ?

Quant à la démo avec Thalès, je maintiens jusqu'à nouvel ordre que tel que tu le fais (confusion entre théorème direct et sa réciproque), ça ne fonctionne pas.
Ca ne peut se faire qu'avec la réciproque. Tiens, rafraichis-toi la mémoire : http://www.bibmath.net/ressources/colle … Thales.pdf
Pour la réciproque dans le triangle CG'B :
1. On compare ces deux rapports : [tex]\frac{CA'}{CB}[/tex]  et  [tex]\frac{CG}{CG'}[/tex]
2. Tu montres qu'ils sonv égaux
3. Tu ajoutes que C, A', B d'une part et C, G, C' d'autre sont dans le même ordre et comme les rapports sont égaux alors (GA') // (G'B)...

Maintenant toute la question tourne autour de : comment montrer que [tex]\frac{CA'}{CB}=\frac{CG}{CG'}[/tex] ?
Le rapport est 1/2..
Pour [tex]\frac{CA'}{CB}[/tex], pas de pb,n en revanche, montrer que (et non affirmer que) [tex]\frac{CG}{CG'}=\frac 1 2[/tex], c'est déjà) savoir que G est milieu de [GG'], or c'est la question suivante et on a besoin du parallélogramme pour monter que G milieu...

Là, ce soir, je vois toujours pas... Tes copains me surprennent !!!
Je ne suis pas infaillible donc je revérifierai demain (pas ce soir, demain matin, je lève à 5 h 30 !)

Et de toutes façons, pourquoi se compliquer la vie, alors que
C' est annoncé milieu de [AB] : rien d'autre à faire que de le rappeler,
G' est symétrique de G par rapport à C', donc C' milieu de [GG'].
Les diagonales [AB] et [GG'] du quadrilatère AGBG' ont le même milieu C', c'est donc un parallélogramme...

Vois-tu plus court et plus simple ??
Moi, pas...
Si oui, je prends !

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#20 28-01-2017 16:12:38

yann06
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Re : DM géométrie

Bonjour Yoshi

en utilisant la relation de Chasles $\overrightarrow{ AG }+ \overrightarrow{ GB }=\overrightarrow{AB  }$

je pouvais avoir $\overrightarrow{ -GA }+ \overrightarrow{ GB }=\overrightarrow{AB  }$

mais je ne cherche pas $\overrightarrow{ -GA }$ mais c'est plutôt $\overrightarrow{GA}$

donc la relation de Chales ne pouvait pas intervenir
bon samedi après-midi

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#21 28-01-2017 18:43:52

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Je t'ai donné la réponse :
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GG'}[/tex]
C'est quelque chose qui est censé être su...
La preuve peut en être apportée par.... la relation de Chasles... Eh si !

AGBG' parallélogramme [tex]\Leftrightarrow\; \overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AG'}[/tex]
Donc :
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG'}=\overrightarrow{GG'}[/tex]

Si ça ne te convient pas de remplacer [tex]\overrightarrow{GB}[/tex], aucun pb, je vais remplacer [tex]\overrightarrow{GA}[/tex] :
AGBG' parallélogramme [tex]\Leftrightarrow\; \overrightarrow{GA}=\overrightarrow{BG'}[/tex]
Donc :
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{BG'}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BG'}=\overrightarrow{GG'}[/tex]...
Pigé ?

Revenons sur la Q 2.b
170128061935903262.jpg
J'ai matérialisé le triangle CBG'.
Tu dis :
Beaucoup (combien ?) de mes camarades ont montré que (GA') //(G'B) ) l'aide du théorème de Thalès...
1. Non. C'est faux. Pour montrer que des droites sont parallèles, on utilise la Réciproque du théorème de Thalès.
2. Hier soir, je t'ai donné un lien. En ce suivant ce lien tu pouvais voir
   a) qu'il était nécessaire de préciser que C, G, G' d'une part et C, A', B d'autre part sont placés dans le même ordre,
   b) qu'il fallait prouver que les rapports  [tex]\frac{CG}{CG'}[/tex] et [tex]\frac{CA'}{CB}[/tex] sont égaux
3. Je peux facilement évaluer [tex]\frac{CA'}{CB}[/tex]. A' étant le milieu de [BC] (énoncé) : [tex]\frac{CA'}{CB}=\frac 1 2[/tex].
4. Maintenant je vous pose la question : comment avez-vous prouvé que [tex]\frac{CG}{CG'}=\frac 1 2[/tex]  ?
   Si vous y arrivez, alors oui, vous pourrez déduire que [tex]\frac{CG}{CG'}=\frac{CA'}{CB}[/tex] et vous aurez donc prouvé que (GA')//(G'B)...
   Moi, à moins que la retraite m'ait ramolli le cerveau, je ne peux pas !
   Je pourrais si je savais que G milieu de [CC'] : c'est demandé après en sachant alors que AGBG' est un parallélogramme.
   En Géométrie, il interdit d'utiliser le résultat de la question 2.c) pour résoudre la 2.b)
   Je pourrais en montrant que C' est le milieu de [GG'] (ça, c'est faisable) ce qui me permettrait de déduire que G est le milieu de [GG'] .
   Mais je n'ai pas le droit de démontrer la réponse du 2.c) en avance dans la 2.b) pour résoudre cette question...
   Que ferait-on alors dans la 2.c ?
   - On redémontrerait dans la 2.c que G est le milieu de [GG'] de la même façon ? Autant alors écrire : voir question précédente...
      Et là, on se fait taper sur les doigts...
   - On se servirait du parallélogramme pour montrer que CG = GG' ?
      La non plus, ce n'est pas correct : on montre que G est le milieu de [CG'] pour arriver au parallélogramme dans le b.
      Puis dans le c. on utilise le parallélogramme pour déduire que G est le milieu de [CG']...
   - En admettant que le prof ferme les yeux, si vous montrez que C' est le milieu de [GG'] (une ligne), ça frise le ridicule d'aller chercher la réciproque du théorème de Thalès pour deux parallèles (et il en faudra encore deux) alors qu'on a sous la main deux diaginales de même milieu et qu'il n'y a plus qu'à conclure...

Bien du plaisir pour les questions suivantes ! ^_^

@+


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#22 29-01-2017 12:59:41

freddy
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Re : DM géométrie

Salut,

je suis d'accord avec yoshi, pour répondre à la 2.b sans anticiper la réponse à la 2 .c, un seul moyen : utiliser les diagonales du quadrilatère (ça tombe d'ailleurs comme un fruit mûr) pour prouver que c'est un parallélogramme. Un seul inconvénient : faire appel à ses souvenirs de cinquième, je crois.

Je me souviens avoir aidé ma fille il y a longtemps sur un sujet assez similaire (en classe de première S). Et je me souviens avoir refait tout le travail de souvenirs et de rappels de définition antérieures pour répondre simplement aux questions posées. Ce sujet est une jolie revue de détails, bon courage !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#23 17-02-2017 14:13:52

yoshi
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Re : DM géométrie

Bonjour,

Bon, bin, il y avait maldonne depuis le début.
De plus, l'énoncé un peu douteux, voire pas très précis.

Ceci dit, on attaque...
Q2
b)
Par hypothèse, C' est le milieu de [AB].
Par hypothèse, G' est le symétrique de G par rapport à C', donc C' est le milieu de [GG'],.
Les diagonales [AB] et [GG'] du quadrilatère AGBG' ayant le même milieu C', c'est donc un parallélogramme.

c)
D'abord pour moi, l'alignement C, G, C', G' est implicite, pas explicite : il me paraît de bon ton de le rendre explicite : je n'aime pas les non-dits.
G centre de gravité du triangle est un point de la médiane [CC'] donc de la droite (CC').
G' symétrique de G par rapport à C', donc  C' est sur le segment [GG'], donc sur la droite (GG')
Donc, comme C, G, C' alignés et G,C',G' alignés aussi, alors C,G,C',G alignés.
(Pas d'utilisation des vecteurs sous peine d'anticiper sur les questions suivantes)

AGBG' étant un parallélogramme ses côtés opposés sont parallèles et en particulier (AG) et (G'B).
G étant centre de gravité du triangle, il est sur la médiane [AA'], donc sur la droite (AA').
Droute des milieux - 4e
Dans le triangle AG'B, la deroite (AA') qui passe par le milieu A' de [BC], parallèlement au côté (G'B) coupe le 3e côté [CG'] en son milieu.
Or, l'intersection de (AA') et et (CG') en G, G est donc le milieu de [AG'].

d)
AGBG' étant un parallélogramme, on sait que [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}= \overrightarrow{GG'}[/tex]
Donc  [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{GC}[/tex]
Or, on vient de montrer que G est le milieu de [CC'] ce qui peut se traduire par [tex]\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{GC}=\vec 0[/tex]
Donc  [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{GC}=\vec 0[/tex]

e)
G milieu de [CG'] donc [tex]\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{GG'}[/tex]
C étant-lui-même le milieu de [GG'], alors [tex]\overrightarrow{GG'}=2\overrightarrow{GC'}[/tex] donc [tex]\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GC'}[/tex] et [tex]\overrightarrow{GC'}=\frac 1 2 \overrightarrow{CG}[/tex] (1)
Mais
[tex]\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}[/tex] donc [tex]\overrightarrow{CC'}= \overrightarrow{CG}+\frac 1 2 \overrightarrow{CG}=\frac  3 2\overrightarrow{CG}[/tex]
D'où :
[tex]\overrightarrow{CG}=\frac  2 3\overrightarrow{CC'}[/tex]
On en conclut que le centre de gravité est placé aux 2/3  de la longueur de la médiane [CC'] à partir du sommet.

Voilà pourquoi, je trouve l'énoncé pas précis : yann06 et une bonne partie de ses camarades n'auront découvert qu'il ne fallait pas utiliser l'égalité vectorielle ci-dessus au cours des étapes précédentes...
Combien d'entre ceux qui s'en seront rendu compte auront pris le temps (ou vu comment) recommencer ?
Moi, j'ai été piégé aussi, mais j'ai changé mon fusil d'épaule...
J'aurais d'autre part utilisé le symétrique G' de G par rapport à A' et non par rapport à C' : c'était très astreignant de vérifier systématiquement qu'on ne confondait pas C' et G', deux lettres à la graphie voisine : le dérapage était vite arrivé (ça m'est arrivé plus d'une fois : j'espère avoir tout rectifié)....

@+


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