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#1 10-02-2017 18:55:50
- tina
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support compact?
Bonour,
dans une preuve, je lis que le produit de convolution $T \star S \in \mathcal{D}$ t.q $T$ est une distribution à support compact, et $\varphi$ une fonction test.
Pour montrer que $T \star \varphi$ est a support compact, on dit dans le preuve que c'est grâce à l'inclusion
$$Supp (T \star \varphi) \subset Supp T + Supp \varphi$$
Donc comment cette dérnière inclusion peut nous affirmer que $T \star \varphi$ est à support compact?
Merci par avance.
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#2 10-02-2017 21:04:24
- Yassine
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Re : support compact?
Bonsoir,
Un compact de $\mathbb{R}^n$ est caractérisé par deux propriétés : fermé et borné.
Avec ce que tu écris, est-ce que $Supp (T \star \varphi)$ vérifie ces deux propriétés ?
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#3 10-02-2017 23:58:56
- tina
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Re : support compact?
oui c'est ça, mais d'après moi, puisqu'on a calculer $T \star \varphi$, ca veut dire que les deux ensembles $Supp T$ et $Supp \varphi$ sont convolutifs, donc puisque les deux supports sont fermés et bornés, leur somme est fermée bornée, ce qui implique que $Sup (T \star \varphi)$ qui est inclus dans la somme est lui aussi fermé borné. C'est ok?
Merci par avance.
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#4 11-02-2017 15:34:57
- Yassine
- Membre
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- Messages : 1 090
Re : support compact?
Oui pour la dernière partie du raisonnement (je ne vois pas à quoi sert l'argument que les deux supports sont convolutif, ni d'ailleurs l'affirmation "on a à calculer $T \star \varphi$, donc les supports sont convolutif !)
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#6 12-02-2017 11:35:53
- Yassine
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Re : support compact?
On n'utilise nulle part le fait que $Supp T + Supp \varphi$ est compact mais uniquement qu'il est borné.
Ce qui permet de dire que tout ensemble $X \subset Supp T + Supp \varphi$ est également borné. Si de plus $X$ est fermé, alors $X$ est compact (fermé et borné).
Comme par définition $Supp (T \star \varphi)$ est fermé (c'est l'adhérence d'un ensemble), ça permet de conclure.
Cela dit, la somme de deux compact est un compact ($A$ compact et $B$ compact, alors $A\times B$ compact. $f: (x,y) \mapsto x+y$ est continue. L'mage d'un compact par une fonction continue est un compact).
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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