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kritikos

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Développement limité

Bonjour tout le monde svp j'ai des problèmes sur le développement limite. En effet voici l'exercice:
Soit f(x) = arcsin(x)*√(1-x^2).
1) trouvez a(x) tel que f'(x) + a(x)f(x) = 1.
2) écrire le développement limite de a(x) a l'ordre 4 en 0
3) en déduire le développement limité de f(x) en 0  a l'ordre 5
.
Pour la question 1 j'ai trouve a(x) = x/(1-x^2)
Pour 2) j'ai trouve le DL de a(x) = x + x^3 + o(x^4).
Mais j'arrive pas faire la question 3.

Merci d'avance.

Fred

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Re : Développement limité

Bonjour Kritikos,

  Voici comment je procèderai. Je sais que $f$ et $f'$ admettent un DL à n'importe quel ordre en 0.
J'écrirais le DL de façon abstraite jusqu'à l'ordre 4 :
$f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+o(x^4)$
$f'(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+4c_4x^3+5c_5x^4+o(x^4)$
car je sais que le DL de $f'$ se déduit de celui de $f$. Ensuite, je reporte ces DLS (y compris celui de $a(x)$)
dans l'équation $f'(x)+a(x)f(x)=1$, je simplifie, et j'obtiens un truc du type $c_1+....+o(x^4)=1$.
Je conclus ensuite par unicité du DL, parce qu'après tout, $1=1+o(x^4)$.

F.

kritikos

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Re : Développement limité

OK merci Fred je vais essayer de développer.

kritikos

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Re : Développement limité

Merci beaucoup fred j'ai trouve