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#1 14-02-2017 12:07:37

Maeve
Invité

limite "fonction catastrophe"

Bonjour,

J'ai à peine entamé le chapitre sur les limites que je suis "bloqué" sur un exercice, je fais de la pure application sans vraiment comprendre en profondeur du coup je ne sais pas si mes résultats sont cohérents.

On pose
[tex] f(x)=\frac{(50+x^{20})-2500}{x^{20}} [/tex]

1. A l'aide de la calculatrice donner une valeur approchée de [tex] f(x) [/tex] pour
[tex] x= 0,6 ; \ 0,5 ; \ 0,4 ;\ 0,3 ;\ 0,2 ;\ 0,1 ;\ 0,01 [/tex]
Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de f en 0 ?


[tex]
f(0,6)=100+3.10-5 [/tex]
[tex] f(0,5)=99,9999 [/tex]
[tex] f(0,4)=99,9998 [/tex]
[tex] f(0,3)=99,8054 [/tex] avec la Casio graph25+ et [tex] 100,3790 [/tex] avec un TI-83
[tex] f(0,2)=0 [/tex]
[tex] f(0,1)=0[/tex]
[tex] f(0,01)=0 [/tex]
la conjecture... la limite de f en 0 serait 99...

Je ne sais pas pourquoi les calculatrices affichent deux résultats différents seulement pour [tex] f(0,3) [/tex], je veux bien que ce soit une erreur d'écriture de la fonction dans ma Table (je suis sûr que non), mais pourquoi y aurait il une différence seulement pour 0,3 ?

Ensuite la calculatrice affiche 0 pour  [tex] x=0,2;\ 0,1;\ 0,01 [/tex] . Est ce dû a ses capacités ?



2. En développant ([tex] (50+x^{20})^2 [/tex] simplifier [tex]f(x)[/tex] et calculer alors la limite en 0.

en simplifiant je finis par obtenir
[tex] f(x)=100+x^{20} [/tex]
[tex]  \lim_{x \to 0} f(x) \iff  \lim_{x \to 0} 100+x^{20}=100 [/tex]

et alors là je ne suis pas sur du tout..

J'espère finir par saisir quelque chose, sur Geogebra la courbe représentative est juste incompréhensible on oscille violemment autour de y=100 quand x tend vers 0- et 0+

Je pense que mes résultats sont bons cependant je n'ai aucune intuition dessus. Je pensais qu'on ne pouvait que converger vers une limite mais sans alterner "autour" de celle-ci.

Mon raisonnement n'est pas clair.

Merci des éclaircissements que vous me donnerez !

#2 14-02-2017 12:40:33

Maeve
Invité

Re : limite "fonction catastrophe"

* [tex] 100+3.10^{-5} [/tex]

#3 14-02-2017 16:04:37

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : limite "fonction catastrophe"

Bonjour,

  Première chose, je pense que tu as oublié un carré dans ta fonction :
$$f(x)=\frac{(50+x^{20})^2-2500}{x^{20}}.$$

Pour les valeurs de $f$, j'ai fait avec un tableur et j'obtiens plus ou moins les mêmes valeurs que toi.

Par contre, j'en déduis une conjecture différente. Quand x se rapproche de 0, f(x) semble se rapprocher de 0, non??? (c'est même égal à 0 d'ailleurs). Ainsi, je dirais plutôt que la conjecture est que la limite de f en 0 est 0.

Ensuite, il y a un truc qu'il ne faut pas écrire, c'est
$$\lim_{x\to 0}f(x)\iff \lim_{x\to 0}100+x^{20}.$$
Ce $\iff$ n'a aucun sens. On met un $\iff$ entre deux phrases ou propositions logiques. Par exemple
$ABC$ est rectangle en $A$ $\iff$ $BC^2=AB^2+AC^2$.
Ou encore
$x\geq 2\iff x+1\geq 3.$

Mais là, tu mets le symbole $\iff$ entre deux nombres!!!!
Donc tu dois tout simplement écrire
$$\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}100+x^{20}=100$$
avec le symbole $=$ et non le symbole $\iff$.

Ce raisonnement est parfaitement valable, et j'en reviens à ton premier problème. Ce que ton prof veut montrer par cet exercice, c'est qu'il faut se méfier des outils comme la calculatrice ou Geogebra qui, dans certains cas, ne permettent pas de faire une conjecture correcte. Le problème vient de la façon de calculer de la calculatrice. Quand la calculatrice calcule
$(50+0,1^{20})^2=2500+0,1^{18}+0,1^{40}$, comme elle ne calcule qu'avec 14 chiffres significatifs, elle oublie complètement la fin, et pour elle le résultat est $50$.
Le problème, c'est que quand on retire 2500, la partie $0,1^{18}$ n'est plus du tout négligeable, mais la calculatrice ne la voit pas. Pour elle, le numérateur est simplement égal à 0.

F.

Hors ligne

#4 14-02-2017 16:36:32

Maeve
Invité

Re : limite "fonction catastrophe"

En effet j'ai oublié un carré.

Merci pour les précisions et désolé pour l'oubli je pense avoir compris le principe de la calculatrice.
Le signe "équivalent" ne marche pas dans ce cas, compris.

encore merci.

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