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#1 14-02-2017 03:12:16

Michel333
Invité

Théorème du prolongement C2

Bonsoir,

Alors comme indiqué j'aimerais que quelqu'un puisse me rappeler le théorème du prolongement C2 pas C1 juste pour voir la différence car c'est un peu flou pour moi niveau conditions d'utilisation..Je m'explique...

J'ai l'exercice suivant : f(x) = sinx pour x>= 0 ou f(x)= x si x =< 0.

J'ai prouvé plus haut que f était de classe C infini sur R.

Cependant pour la deuxième question on me demande de prouver que f est C2 sur R mais que f n'est pas 3 fois dérivable sur R.

J'ai donc dis dans un premier temps que l'on sait que f est C2 sur R* car f est C infini sur R*. J'ai donc pensé à regarder si f est bien prolongeable en 0 et justifier que f est continue sur R.

Après j'ai pensé tout simplement à calculer les taux d'accroissement de f'(x) et f''(x) en 0 pour vérifier que f'(x) et f''(x) sont bien dérivables en 0 puis de vérifier la continuité de ces deux dernières en 0 pour ainsi dire que f''(x) est continue en 0. Du coup f sera C2 sur R.

Mais il me semble qu'ici je peux appliquer le théorème du prolongement C2 qui m'évite de m'embêter avec les taux d'accroissement non?
Si vous pourriez m'expliquer en détaillés...

Merci d'avance!

#2 14-02-2017 03:17:02

Michel333
Invité

Re : Théorème du prolongement C2

Enfaite pour éviter de faire cas par cas soit vérifier que f(x), f'(x) et f''(x) continue sur R*, en 0 donc sur R, même chose pour l'histoire des 2 fois dérivable (donc utilisation des taux d'accroissement ect) ce théorème réduit considérablement l'effort.. d'après les "on dit"..

Merci !!!

#3 14-02-2017 06:01:10

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Théorème du prolongement C2

Salut,

je pense que tu n'as pas bien vu ta fonction $f$. Définie sur $\mathbb{R}$, elle est en deux morceaux.
On a pour $x \ge 0$, $f(x)=\sin x$ et $f(x)=x$ sinon.
Toute la question tourne autour de 0.
Regarde mieux et tu devrais trouver.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#4 14-02-2017 08:40:06

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Théorème du prolongement C2

Bonjour,

  Le théorème de prolongement $C^2$ (appliqué en 0) te dit que : si $f$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb R^*$, si $f$, $f'$ et $f''$ admettent une limite en 0, alors $f$ se prolonge en une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$ avec $f(0)=\lim_0 f$, $f'(0)=\lim_0 f'$ et $f''(0)=\lim_0 f''$.

Tu peux tout à fait appliquer ce résultat ici pour montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb R$. Pour démontrer que $f$ n'est pas trois fois dérivable, en revanche, tu dois revenir au taux d'accroissement de $f''$ et démontrer qu'il n'a pas de limites en 0!

----------------------------
Après réflexion!
En réalité, je ne suis pas sûr que tu ais besoin du théorème de prolongement $C^2$. $f$ est clairement continue en $0$. $f'$ est dérivable à droite en $0$ avec $f'(0)=0$, et $f$ est dérivable à gauche en $0$ avec $f'(0)=0$ également. Donc $f$ étant dérivable à droite et à gauche en 0 avec mêmes valeurs pour la dérivée, $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=0$. On recommence ensuite avec $f'$ pour vérifier que $f''$ est dérivable en $0$.
Tout se passe comme dans cet exercice.

Fred.

Hors ligne

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