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#1 02-02-2017 22:07:00
- tina
- Membre
- Inscription : 27-03-2014
- Messages : 285
produit de convolution
Bonjour,
dans mon cours sur le produit de convolution, on commence par le théorème de dérivation qui dit ceci:
Soit $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^p)$ et soit $\varphi \in \mathcal{E}(\mathbb{R}^{p+q})$.
L'application définie par
$$
f(y)=\langle T_x,\varphi\rangle_{\mathcal{E}'(\mathbb{R}^p),\mathcal{E}(\mathbb{R}^p)}
$$
($y$ est une variable, et $T$ une distribution par rapport à $x$)
est de classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^q)$ (car $y \in \mathbb{R}^q)$
et on a
$$
\forall \alpha \in \mathbb{N}^q: D^\alpha f(y)= \langle T,D^\alpha_y \varphi \rangle$.
$$
Voilà, je suis un peu perdue. En fait, on commence par supposer que $\varphi \in \mathcal{E}^{p+q}$, puis dans le crochet de distribution on écrit $\mathcal{E}(\mathbb{R}^p)$, et ça veut dire quoi que $T$ est une distribution par rapport à $x$? S'il vous plaît. Et ma dérnière question, à quoi sert ce théorème?
Merci par avance.
Dernière modification par tina (02-02-2017 22:12:45)
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#2 03-02-2017 23:36:56
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : produit de convolution
Bonsoir,
Je pense qu'il faut que tu regarde ça sur un exemple.
On va prendre $p=q=1$ et $T=\delta_0$.
Donc, pour tout $\varphi \in C^\infty(\mathbb R)$, on a $\langle \delta_0, \varphi \rangle = \varphi(0)$
Soit maintenant $\psi \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$. $\psi$ est une fonction à deux variables $\psi(x,y)$, et on ne peut donc pas appliquer $\delta_0$ à \psi$.
Soit maintenant un $y$ fixé, et posons pour tout $x$, $f(x)=\psi(x,y)$. Donc $f \in C^\infty(\mathbb R)$, on a donc le droit d'appliquer $\delta_0$ à $f$ et on a $\langle \delta_0, f \rangle = f(0) = \psi(0,y)$.
Donc, pour chaque $y$, on peut définir l'application de $\delta_0$ à $\psi$, vue comme une fonction à une seule variable $x$.
On obtient donc une fonction, qui à chaque $y$, associe le nombre $\langle \delta_0, \psi(\bullet,y) \rangle = \psi(0,y)$.
Ce théorème est l'analogue de la dérivation des intégrales paramétriques. Sous certaines conditions, on a $\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial y}\int f(x,y)dx = \int\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$.
Ici, on peut inverser dérivation et crochet de dualité.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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