Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Nicolas1978

Invité

DM maths

Bonjour à tous,
Je ne parviens pas à démontrer la question suivante :
" Un triangle qui a deux hauteurs de même longueur est il forcément un triangle isocèle ? "
Merci de votre aide !

yoshi

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Re : DM maths

Bonsoir,

J'appelle ABC le triangle et [CH] la hauteur relative à [AB] et [BK] la hauteur relative à [AC]

Cas n°1
Je suppose que l'angle A est aigu
Cas n°2.
Je suppose que l'angle A est droit.
Là c'est évident, ton triangle est un triangle rectangle et isocèle en A.
Cas n°3.
Je suppose que l'angle A est obtus.
Tu devras adapter ce que je vais te suggérer...

Donc cas où  [tex]\hat A[/tex] aigu.
On suppose que BK = CH.
Le triangles BKC et CHB sont respectivement rectangles en C et B.
On va donc pouvoir utiliser la trigo : c'est le plus rapide...
[tex]\sin\widehat{CBH}=\frac{??}{??}[/tex]

[tex]\sin\widehat{BCK}=\frac{??}{??}[/tex]

Puisque BK = CH que conclus-tu pour [tex]\sin\widehat{CBH}[/tex]  et  [tex]\sin\widehat{BCK}[/tex] ?
Qu'en déduis-tu alors pour les angles[tex] \widehat{CBH}[/tex]  et  [tex]\widehat{BCK}[/tex] ?
Et maintenant pour le triangle BAC ?

@+

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Nicolas1978

Invité

Re : DM maths

Bonsoir Yoshi, merci de m'avoir répondu aussi rapidement !
Je pensais simplement utiliser le théorème de Pythagore pour cette démonstration, mais je ne vois pas comment m'y prendre ...
Je précise également que mon niveau en maths est très ... relatif. il va donc falloir que je replonge dans mes leçons pour me rappeler la fonction des sinus et ainsi suivre ton raisonnement.

Nicolas1978

Invité

Re : DM maths

Effectivement, après avoir relu ton explication,  sin CBH = sin BCK donc ces angles sont égaux. A partir de la, CA = BA ... et donc le triangle est isocele ... Est ce celà ?

freddy

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Re : DM maths

Salut,

si tu connais bien le théorème de Pythagore, les relations trigonométriques en sont un prolongement naturel.
Considère une triangle $ABC$ rectangle en $A$. Son hypoténuse est $BC$. Je regarde l'angle $\hat{B}$

Son sinus est le quotient du côté opposé $AC$ sur l'hypoténuse $BC$ ; son cosinus est le quotient du coté adjacent $BA$ sur l'hypoténuse $BC$. Chacun est un nombre réel inférieur à 1.

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

yoshi

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Re : DM maths

Re,

Oui; c'est cela...
Tu peux aussi utiliser Pythagore.
J'étais parti là-dessus aussi...
Puis, je me suis dit que la trigo était plus rapide.

Pythagore :
Tu vas pouvoir appliquer le théorème de Pythagore et écrire
[tex]BH^2 = ... - ...[/tex]
[tex]CK^2 = ... - ...[/tex]
Et comme BK = CH, conclusion pour BH et CK ?
Conclusion pour les deux triangles BKC et CHB ?
Conclusion les angles  et en particulier [tex]\widehat{BCK}[/tex]  et  [tex]\widehat{CBH}[/tex] ?
Conclusion pour le triangle ABC .

@+

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Nicolas1978

Invité

Re : DM maths

Bonsoir freddy, oui en effet, mais je souhaitais faire cette démonstration sans utiliser les cosinus ou les sinus. Il faut que parvienne à justifier que les côtés opposés à l'angle droit formé par les hauteurs sont eux aussi de longueur égale ( AC = AB ) et donc que les triangles AHC et AKB ont une hypothénuse de même longueur. La démonstration sera alors faite.

Nicolas1978

Invité

Re : DM maths

Désolé yoshi, nos réponses se sont croisées ! Donc en effet, BH² = BC²-CH² et CK²= BC²-BK².
Alors BH = CK. Donc BKC et CHB sont égaux . En l'occurence les angles BCK et CBH sont égaux. Il s'agit donc bien d'un triangle isocèle.
C'était si simple ... Il ne me manquait plus qu'un coup de pouce !
Merci à vous tous pour vos réponses et ... votre patience :-)

yoshi

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Re : DM maths

Salut,

Alors, voir mon post précédent, mais tu n'as pas besoin des côtés complets...

Pour savoir si l'idée qui me vient est aussi viable : as-tu vu les cas d'égalité des triangles ?

@+

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Nicolas1978

Invité

Re : DM maths

Ce sont de lointains souvenirs, je vais me renseigner sur le champ ! Encore merci pour ta pédagogie et ton implication Yoshi .

jpp

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Re : DM maths

salut.

peut être qu'en utilisant la simple formule donnant l'aire d'un triangle :  A = base x hauteur /2

s'il y a 2 hauteurs égales il y a forcément 2 bases ègales . Idem pour 3 hauteurs égales ---> le triangle est équilatéral , non ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM maths

Salut

Oui, bien sûr ça marche... aussi.
Et si c'est vrai dans un triangle isocèle, c'est vrai dans l'équilatéral : les 3 hauteurs sont aussi, médianes, médiatrices et bissectrices des angles.
"Forcément", c'est forcément elliptique...
Voilà :
[tex]\mathcal{Aire}_{ABC}=  \frac{AC\times BK}{2}[/tex]
[tex]\mathcal{Aire}_{ABC}=  \frac{AB\times CH}{2}[/tex]
Donc ;
[tex] \frac{AC\times BK}{2} = \frac{AB\times CH}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]AC \times BK = AB\times CH[/tex]
Or BK = CH
Donc : AC = AB
Le triangle ABC, ayant deux côtés, [AB] et {AC], de même longueur est donc isocèle de sommet principal A.
Cette démonstration présente l'avantage de couvrir les 2 cas où [tex]\hat A[/tex] est aigu et obtus...

@Nicolas. Ta dernière remarque laisse penser que tu n'es plus dans le circuit scolaire classique. Vrai ou Faux ?

@+

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nicolas1978

Invité

Re : DM maths

Bonsoir,
oui en effet yoshi, c'est exact, je suis sorti du circuit scolaire depuis longtemps.