Fonction suppra-continue (Page 1) / Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries / Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 11-01-2017 10:46:05

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 925

Fonction suppra-continue

Bonjour à tous,

Suite à une remarque de PTRK lors d'un fil sur les distributions, je propose une colle amusante aux jeunes étudiants du Forum (les vieux qui ont envie peuvent participer aussi ;-) ).

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction qui vérifie la propriété de suppra-continuité suivante (terme complètement inventé pour l'occasion) :
pour tout $x \in \mathbb{R}$ il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que $f$ soit constante sur $V$.
Montrer que $f$ est constante sur $\mathbb{R}$


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#2 11-01-2017 11:10:45

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 421

Re : Fonction suppra-continue

Hello,

F.

Hors ligne

#3 11-01-2017 11:23:30

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 925

Re : Fonction suppra-continue


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#4 11-01-2017 12:09:15

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 098

Re : Fonction suppra-continue

Salut,

tu devrais aussi m'exclure ;-)


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#5 11-01-2017 13:36:27

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 421

Re : Fonction suppra-continue

Hors ligne

#6 11-01-2017 15:16:52

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 925

Re : Fonction suppra-continue

@freddy : tu étais déjà exclu, je m'étais adressé aux jeunes ;-)

Dernière modification par Yassine (11-01-2017 21:41:25)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#7 12-01-2017 09:32:05

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 925

Re : Fonction suppra-continue

Bonjour,
Je propose une rédaction un peu plus robuste que ce que j'ai écris dans la discussion avec Fred.
Je suis preneur de vos critiques/suggestions.

Soit $a$ un réel quelconque et je note $A_a = \{x < a \ | f(]x,a])=\{f(a)\}\}$ et $B_a = \{x > a \ | f([a,x[)=\{f(a)\}\}$
Vue la propriété de $f$, $A_a \neq \emptyset$ et $B_a\neq \emptyset$. Je peux donc considérer $x_m = \inf A_a$ et $x_M = \sup B_a$ ($x_m$ est le plus grand de tous le minorants et $x_M$ le plus petit de tous les majorants) .
Supposons que $x_m \in \mathbb{R}$ (fini). Alors, $f(x_m) \neq f(a)$. En effet, si $f(x_m) = f(a)$, alors, il existe $\epsilon > 0$ tel que $f(]x_m-\epsilon, x_m+\epsilon[)=\{f(a)\}$ et donc $x_m-\epsilon \in A_a$ contredisant $x_m = \inf A_a$.
Il existe alors $\alpha > 0$ tel que $f(]x_m-\alpha, x_m+\alpha[)=\{f(x_m)\} \neq \{f(a)\}$. Quitte à diviser $\alpha$ par un $n>2$ qui convient, on peut supposer $x_m + \alpha < a$. On a alors $\forall x \in [x_m,x_m + \alpha], x \notin A_a$, donc $x_m+\alpha$ est également un minorant de $A_a$ or $x_m + \alpha > x_m$, contredisant $x_m = \inf A_a$.
On fait de même pour $x_M$.
Si bien que $x_m = -\infty$ et $x_M = +\infty$ et donc $A_a \cup B_a = \mathbb{R}$.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer

Les questions suivantes sont faites pour éviter le spam. Si vous voulez ne plus les avoir, inscrivez-vous!

Quel est le résultat de 70+73?

Quel est le 6 ième chiffre de 2635978?

Pied de page des forums

[ Générées en 0.025 secondes, 10 requêtes exécutées - Utilisation de la mémoire : 2.12 MiB (pic d'utilisation : 2.41 MiB) ]