sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère (Page 1) / Entraide (collège-lycée) / Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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#1 08-01-2017 13:12:37

duquenne
Invité

sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Bonsoir


J'aimerais avoir de l'aide pour cet preuve

pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

on compare f(x)  et f(x') en étudiant le signe de leur différence

la forme générale d'une fonction du second degré est \(\displaystyle f(x) = a x^{2} + bx +c\)
soit \(\displaystyle f(x) = a x^{2} + bx + c\)
et  \(\displaystyle f(x') = ax'^{2} + b x' + c\)

\(\displaystyle f(x) - f(x') = ax^{2} + b x + c - (ax'^{2} + b x + c)\)

\(\displaystyle f(x) - f(x') = ax^{2} - ax'^{2} + bx - b x' + c - c\)

\(\displaystyle f(x) - f(x') = a (x - x') (x + x') + b (x - x') \)

\(\displaystyle f(x) - f(x') = (x - x') [a(x + x') + b ] \)


je suppose que a est un nombre positif dans la preuve , la parabole est tournée vers le haut et atteint son point le plus bas (= minimum) en
\(\displaystyle x =-\frac{b}{2a}\)

l'objectif est de démontrer que la fonction est décroissante sur l'intervalle \(\displaystyle ]-\infty ; \frac{b}{2a}] \)
puis de démontrer que la fonction est croissante sur l'intervalle \(\displaystyle [- \frac{b}{2a} ; +\infty[ \)

pour démontrer cela , il faut étudier le signe de \(\displaystyle f(x) - f(x') = (x - x') [a(x + x') + b ] \)

étude du signe de x - x'

x -x' >  0 si et seulement si x > x'

x - x' < 0 si et seulement si x <  x'

étude du signe de a (x - x') + b

x -x' + b > 0 si et seulement si x - x' > -b


x - x' + b < 0 si et seulement si x - x ' < -b

alors on peut dire que  x < -b et - x' < -b

#2 08-01-2017 14:16:18

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 071

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Salut,

une petite remarque : si x* est l'abscisse du point bas, (minimum de la parabole), alors, par définition, pour tout x différent de x*, f(x) est supérieur à f(x*), non ?
Quelle autre preuve veux tu établir ?


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#3 08-01-2017 14:43:17

duquenne
Invité

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

salut freddy

merci de m'avoir répondu

si \(\displaystyle x = -\frac{b}{2a}\)

si x est l'abscisse le plus bas , il va avoir pour image f(x) je trace une ligne en pointillé vers l'axe des ordonnées et je place f(x)

pour tout x' différent  de x

il y a 2 cas :
x' < x   (on est dans la partie décroissante de la parabole)
je prends l'image du point x' , je trace f(x') sur l'axe des ordonnées et d'après le dessin que je viens de faire f(x') > f(x)

x > x'  (on est dans la partie croissante de la parabole)
je prends l'image du point x' , je trace f(x') sur l'axe des ordonnées et f(x') > f(x)

donc dans les 2 cas f(x') > f(x)

c'est cela ??

#4 08-01-2017 15:31:23

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 071

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

oui


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#5 08-01-2017 16:34:14

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 853

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Salut,
Je me permet d'intervenir car ce n'est pas super rigoureux comme rédaction de ta démo...

Revenons à la définition d'une fonction croissante :
"On dit qu'une fonction réelle $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tout réel $x$ et $x'$ appartenant à $I$, on a
$(x<x'\ \Rightarrow\ f(x)\le f(x'))$"

Et pour une fonction décroissante :
"On dit qu'une fonction réelle $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tout réel $x$ et $x'$ appartenant à $I$, on a
$(x<x'\ \Rightarrow\ f(x)\ge f(x'))$"

Donc lorsque l'on cherche les variations d'une fonction, on commence par se donner deux réels $x$ et $x'$ tels que $x<x'$.
Puis on cherche le signe de $f(x)-f(x')$.



Cela donnera quelque chose comme :

Soit la fonction $f:x\mapsto ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a>0$.
On veut montrer que $f$ est croissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a};+\infty\right[$.
Soit $x$ et $x'$ deux réels tels que $-\dfrac{b}{2a}\le x<x'$.
Il suffit de montrer que $f(x)<f(x')$

$f(x)-f(x')\ =\ .....\ =\ (x-x')\left(a(x+x')+b\right)$

Etude du signe de $x-x'$
On a $x<x'$
donc $x-x'<0$

Etude du signe de $a(x+x')+b$
Tu t'es complètement emmêler les pinceaux dans cette partie.
Pourquoi le $(x+x')$ devient un $(x-x')$?
Et où est passé le $a$?
Il faut partir de $-\dfrac{b}{2a}\le x<x'$ pour trouver le signe.

Dernière modification par tibo (08-01-2017 21:10:05)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#6 08-01-2017 17:02:44

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 071

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Salut tibo,

tu as mille fois raisons d'intervenir, je voulais lui faire remarquer qu'on ne peut pas dire qu'on a un minimum sans connaitre la définition du minimum et chercher à réinventer la roue, ou alors chercher à enfoncer une porte ouverte.


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#7 11-01-2017 22:10:24

yann06
Membre
Lieu : CANNES
Inscription : 11-01-2017
Messages : 52

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Bonsoir Tibo

merci de m'avoir répondu
et d'avoir passé du temps pour m'aider
également pour le jeu de mot ' à quoi sert une hyperbole , --> à boire de l'hyper soupe '
pas mal !!


soit la parabole de forme générale f : $x\mapsto ax^{2} + bx + c$
objectif : prouver que la parabole est croissante sur l'intervalle $[\frac{b}{2a} ; + inf[$

on utilise la définition de la fonction croissante : je prends deux nombres x et x' dans l'intervalle $[\frac{b}{2a} ; + inf[$ tel que x  < x'

ou encore tel que $\frac{b}{2a} < x < x'$

mon  objectif est donc de démontrer que f(x) < f(x') (d'après la définition de la fonction croissante)

pour démontrer cela , on va étudier le signe de f(x) - f(x')

pour démontrer qu'un nombre X est plus grand qu'un nombre Y , on doit étudier le signe du nombre X - Y
X - Y > 0 si X > Y
X - Y < 0 si X < Y

donc f(x) - f(x') > 0 si f(x) > f(x')



je réfais le développement
$f(x) - f(x') = ax^{2} + bx + c - (ax'^{2} +  bx' +c)$
$f(x) - f(x') = a x^{2} -  ax'^{2} + b x - b x'$
$f(x) - f(x') = a (x - x') (x + x') + b (x - x')$
$f(x) - f(x') = (x - x') [ a (x + x') + b ]$

je dois étudier le signe du produit $(x - x') [a (x + x') + b ]$
pour étudier le signe de $(x - x') [a(x +x') + b]$ on doit faire un tableau de signe avec le signe de (x - x') et le signe de a(x + x') + b

quel est le signe de x - x' ?
x - x' est toujours négatif puisque x < x'

quel est le signe de a [(x + x') +b ] ??

$a[ (x + x') + \frac{b}{a} > 0$ si et seulement si $a[ (x +x') + \frac{b}{a} - \frac{b}{a} > - \frac {b}{a}$

vous me dites qu'il faut partir de $-\frac{b}{2a} < x < x'$

soit $- \frac{b}{2a}- x - x' < 0$

il faut que je trouve f(x)  < f(x')  soit f(x) - f(x') < 0

si (x - x') < 0

il faut que a[(x + x') + b]   soit positif
le signe -  et le signe + donne -

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#8 11-01-2017 23:11:34

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 853

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Salut,

Très bien pour le début.
Attention tu as oublié quelques $"-"$ sur des $-\dfrac{b}{2a}$

Pour finir, on a $\displaystyle -\frac{b}{2a}\le x<x'$
Donc $\displaystyle -\frac{b}{2a}\le x$ et $\displaystyle -\frac{b}{2a}< x'$
Donc $x+x'> ???$

Et tu devrais pouvoir finir.

Dernière modification par tibo (11-01-2017 23:13:30)


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#9 12-01-2017 00:03:43

yann06
Membre
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Inscription : 11-01-2017
Messages : 52

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Bonsoir Monsieur,

merci de m'avoir répondu

pour prouver que la fonction  est croissante sur l'intervalle $[-\frac{b}{2a} ; + \infty[$

si x < x'  on doit avoir f(x) < f(x') soit f(x) - f(x') < 0

on a vu que x - x' est toujours négatif

pour avoir f(x) -f(x') < 0

donc il faut que $a (x + x') + b $ soit positif

nous avons pris deux nombres x et x' dans l'intervalle $[-\frac{b}{2a} . ;+ \infty[$ rangés tel que x < x'
ou encore tel que $\frac{b}{2a} < x < x'$ (c'est logique )

donc $-\frac{b}{2a} < x$ et $-\frac{b}{2a} < x'$

en additionnant les 2 équations

$ -\frac{b}{2a} + \frac{-b}{2a} < x + x' $

comme les fractions ont meme dénominateur , je peux additionner les numérateurs
ce qui donne :
$-\frac{2b}{2a} < x + x'$

soit $-\frac{b}{a} < x + x'$

soit $0 <\frac{b}{a} + x + x'$

ce que je ne comprends pas , c'est pour quelle raison on additionne x + x'

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#10 12-01-2017 00:27:56

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 853

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Re,
C'est bien poli, mais ne t’embarrasse du Monsieur ici. Je suis juste Tibo ici.


Tu cherches bien à connaître le signe de $a(x+x')+b$ ?
Donc il faut bien faire apparaître un $x+x'$ à un moment non?

Je reprend ton avant dernière inégalité :
on a $-\dfrac{b}{a} < x + x'$
Que se passe-t-il si tu la multiplies par $a$ puis que tu ajoutes $b$?


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#11 12-01-2017 03:03:59

yann06
Membre
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Messages : 52

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Ok , j'ai compris

le but , c'est de reconstruire l'expression $a(x + x') + b$
on commence par le centre , comme une sorte de puzzle , c'est cela??

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#12 12-01-2017 08:28:00

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 853

Re : sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

Absolument.
C'est une méthode que l'on utilise assez souvent pour obtenir des inégalités.

On part d'une inégalité connue pour essayer d'obtenir l'inégalité recherchée.


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