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#1 08-01-2017 00:36:55

Mario00
Invité

Developpement asymptotique 2

Bonjour, svp, pouvez me donner des instructions concernant ce sujet :

L'autrefois, on a dit qu'il faut verifier quelques conditions pour former le DL d'une fonction-integrale en un point.
Je cherche maintenant à faire un developpement asymptotiique d'une telle fonction, par ex à l'infini de la fonction
$f(x)=\int_{1}^{7}{\frac{ln(x+y^2)}{x^5+y}}dy$

Est ce qu'il faut verifier des consitions (contuinité...)? si oui, quelle sont conditions ?
Est ce qu'on a le droit de former un DA de la fonction à integrer, puis d'integrer ce DA ? (càd, est ce que c'est le meme principe que le DL?)

Merci

#2 09-01-2017 16:19:01

mario00
Invité

Re : Developpement asymptotique 2

quelqu'un peut m'aider svp
merci

#3 09-01-2017 20:32:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 256

Re : Developpement asymptotique 2

Bonjour,

  Tu peux toujours te ramener d'un développement asymptotique à un DL et vice versa.
Pose ici $u(x)=f(1/x)$. Un DL en $0^+$ de $u$ te donnera un développement asymptotique en $+\infty$ de $f$, et réciproquement.

F.

Hors ligne

#4 09-01-2017 20:52:41

mario00
Invité

Re : Developpement asymptotique 2

si l'intervalle d'integration etait [1;+inf[, est ce qu'il faut verifier que la function est de classe $C^n$ ? et est ce qu'il faut faire cela avant ou apres le changement de var?

#5 09-01-2017 21:11:45

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 256

Re : Developpement asymptotique 2

Cela ne change rien à l'intervalle d'intégration. C'est un changement de variables qui porte sur $x$, non sur la variable d'intégration $y$.

Hors ligne

#6 09-01-2017 21:40:24

Mario00
Invité

Re : Developpement asymptotique 2

Si l'intervalle d'integration n'est pas borne, faut-il verifier que
Que la fonction a integrer est de classe $C^n$?
Puis on forme le developpement limite par rapport a x pui on integrer

#7 09-01-2017 22:22:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 256

Re : Developpement asymptotique 2

Que l'intervalle d'intégration soit bornée ou pas ne change rien au problème.
La méthode que t'a montré Yassine nécessite de démontrer que la fonction $f$ (ou après mon changement de variables $u$)
est de classe $C^n$.

Hors ligne

#8 10-01-2017 09:43:13

mario00
Invité

Re : Developpement asymptotique 2

Il faut faire un developpement limite en 0 de la fonction :

$u(x)=f(\frac{1}{x})=x^5\int_{1}^{7}{\frac{ln(1+xy^2)-ln(x)}{1+yx^5}}$

puis comment prouver que cette fonction est de classe $C^n$, puisqu'il y a un ln(x) qui n'est pas definie en 0 ?

#9 10-01-2017 09:44:25

mario00
Invité

Re : Developpement asymptotique 2

excusez moi il faut mettre un dy pour l'integrale:

$u(x)=f(\frac{1}{x})=x^5\int_{1}^{7}{\frac{ln(1+xy^2)-ln(x)}{1+yx^5}}dy$

#10 10-01-2017 10:37:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 256

Re : Developpement asymptotique 2

Tu peux (je ne sais pas si c'est la meilleure idée) calculer $u'(x)$ pour $x\neq 0$, puis faire tendre $x$ vers 0. Tu en déduiras par le théorème de prolongement d'une dérivée que $u$ est dérivable en $0$.

F.

Hors ligne

#11 10-01-2017 20:10:50

Mario00
Invité

Re : Developpement asymptotique 2

Je pense que dans ce cas on ne peut pas faire un DL normal, mais meme je pense qu'on peut faire un DL sachant que les termes du developpement sont "convergent"

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