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#1 10-01-2017 09:11:18

soso1
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Cf paramêtre

enoncé

-Etude de fonction (1987) T.C  4pts    (merci d avance)

\(\displaystyle f\left( x \right) =ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-a } }{ { x }+a } \right) \\ \) \(\displaystyle a\in { { R } }\)




Pour tous \(\displaystyle x>0\) ,pour tous \(\displaystyle a\in { { R } }\)

-déterminer \(\displaystyle Df\) .
-Etudier suivant le paramètre \(\displaystyle a\) le signe de \(\displaystyle f\) ,pour tous \(\displaystyle a<0,\) , \(\displaystyle a=1\)
-Montrer que \(\displaystyle f \) est monotone ( \(\displaystyle a<0,\) , \(\displaystyle a=1\) ) 
-Résoudre dans \(\displaystyle R\) pour \(\displaystyle a=1\) \(\displaystyle f\left( x \right) =-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\)




Q1

cas1 \(\displaystyle a>0\)


\(\displaystyle \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-a } }{ { x }+a }\) \(\displaystyle >0\)     \(\displaystyle \begin{cases} { x>-\sqrt { a } ,\quad x>\sqrt { a } >0 } \\ x>-a \end{cases}\)

quelque soit \(\displaystyle x>0\) , \(\displaystyle f\) est alors defini si  \(\displaystyle x>\sqrt { a }\) , \(\displaystyle Df\) =  \(\displaystyle ]\sqrt { a } ,\infty[\)


cas 2  \(\displaystyle a <0\)


\(\displaystyle \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+a } }{ { x }-a }\) \(\displaystyle >0\)        le terme au numérateur est positif.

on a alors \(\displaystyle x>a\)     \(\displaystyle Df\) =  \(\displaystyle ] { a } ,\infty[\)


cas 3  \(\displaystyle a=0\)


\(\displaystyle \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }} }{ { x }}>0\)

\(\displaystyle Df\) =  \(\displaystyle ] { 0 } ,\infty[\)


Q2


pour  \(\displaystyle a<0,\)


\(\displaystyle ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-\left( -a \right) } }{ { x }-a } \right)\) = \(\displaystyle ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+a } }{ { x }-a } \right)\) \(\displaystyle =ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }+a } \right) +ln{ \left( x-a \right) }^{ -1 }\) \(\displaystyle >0\)

En effet, puisque \(\displaystyle x\in\) \(\displaystyle ] { a } ,\infty[\) ,on a alors \(\displaystyle x-a>0\) .De plus ce terme \(\displaystyle ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }+a } \right)\) est tjrs positifs

On peut  directement conclure que \(\displaystyle \forall a\in{R^*}^- \) , \(\displaystyle \forall x\) \(\displaystyle \in { {Df } }\)       \(\displaystyle f\left( x \right)\) \(\displaystyle >0\)


pour \(\displaystyle a=1\)


\(\displaystyle f\left( x \right) =ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } }{ { x }+1 } \right) =ln\left( \frac { \sqrt { { x }-1 } .\sqrt { x+1 } }{ x+1 } \right) =ln\sqrt { \frac { x-1 }{ x+1 } } =ln\sqrt { 1-\frac { 2 }{ x+1 } \\ }\) \(\displaystyle <ln1\)

En effet, puisque \(\displaystyle a>0\) on sait d'après le cas 1 que \(\displaystyle x\in\) \(\displaystyle ] {1 } ,\infty[\) .On peut aisément conclure \(\displaystyle f\left( x \right)\) \(\displaystyle <0\) puisque \(\displaystyle ln1=0\)
\(\displaystyle \forall x\) \(\displaystyle \in { {Df } }\)     \(\displaystyle f\left( x \right)\) \(\displaystyle <0\)


Q3

Etude de la monotonie


\(\displaystyle f\left( x \right) =ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-a } }{ { x }+a } \right) =ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }-a } \right) -ln\left( x+a \right)\)

d 'ou

\(\displaystyle { f }^{ / }={\left[ ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }-a}\right) -ln\left( x+a \right) \right] }^{ / }\)


\(\displaystyle \Leftrightarrow\)

\(\displaystyle { f }^{ / }=\frac { \frac {2x}{2\sqrt {{ x }^{ 2 }-a }}}{\sqrt { { x }^{ 2 }-a } } -\frac { 1 }{ x+a } =\frac { x }{ { x }^{ 2 }-a } -\frac { 1 }{ x+a } =\frac { x\left( x+a \right) -{ \left( { x }^{ 2 }-a \right)} }{\left({ x }^{ 2 }-a \right)\left( x+a \right)}=\frac { a(x+1) }{ \left(x+a \right)\left( { x }^{ 2 }-a \right)}\)


cas  \(\displaystyle a<0,\)


Soit, \(\displaystyle \frac { -a(x+1) }{ \left(x-a \right)\left( { x }^{ 2 }+a \right)}\) = \(\displaystyle -a\) \(\displaystyle \frac { (x+1) }{ \left(x-a \right)\left( { x }^{ 2 }+a \right)}\) \(\displaystyle <0\)


On a déduit dans Q2 que \(\displaystyle x-a>0\) et \(\displaystyle { x }^{ 2 }+a>0\) , puisque \(\displaystyle -a\) est un réel négatif on peut alors affirmer \(\displaystyle { f }^{ / }<0\) .


Conclusion: \(\displaystyle \forall a\in{R^*}^- \) , \(\displaystyle \forall x\) \(\displaystyle \in { {Df } }\)       \(\displaystyle { f }^{ / }\) \(\displaystyle <0\) La courbe de \(\displaystyle f\) est strictement décroissante,donc monotone .Notons également que celle ci est positive.


Cas \(\displaystyle a=1\)

on a : \(\displaystyle { f }^{ / }=\frac { (x+1) }{ \left( x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-1 \right) } ={ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ -1 }={ \left( x-1 \right) }^{ -1 }.{ \left( x+1 \right) }^{ -1 }>0\)

En effet , d'après Q1 cas 1 : \(\displaystyle x>1\) \(\displaystyle \Rightarrow\) \(\displaystyle x-1>0\)     \(\displaystyle x+1\) est tjrs positif car \(\displaystyle x>0\)


Conclusion: \(\displaystyle \forall x\) \(\displaystyle \in { {Df } },\)   \(\displaystyle { f }^{ / }\) \(\displaystyle >0\) .Pour \(\displaystyle a =1\) la courbe \(\displaystyle f\) est strictement croissante,donc monotone.De plus celle ci est négative.



Q4
\(\displaystyle f\left( x \right) =-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \Rightarrow\) \(\displaystyle -2ln\frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-a } }{ x+a }\) \(\displaystyle =-ln\frac { { \sqrt { { x }^{ 2 }-a } }^{ 2 } }{ { \left( x+a \right) }^{ 2 } }\) = \(\displaystyle ln\frac { { \left( x+a \right) }^{ 2 } }{ { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a } } }^{ 2 } }\) = \(\displaystyle ln\frac { \left( x+a \right) ^{ ^{ 2 } } }{ { x }^{ 2 }-a }\) = \(\displaystyle ln\frac { x+a }{ x-a }\) = \(\displaystyle ln\left( 1+\frac { 2a }{ x-a } \right)\) = \(\displaystyle \sqrt { 3 }\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow\)

\(\displaystyle { e }^{ ln\left( 1+\frac { 2a }{ x-a } \right) }\) = \(\displaystyle { e }^{ \sqrt { 3 } }\quad \Rightarrow \quad 1+\frac { 2a }{ x-a }\) = \(\displaystyle { e }^{ \sqrt { 3 } }\quad \Rightarrow { \left[ \frac { 1 }{ 2a } ({ e }^{ \sqrt { 3 } }-1) \right] }^{ -1 }\) = \(\displaystyle x-a\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow\)

D'ou
puisque \(\displaystyle a=1\) , \(\displaystyle \quad \quad x=\quad \frac { 2 }{ { e }^{ \sqrt { 3 } }-1 } +1\) = \(\displaystyle \frac { { e }^{ \sqrt { 3 } }+1 }{ { e }^{ \sqrt { 3 } }-1 }\)

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#2 10-01-2017 09:32:02

PTRK
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Re : Cf paramêtre

Bonjour !

Q1 : Cas 1 :
Pas tout à fait. Tu as écris quelque chose de faux : $x>-\sqrt{a}$.  Prenons $x = 0 > -\sqrt{a}$, alors $\sqrt{x^2-a} = \sqrt{-a}$ qui n'est pas défini.
L'ensemble de définition de $\sqrt{x^2-a} \text{  est  }]-\infty,-\sqrt{a}]\cup[\sqrt{a},+\infty[$.

Je te conseille par ailleurs de diviser le cas 1 en 2 sous cas : $a>1$ et $a \le 1$.

Cas 2 : erreur d'écriture : Si $a<0$ alors soit  $\sqrt{x^2-a} >0 \forall x$ soit $\sqrt{x^2+a'} > 0$ avec $a' = -a$ mais $\sqrt{x^2+a}$ n'est surement pas positif pour tout $x$.

Cas 3 : Ok.

Q2:
a< 0 Non ! Idem qu'avant ! C'est soit $a<0$ et tu garde le numérateur tel quel, ou alors tu poses $a'=-a$
Et si je suis d'accord pour dire que la racine va être positive, rien ne dit que le ln le sera !  Pareil pour $x-a$ : ok pour dire qu'il sera positf, mais si $x-a > 1$ alors $1/(x-a) < 1$ et donc $ln(1/(x-a)) < 0$.

a = 1. Ok. Même si tu as de la chance, l'erreur que tu as en fais en Q1 ne se voit pas en a=1.

Corrige déjà donc ça avant d'aller plus loin.

Dernière modification par PTRK (10-01-2017 13:58:28)

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#3 10-01-2017 09:33:53

freddy
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Re : Cf paramêtre

Salut Sonia,

et si tu commençais par nous souhaiter une bonne journée, ce serait pas mal, non ?

Dans ce monde de mal-élevés, tu passerais pour une princesse ; là, tu ressembles plutôt à une va-nus-pieds.


Memento Mori ! ...

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#4 10-01-2017 12:20:34

soso1
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Re : Cf paramêtre

Bonjour,

Je vous prie de bien vouloir m' excuser pour ce manque de politesse.

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#5 10-01-2017 13:07:48

soso1
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Re : Cf paramêtre

Bonjour, Mr PTRK

Ne fallait il pas comprendre une restriction du domaine du faite que tous \(\displaystyle x>0\) ?Pour le cas 1 , j 'ai voulue citer toutes les conditions d 'existence de \(\displaystyle f\) puis choisir celle qui convient le mieux.

Je ne comprends pas vôtre choix du 0 en exemple? Ce dernier ne doit pas être exclus? j' ai refais la question 1 et 2 et n 'arrive pas à comprendre mes erreurs.J'ai tracée cette courbe ,les intervalles choisis correspondent?
je m'en tête a penser que tous les DF sont juste même si vous avez raison.

Merci

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#6 10-01-2017 14:24:02

PTRK
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Re : Cf paramêtre

Voila comment je ferais:


Puisque l'on veut en plus $x>0$, on obtient dans tout les cas $I = ]\sqrt{a},+\infty[$ qui est la bonne réponse, que tu as donné, en effet. Je n'ai pas bien lu ton énoncé, c'est une erreur de ma part, désolé !

Néanmoins, j'attire ton attention sur ce que tu as toi-même écris que pour $a>0$, $\sqrt{x^2-a} > 0$ donne (je cite)

soso1 a écrit :

$ \sqrt{x^2-a} >0, \;x > -\sqrt{a},\; x > \sqrt{a}$

En effet, je lis ce passage comme : "Je veux que $\sqrt{x^2-a}$ soit strictement positive, donc soit $x$ est plus grand que $-\sqrt{a}$, soit $x$ est plus grand que $\sqrt{a}$". Ce qui est faux.

Dernière modification par PTRK (10-01-2017 14:45:57)

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#7 10-01-2017 14:42:30

soso1
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Re : Cf paramêtre

Merci PTRK

Sa me rassure ,j 'ai simplement cité toutes les conditions d'existence de \(\displaystyle f\) .J 'ai tracée aux brouillons tous les intervalles et pris  leurs l'intersection ,puisque l'hypothèse de départ nous impose \(\displaystyle R+\) \(\displaystyle -[0]\) mon choix s'est portée sur \(\displaystyle x>\sqrt { a }\)

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#8 10-01-2017 14:46:33

PTRK
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Re : Cf paramêtre

Et tu as eu raison !

Pour le cas 2, c'est la notation qui me dérange:
Tu as écris

soso1 a écrit :

Soit $a < 0$
$\sqrt{x^2+a}$ est toujours positif.

C'est faux, exemple $x_0=0.9\sqrt{-a}, \sqrt{x_0^2+a} = \sqrt{(-0.9^2+1)a} =  \sqrt{-0.9^2+1}\sqrt{a} $ qui n'est pas défini car $a<0$

Vois-tu pourquoi tu as fais une erreur ?

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#9 10-01-2017 15:09:18

soso1
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Re : Cf paramêtre

Oui,
je me suis mal exprimée il aurait fallu mettre \(\displaystyle a'\) , néanmoins \(\displaystyle Df\) est juste.
Dans mon esprit \(\displaystyle a<0\) , donc négatif, autant considérer \(\displaystyle -a\) . la fonction \(\displaystyle f\) dépend de lui autant le remplacer, quitte a construire une autre fonction.
Cette fonction,aura forcement le meme signe et même intervalle.Je suis tous a fais d'accords avec toi PTRK faut que je sois plus rigoureuse

Merci,

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#10 10-01-2017 18:03:03

soso1
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Re : Cf paramêtre

Bonsoir,

Si je m'abuse mes réponses sont justes pour tous les \(\displaystyle Df\) avec plus de rigueur dans mon raisonnement sa aurait été parfait. Le signe de \(\displaystyle f\) et la monotonie vu sur la calculette sa l'air juste aussi,?

Merci,Bonne soirée

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#11 10-01-2017 18:36:37

freddy
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Re : Cf paramêtre

Salut,

oui, je suis bien d'accord avec toi. Et pour les $D_f$, notre ami n'avait pas vu la condition $x \gt 0$


Memento Mori ! ...

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