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#1 10-01-2017 09:11:18

soso1
Membre
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Cf paramêtre

enoncé

-Etude de fonction (1987) T.C  4pts    (merci d avance)

[tex]f\left( x \right) =ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-a }  }{ { x }+a }  \right) \\
[/tex][tex]    a\in { { R } }[/tex]




Pour tous [tex] x>0[/tex],pour tous [tex]    a\in { { R } }[/tex]

-déterminer[tex]Df[/tex].
-Etudier suivant le paramètre [tex]a[/tex]le signe de [tex] f[/tex],pour tous [tex] a<0,[/tex], [tex]a=1[/tex]
-Montrer que[tex] f [/tex]est monotone ([tex] a<0,[/tex], [tex]a=1[/tex]) 
-Résoudre dans [tex]R[/tex] pour [tex]a=1[/tex][tex]f\left( x \right) =-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }[/tex]




Q1

cas1 [tex] a>0[/tex]


[tex]\frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-a }  }{ { x }+a }[/tex] [tex]>0[/tex]    [tex] \begin{cases} { x>-\sqrt { a } ,\quad x>\sqrt { a } >0 } \\ x>-a \end{cases}[/tex]

quelque soit[tex] x>0[/tex], [tex]f[/tex] est alors defini si  [tex]x>\sqrt { a }[/tex],[tex]Df[/tex]=  [tex]]\sqrt { a } ,\infty[[/tex]


cas 2  [tex]a <0[/tex]


[tex]\frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+a }  }{ { x }-a }[/tex] [tex]>0[/tex]       le terme au numérateur est positif.

on a alors [tex]x>a[/tex]   [tex]Df[/tex]=  [tex]] { a } ,\infty[[/tex]


cas 3  [tex]   a=0[/tex]


[tex]\frac { \sqrt { { x }^{ 2 }}  }{ { x }}>0[/tex]

[tex]Df[/tex]=  [tex]] { 0 } ,\infty[[/tex]


Q2


pour  [tex] a<0,[/tex]


[tex]ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-\left( -a \right)  }  }{ { x }-a }  \right)[/tex]=[tex]ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+a }  }{ { x }-a }  \right)[/tex][tex]=ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }+a }  \right) +ln{ \left( x-a \right)  }^{ -1 }[/tex][tex]>0[/tex]

En effet, puisque[tex] x\in[/tex] [tex]] { a } ,\infty[[/tex] ,on a alors [tex]x-a>0[/tex] .De plus ce terme [tex] ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }+a }  \right)[/tex] est tjrs positifs

On peut  directement conclure que [tex]\forall a\in{R^*}^- [/tex],[tex]\forall x[/tex][tex]\in { {Df } }[/tex]     [tex]f\left( x \right)[/tex][tex]>0[/tex]


pour[tex] a=1[/tex]


[tex]f\left( x \right) =ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-1 }  }{ { x }+1 }  \right) =ln\left( \frac { \sqrt { { x }-1 } .\sqrt { x+1 }  }{ x+1 }  \right) =ln\sqrt { \frac { x-1 }{ x+1 }  } =ln\sqrt { 1-\frac { 2 }{ x+1 } \\  }[/tex][tex]<ln1[/tex]

En effet, puisque[tex]a>0[/tex]on sait d'après le cas 1 que [tex] x\in[/tex] [tex]] {1 } ,\infty[[/tex].On peut aisément conclure [tex]f\left( x \right)[/tex][tex]<0[/tex] puisque[tex] ln1=0[/tex]
[tex]\forall x[/tex][tex]\in { {Df } }[/tex]   [tex]f\left( x \right)[/tex][tex]<0[/tex]


Q3

Etude de la monotonie


[tex] f\left( x \right) =ln\left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-a }  }{ { x }+a }  \right) =ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }-a }  \right) -ln\left( x+a \right)[/tex]

d 'ou

[tex]{ f }^{ / }={\left[ ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }-a}\right) -ln\left( x+a \right)  \right] }^{ / }[/tex]


[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]{ f }^{ / }=\frac { \frac {2x}{2\sqrt {{ x }^{ 2 }-a }}}{\sqrt { { x }^{ 2 }-a }  } -\frac { 1 }{ x+a } =\frac { x }{ { x }^{ 2 }-a } -\frac { 1 }{ x+a } =\frac { x\left( x+a \right) -{ \left( { x }^{ 2 }-a \right)} }{\left({ x }^{ 2 }-a \right)\left( x+a \right)}=\frac { a(x+1) }{ \left(x+a \right)\left( { x }^{ 2 }-a \right)}[/tex]


cas  [tex] a<0,[/tex]


Soit, [tex]\frac { -a(x+1) }{ \left(x-a \right)\left( { x }^{ 2 }+a \right)}[/tex]= [tex]-a[/tex][tex]\frac { (x+1) }{ \left(x-a \right)\left( { x }^{ 2 }+a \right)}[/tex][tex]<0[/tex]


On a déduit dans Q2 que [tex]x-a>0[/tex]et[tex]{ x }^{ 2 }+a>0[/tex], puisque [tex]-a[/tex]est un réel négatif on peut alors affirmer [tex]{ f }^{ / }<0[/tex].


Conclusion:[tex]\forall a\in{R^*}^- [/tex],[tex]\forall x[/tex][tex]\in { {Df } }[/tex]     [tex]{ f }^{ / }[/tex][tex]<0[/tex] La courbe de [tex]f[/tex]est strictement décroissante,donc monotone .Notons également que celle ci est positive.


Cas[tex] a=1[/tex]

on a :[tex]{ f }^{ / }=\frac { (x+1) }{ \left( x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  } ={ \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  }^{ -1 }={ \left( x-1 \right)  }^{ -1 }.{ \left( x+1 \right)  }^{ -1 }>0[/tex]

En effet , d'après Q1 cas 1 :[tex] x>1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex] x-1>0[/tex]   [tex]x+1[/tex]est tjrs positif car [tex]x>0[/tex]


Conclusion:[tex]\forall x[/tex][tex]\in { {Df } },[/tex]  [tex]{ f }^{ / }[/tex][tex]>0[/tex].Pour [tex]a =1[/tex] la courbe[tex] f[/tex] est strictement croissante,donc monotone.De plus celle ci est négative.



Q4
[tex]f\left( x \right) =-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \Rightarrow[/tex][tex]-2ln\frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-a }  }{ x+a }[/tex][tex]=-ln\frac { { \sqrt { { x }^{ 2 }-a }  }^{ 2 } }{ { \left( x+a \right)  }^{ 2 } }[/tex]=[tex]ln\frac { { \left( x+a \right)  }^{ 2 } }{ { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a } }  }^{ 2 } }[/tex]=[tex]ln\frac { \left( x+a \right) ^{ ^{ 2 } } }{ { x }^{ 2 }-a }[/tex]=[tex]ln\frac { x+a }{ x-a }[/tex]=[tex]ln\left( 1+\frac { 2a }{ x-a }  \right)[/tex]=[tex]\sqrt { 3 }[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]{ e }^{ ln\left( 1+\frac { 2a }{ x-a }  \right)  }[/tex]=[tex]{ e }^{ \sqrt { 3 }  }\quad \Rightarrow \quad 1+\frac { 2a }{ x-a }[/tex]= [tex]{ e }^{ \sqrt { 3 }  }\quad \Rightarrow { \left[ \frac { 1 }{ 2a } ({ e }^{ \sqrt { 3 }  }-1) \right]  }^{ -1 }[/tex]=[tex]x-a[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

D'ou
puisque[tex]a=1[/tex],[tex]\quad \quad x=\quad \frac { 2 }{ { e }^{ \sqrt { 3 }  }-1 } +1[/tex]=[tex]\frac { { e }^{ \sqrt { 3 }  }+1 }{ { e }^{ \sqrt { 3 }  }-1 }[/tex]

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#2 10-01-2017 09:32:02

PTRK
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Re : Cf paramêtre

Bonjour !

Q1 : Cas 1 :
Pas tout à fait. Tu as écris quelque chose de faux : $x>-\sqrt{a}$.  Prenons $x = 0 > -\sqrt{a}$, alors $\sqrt{x^2-a} = \sqrt{-a}$ qui n'est pas défini.
L'ensemble de définition de $\sqrt{x^2-a} \text{  est  }]-\infty,-\sqrt{a}]\cup[\sqrt{a},+\infty[$.

Je te conseille par ailleurs de diviser le cas 1 en 2 sous cas : $a>1$ et $a \le 1$.

Cas 2 : erreur d'écriture : Si $a<0$ alors soit  $\sqrt{x^2-a} >0 \forall x$ soit $\sqrt{x^2+a'} > 0$ avec $a' = -a$ mais $\sqrt{x^2+a}$ n'est surement pas positif pour tout $x$.

Cas 3 : Ok.

Q2:
a< 0 Non ! Idem qu'avant ! C'est soit $a<0$ et tu garde le numérateur tel quel, ou alors tu poses $a'=-a$
Et si je suis d'accord pour dire que la racine va être positive, rien ne dit que le ln le sera !  Pareil pour $x-a$ : ok pour dire qu'il sera positf, mais si $x-a > 1$ alors $1/(x-a) < 1$ et donc $ln(1/(x-a)) < 0$.

a = 1. Ok. Même si tu as de la chance, l'erreur que tu as en fais en Q1 ne se voit pas en a=1.

Corrige déjà donc ça avant d'aller plus loin.

Dernière modification par PTRK (10-01-2017 13:58:28)

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#3 10-01-2017 09:33:53

freddy
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Re : Cf paramêtre

Salut Sonia,

et si tu commençais par nous souhaiter une bonne journée, ce serait pas mal, non ?

Dans ce monde de mal-élevés, tu passerais pour une princesse ; là, tu ressembles plutôt à une va-nus-pieds.


Memento Mori ! ...

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#4 10-01-2017 12:20:34

soso1
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Re : Cf paramêtre

Bonjour,

Je vous prie de bien vouloir m' excuser pour ce manque de politesse.

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#5 10-01-2017 13:07:48

soso1
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Re : Cf paramêtre

Bonjour, Mr PTRK

Ne fallait il pas comprendre une restriction du domaine du faite que tous[tex] x>0[/tex]?Pour le cas 1 , j 'ai voulue citer toutes les conditions d 'existence de [tex]f[/tex] puis choisir celle qui convient le mieux.

Je ne comprends pas vôtre choix du 0 en exemple? Ce dernier ne doit pas être exclus? j' ai refais la question 1 et 2 et n 'arrive pas à comprendre mes erreurs.J'ai tracée cette courbe ,les intervalles choisis correspondent?
je m'en tête a penser que tous les DF sont juste même si vous avez raison.

Merci

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#6 10-01-2017 14:24:02

PTRK
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Re : Cf paramêtre

Voila comment je ferais:

Texte caché

Soit a>0:
$D(\sqrt{x^2-a}) = ]-\infty,-\sqrt{a}]\cup[\sqrt{a},+\infty[$ et $\sqrt{x^2-a}$ est strictement positive sur $ ]-\infty,-\sqrt{a}[\cup]\sqrt{a},+\infty[$.
$\dfrac{1}{x-a}$ est strictement positive sur $]-a,+\infty[$

Cas 1.1 : Soit $1>a>0$
alors $a<\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a} < -a$
Donc l'ensemble $I$ sur lequel on a $\dfrac{\sqrt{x^2-a}}{x-a} > 0 $ est
\begin{align}
I &= ]-\infty,-\sqrt{a}[\cup]\sqrt{a},+\infty[\cup]-a,+\infty[ \\
I &= ]\sqrt{a},+\infty[
\end{align}

Cas 1.2 : Soit $a \ge 1$
alors $a \ge \sqrt{a}$ et $-\sqrt{a} \ge -a$
Donc l'ensemble $I$ sur lequel on a $\dfrac{\sqrt{x^2-a}}{x-a} > 0 $ est
\begin{align}
I &= ]-\infty,-\sqrt{a}[\cup]\sqrt{a},+\infty[\cup]-a,+\infty[ \\
I &= ]-a,-\sqrt{a}[\cup]\sqrt{a},+\infty[
\end{align}

Puisque l'on veut en plus $x>0$, on obtient dans tout les cas $I = ]\sqrt{a},+\infty[$ qui est la bonne réponse, que tu as donné, en effet. Je n'ai pas bien lu ton énoncé, c'est une erreur de ma part, désolé !

Néanmoins, j'attire ton attention sur ce que tu as toi-même écris que pour $a>0$, $\sqrt{x^2-a} > 0$ donne (je cite)

soso1 a écrit :

$ \sqrt{x^2-a} >0, \;x > -\sqrt{a},\; x > \sqrt{a}$

En effet, je lis ce passage comme : "Je veux que $\sqrt{x^2-a}$ soit strictement positive, donc soit $x$ est plus grand que $-\sqrt{a}$, soit $x$ est plus grand que $\sqrt{a}$". Ce qui est faux.

Dernière modification par PTRK (10-01-2017 14:45:57)

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#7 10-01-2017 14:42:30

soso1
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Re : Cf paramêtre

Merci PTRK

Sa me rassure ,j 'ai simplement cité toutes les conditions d'existence de [tex]f[/tex] .J 'ai tracée aux brouillons tous les intervalles et pris  leurs l'intersection ,puisque l'hypothèse de départ nous impose [tex]R+[/tex] [tex]-[0][/tex] mon choix s'est portée sur [tex]x>\sqrt { a }[/tex]

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#8 10-01-2017 14:46:33

PTRK
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Re : Cf paramêtre

Et tu as eu raison !

Pour le cas 2, c'est la notation qui me dérange:
Tu as écris

soso1 a écrit :

Soit $a < 0$
$\sqrt{x^2+a}$ est toujours positif.

C'est faux, exemple $x_0=0.9\sqrt{-a}, \sqrt{x_0^2+a} = \sqrt{(-0.9^2+1)a} =  \sqrt{-0.9^2+1}\sqrt{a} $ qui n'est pas défini car $a<0$

Vois-tu pourquoi tu as fais une erreur ?

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#9 10-01-2017 15:09:18

soso1
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Re : Cf paramêtre

Oui,
je me suis mal exprimée il aurait fallu mettre [tex]a'[/tex], néanmoins [tex]Df[/tex] est juste.
Dans mon esprit [tex]a<0[/tex], donc négatif, autant considérer [tex]-a[/tex]. la fonction[tex] f[/tex] dépend de lui autant le remplacer, quitte a construire une autre fonction.
Cette fonction,aura forcement le meme signe et même intervalle.Je suis tous a fais d'accords avec toi PTRK faut que je sois plus rigoureuse

Merci,

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#10 10-01-2017 18:03:03

soso1
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Re : Cf paramêtre

Bonsoir,

Si je m'abuse mes réponses sont justes pour tous les [tex]Df[/tex]avec plus de rigueur dans mon raisonnement sa aurait été parfait. Le signe de [tex]f[/tex] et la monotonie vu sur la calculette sa l'air juste aussi,?

Merci,Bonne soirée

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#11 10-01-2017 18:36:37

freddy
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Re : Cf paramêtre

Salut,

oui, je suis bien d'accord avec toi. Et pour les $D_f$, notre ami n'avait pas vu la condition $x \gt 0$


Memento Mori ! ...

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