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#1 09-01-2017 19:23:29

tina
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Extension de la dualité

Bonjour,
dans la définition de l'extension de la dualité $\langle .,. \rangle_{D',D}$, je lis la définition suivate: soit $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$ et soit $\varphi \in \mathcal{E}(\Omega)$.
Soit $\chi \in \mathcal{D}(\Omega)$ t.q $\chi=1$ au voisinage de $Supp T$. On a
$$
\langle \tilde{T},\varphi\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}}= \langle T,\chi \varphi\rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}}
$$
avec
$T: \mathcal{D} \to \mathbb{C}$ et $\tilde{T}: \mathcal{E}' \to \mathbb{C}$, $\varphi \to \langle T,\varphi\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}}$
J'ai deux questions s'il vous plaît:
1. Je ne comprend pas l'introduction de $\tilde{T}$ puisque $T \in \mathcal{E}'$
2. Pourquoi $\chi \varphi \in \mathcal{D}$ or qu'on ne sais pas si son support est compact, on sait juste qu'elle vaut 1 au voisinage de $Supp T$.
Merci par avance pour votre aide.

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#2 09-01-2017 21:19:43

Yassine
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Re : Extension de la dualité

Comme je l'ai dit dans l'autre post, il faut que tu te relises.
Tu écris : $\tilde{T}: \mathcal{E}' \to \mathbb{C}$ alors que c'est $\tilde{T}: \mathcal{E} \to \mathbb{C}$ selon ta notation (il n'y a pas de "prime").
Cela dit, je ne connais pas cette notation de $\mathcal{E}(\Omega)$ (je vois ce qu'est $\mathcal{E}(\Omega)'$).
Je vais donc supposer que $\mathcal{E}(\Omega)=C^\infty(\Omega)$

1- Il faut que tu relises ce que j'ai écris dans l'autre post pour comprendre la différence entre $\tilde{T}$ et $T$. Dans d'autres ouvrages, on utilise néanmoins la même lettre, parce qu'il n'y a pas vraiment de risque de confusion.

2- Comme $\chi$ est à support compact, alors, pour toute fonction $f$, $f\chi$ est à support compact.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 09-01-2017 22:06:18

tina
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Re : Extension de la dualité

Oui, $\mathcal{E}(\Omega)= C^\infty(\Omega)$.

1. La différence entre $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ et $\tilde{T} \in \mathcal{E}'(\Omega)$, est que $T$ s'applique à des fonctions test, et $\tilde{T}$ s'applique à un ensemble plus large qui est $C^\infty$
1. Ce que je ne comprend pas, c'est la manière de définir le prologement.
Dans ce que je lis, on commence par poser $T\in \mathcal{E}'$ et $\varphi \in \mathcal{E}$, puis on dit soit $\chi \in \mathcal{D}$ t.q $\chi=1$ au voisinage de $Supp T$
et on dit que le prolongement est définit par
$$
\langle \tilde{T},\varphi\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}} = \langle T,\chi \varphi \rangle_{D',D}
$$
Déjà, je pense qu'il faudrait commencer par considerer $T$ dans $\mathcal{D}'$ et pas dans $\mathcal{E}'$. Non? Et puis préciser que $\chi$ est à support compact , d'ailleurs à quoi ca sert de dire qu'elle vaut 1 au voinage de Supp T? Je n'ai pas compris ce point dans l'autre fil.

2. Est ce que vous pouvez me proposer une définition propre du prolongement de la dualité $\langle .,.\rangle_{D',D}$? S'il vous plaît.
Merci pour votre aide.

Dernière modification par tina (09-01-2017 22:16:21)

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#4 10-01-2017 09:32:49

Yassine
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Re : Extension de la dualité

Il faut noter que $\mathcal{E}' \subset \mathcal{D}'$ (les distributions à support compact sont d'abord des distributions).
Ensuite, il est marqué que $\chi \in \mathcal(D)$, ce qui veut en particulier dire que c'est une fonction à support compact.

On va essayer de regarder un cas particulier. Prenons la fonction $\delta_0 \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
Techniquement, on ne peut écrire $\langle \delta_0, \varphi \rangle = \varphi(0)$ que pour des fonctions à support compact. Mais on voit bien sur la définition que $\delta_0$ est "insensible" à ce que vaut la fonction en dehors de $0$. Donc, si je prends une fonction quelconque $\in C^\infty(\mathbb{R})$, je suis capable d'appliquer la même recette : $\langle \delta_0, f \rangle = f(0)$. Mais la définition de $\delta_0$ m'en empêche : on ne peut l'appliquer qu'à des fonctions à support compact.
C'est la qu'intervient $\chi$. Elle me permet de fabriquer une fonction à support compact à partir d'une fonction $f$ quelconque sans modifier la valeur de la fonction à l'intérieur d'un compact donné.
Ici, ce qui m'intéresse, c'est de préserver la valeur de la fonction en $0$. Je considère une fonction plateau qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ par exemple (il suffit que ce soit un voisinage de $0$). La fonction $f\chi$ est alors à support compact (car $\chi$ est à support compact) et préserve la fonction sur $[-1,1]$ ($\chi$ est un filtre : il laisse tout passer à l'intérieur de $[-1,1]$ et efface tout, i.e met $0$, en dehors), j'ai donc le droit d'écrire $\langle \delta_0, f\chi \rangle = f\chi(0) = f(0)$.
De plus, le choix de $\chi$, du moment que c'est une fonction à support compact qui vaut $1$ sur un voisinage de $0$, n'intervient absolument pas. La définition $\langle \bar{\delta}_0, f \rangle = \langle \delta_0, f\chi \rangle$ est en réalité indépendante du choix particulier de $\chi$.

C'est comme le déterminant (ou la trace) d'un endomorphisme, il est indépendant du choix de la base. Mais pour la calculer, on est souvent obligé de se donner une base


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#5 10-01-2017 11:39:47

tina
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Re : Extension de la dualité

Merci beaucoup, j'ai compris à quoi sert $\chi$. Il me reste la question: comment définir proprement le prolongement de $\langle .,.\rangle_{D',D}$? S'il vous plaît.

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#6 10-01-2017 12:04:57

Yassine
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Re : Extension de la dualité

Mais il a été définit dans ton cours. Tu peux également recouper avec la définition dans le Poly que je t'avais indiqué.
je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire par "proprement" ?


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#7 10-01-2017 12:14:51

tina
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Re : Extension de la dualité

Je veux dire que dans mon cours, la définition est: soit $T \in \mathcal{E}'$ et soit $\varphi \in \mathcal{E}$.. On a
$$
\langle \tilde{T},\varphi\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}}= \langle T,\chi \varphi \rangle_{D',D}.
$$
Ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi parler de $\tilde{T} \in \mathcal{E}'$ or que $T$ est déjà dans $\mathcal{E}'$? S'il vous plaît

Dernière modification par tina (10-01-2017 12:17:53)

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#8 10-01-2017 12:30:39

Yassine
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Re : Extension de la dualité

Je ne vois pas dans ce que tu écris qu'il est dit que $\tilde{T} \in \mathcal{E}'$ !
On définit un nouvel objet $\tilde{T}$, qui donc peut s'appliquer à une classe plus large de fonctions, en mettant à profit un objet déjà connu, à savoir $T$. Pour que la définition ait un sens, il faut que $T \in \mathcal{E}'$, sinon, l'objet $\tilde{T}$ serait dépendant du choix particulier de $\chi$.

C'est de la pure notation : quand tu vois $\langle \tilde{T},\varphi\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}}$, il faut que tu le traduise dans ta tête comme $\langle T,\chi \varphi \rangle_{D',D}$ (pour un $\chi$ plateau telle que $\chi(Voisinage(Supp(T)))=\{1\}$).


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