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raphael

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Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Bonsoir,
j'aurai besoin de votre aide sur un exercice concernant la diagonalisation d'une matrice M( avec µ = racine carrée car je ne trouve pas comment le faire ), donc M = (µ2/2; µ2/2; µ2/2; -µ2/2).
Je dois trouver les valeurs propres de M, donc je cherche le polynôme caractéristique en me servant de delta, je trouve mes 2 racines, qui sont -µ2/2 et µ2/2. Je cherche les vecteurs propres, là je commence à retrouver ces valeurs, j'ai l'impression de tourner en rond, il y a t'il une autre solution? Est ce que je m'y prends mal?
Merci d'avance pour vos réponses, j'espère qu'une solution me sera proposée.

freddy

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Salut,

dans quel sens écris-tu ta matrice ?

Doit on comprendre [tex]\begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \\ \frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2}\end{pmatrix}[/tex] ?

Quel est ton polynôme caractéristique ?

Dernière modification par freddy (08-01-2017 10:43:29)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

freddy

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Re,

manifestement, ce n'est pas si important que ça.
Pour info, il y a bien deux valeurs propres distinctes assez simples à trouver.

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raphael

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Désolé, de ne pas avoir répondu avant,
oui la matrice s'écrit bien dans ce sens, le polynôme caractéristique que  j'ai trouvé est : -1/2 -(µ2/2)λ+ µ2/2λ+λ² = λ²-1/2  donc je trouve delta = 2, avec comme 1er racine : -µ2/2 et comme deuxième racine  : µ2/2 qui sont donc mes valeurs propres.
Pour les vecteurs propres je pose donc mes 2 équations : µ2/2x +µ2/2y = -µ2/2x
                                                                                            µ2/2x - µ2/2y = -µ2/2y
Et là je sèche un peu pour mes vecteurs propres... Suis je sur la bonne voie ou j'ai commis une erreur?

freddy

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Re,

oui, ton polynôme caractéristique est erroné.
Try again, les deux valeurs propres sont égales à $\pm 1$
Essaie d'écrire tes formules de maths avec latex, on a du mal à te lire.

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raphael

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Oui j'essayerais de l'utiliser même si je ne maitrise pas du tout Latex.
D'accord je te remercie, donc après avoir vérifié mes calculs je trouve bien une erreur sur le polynôme, qui est égale à:    λ² -1
Là je trouve mes valeurs propres -1 et 1.
Donc mes 2 équations pour ma 1er valeur :  je trouve la relation 2x = -y donc si x=1; y=-2
Pour ma 2e valeur je trouve la relation x=2y donc si x=2; y= 1
Résultat erroné ou est-ce correct?
Merci pour l'aide que tu m'as apporté

freddy

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Re,

je pense que c'est inexact. Tu dois résoudre $MX=\lambda X$
soit pour $\lambda=1$
\begin{cases} \frac{\sqrt2}{2}(x+y)=x  \\ \frac{\sqrt2}{2}(x-y)=y  \end{cases}

Tu ne peux donc pas trouver ce que tu indiques.
Try again !

Dernière modification par freddy (08-01-2017 18:10:29)

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raphael

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Oui j'ai bien cette équation de base pour λ=1
    2√2(x+y)=x
    2√2(x−y)=y,

soit pour λ=-1
    2√2(x+y)=-x
    2√2(x−y)=-y

Le problème c'est pour la résoudre, il y a t'il une astuce? Car en réessayant je tombe sur des résultats qui me paraissent totalement érronés

Yassine

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Bonsoir,
Tu sais que si $v$ est un vecteur propre de $A$ pour une valeur propre $\lambda$, alors tout vecteur de la forme $\alpha v$, $\alpha \in \mathbb{R}$, est également un vecteur propre pour $\lambda$.
L'équation $Av=\lambda v$ ne va donc pas te donner une seule solution (j'imagine que c'est pour ça que tu tournes en rond). Il faut que tu impose une condition supplémentaire, genre $\|v\|=1$.

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

freddy

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Re,

du premier système, tu trouves $y$ en fonction de $x$ et tu fixes $x=1$ par exemple
Idem pour le second.
De fait, tu auras trouvé les vecteurs propres associés aux deux valeurs propres, qui forment ensemble une base de $\mathbb{R^2}$.
Faudrait que tu revoies l'approche théorique de cette question.

Indique moi tes vecteurs propres si tu veux bien.

Dernière modification par freddy (08-01-2017 20:21:33)

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raphael

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Re, merci de vos réponses,

En faite pour des matrices plus simples j'y arrive très bien, là ce sont les  "√2/2" qui me pausent problème lorsque j'essaye d'exprimer y en fonction de x, par exemple pour λ=1
    √2/2(x+y)=x
    √2/2(x−y)=y,
Mon calcul:
    √2/2x+√2/2y = x => √2/2y = x-√2/2x => y= x-x => y= 0, donc là je me dis qu'il y a un problème, c'est sur la manière d'exprimer y en fonction de x que je coince.. 
Je me remet au travail après manger, et partagerais mes résultats

freddy

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Re,

il y a en effet un problème. Comment peux-tu déduire que $y=0$ ? 2 n'est pas égal $\sqrt{2}$, ta simplification est abusive !
Tu as : [tex]x+y=\sqrt{2}x \Leftrightarrow y=x(\sqrt{2}-1)[/tex] et donc $x=1,\; y=\cdots $
Revoies les radicaux, tu as des difficultés avec, semble t-il.

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raphael

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Re, donc voilà mes résultats

Pour λ = -1
   y= x (-√2 - 1 ) donc x=1, y= -√2 - 1

Pour λ = 1
   y= x (√2 - 1 ) donc x=1, y= √2 - 1

Donc P =   [tex]⎛⎝1;-√2-1;1;√2-1⎞⎠[/tex]

et D=  [tex]⎛⎝-1;0;0;1⎞⎠[/tex]

Est-ce erroné? Merci d'avance.

freddy

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Re : Diagonalisation d'une matrice avec des racines carrées

Oui, ça a l'air OK.

@+

PS : pour te mettre à Latex (très utile), prends connaissance du lien ci-dessous développé par yoshi, puis tu utilises la page d'aide de Wikipédia.
De manière classique, tu copies-colles le code, tu fais le ménage et tu regardes ce que ça donne avec le bouton "prévisualisation". Avec un peu d'expérience, tu verras que ça vient assez naturellement tout seul, tu codes en même temps que tu écris.
Tu verras que c'est nettement mieux pour communiquer avec nous et les autres, et même pour toi.

Dernière modification par freddy (09-01-2017 14:17:01)

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