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tina

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Théorème en distribution

Bonjour,
j'ai le théorème suivant: Si $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ et $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$, et si $\varphi=0$ au voisinage de $Supp T$, alors $\langle T,\varphi \rangle =0$.

Je m'interesse à la preuve de ce théorème et j'ai deux questions.
1. Dans la preuve que j'ai, on considère que le voisinage $V$ de $Supp T$ est ouvert, et on écrit que
$$
Supp \varphi \subset C V \subset C Supp T \subset w
$$
où $w$ est l'ouvert d'anulation de $T$. Je ne comprend pas comment on obtient toutes ces inclusions, et pourquoi il est important de considérer que $V$ est un ouvert.

2. Je lis aussi que $\varphi=0$ sur $Supp T$, alors celà n'implique pas que $\langle T,\varphi \rangle =0$.
Pourquoi? Et comment construire un contre exemple? S'il vous plaît.
Merci pour votre aide.

Dernière modification par tina (08-01-2017 17:51:57)

Yassine

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Re : Théorème en distribution

Bonsoir,
Quelques éléments de réponse :

1- Comme $\varphi$ est nulle sur $V$, alors $\forall x \in V,\ \varphi$ est nulle sur une voisinage de $x$, donc $x \notin Supp(\varphi)$, et donc $x \in \left(Supp(\varphi)\right)^c$. On a donc $V \subset \left(Supp(\varphi)\right)^c$, soit en passant au complément
$Supp(\varphi) \subset V^c$.
Pat hypothèse $Supp(T) \subset V$, donc, par passage au complément $V^c \subset \left(Supp(T)\right)^c$. Je n'ai pas compris ce que c'était $\omega$.
Pour la question de pourquoi $V$ ouvert, voir le contre-exemple ci-dessous

2- Contre-exemple. Prendre $T=\delta'_0$. Donc $Supp(T)=\{0\}$.
Ensuite, prendre $\varphi(x)=x\chi(x)$ ou $\chi$ fonction plateau qui vaut $1$ sur $[-1,1]$.
On a alors $\varphi$ nulle sur le support de $T$ car $\varphi(0)=0$.
On a par contre $\langle T, \varphi\rangle = \left(x\chi(x)\right)'(0) = 1$.

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

tina

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Re : Théorème en distribution

Bonjour,
s'il vous plaît, comment vous avez eu l'idée de quel contre exemple choisir pour montrer que si $\varphi=0$ sur $Supp T$ alors ça n'implique pas que $\langle T,\varphi \rangle=0$? Qu'est ce qu'il faut cibler au juste?
Merci par avance.

Yassine

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Re : Théorème en distribution

Pour une fonction, la propriété d'être nulle sur un voisinage d'un point est beaucoup plus forte que d'être nulle en ce point. Elle implique notamment que toutes les dérivées de la fonction sont nulles en ce point.
Donc, pour le contre-exemple, il était naturel d'exploiter cette différence en prenant une fonction nulle en un point mais dont la dérivée est non nulle, et de trouver une distribution dont le support est ce point et qui n'est "sensible" qu'à la dérivée.

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tina

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Re : Théorème en distribution

J'ai une question bête, mais comment on montre que $Supp T=\{0\}$? S'il vous plaît. On a vu en cours que c'est le complémentaire de $w$ l'ouvert d'anulation de $T$ mais sans voir d'exemple de calcul.
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : Théorème en distribution

Il y a deux définitions équivalentes pour le support d'une distribution :
1- C'est le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle : $\displaystyle supp(T) = \bigcap_{F \in \mathcal{F}(T)} F$ où $\mathcal{F}=\{F \textrm{ fermé de }\Omega \ | \ T|_{\Omega \setminus F} = 0\}$

2- C'est le complémentaire du plus grand ouvert ou la distribution est nulle :$\displaystyle supp(T) =\Omega \setminus \bigcup_{\omega \in \mathcal{O}(T)} \omega$ où $\mathcal{O}=\{\omega \textrm{ ouvert de }\Omega \ | \ T|_{\omega} = 0\}$

Avec la première définition, on voit que $\delta_0$ est nulle en dehors de $\{0\}$. C'est donc le plus petit des fermés.

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tina

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Re : Théorème en distribution

Je souhaite comprendre un point. Est-ce que $T=\delta'$ ou bien $T=-\delta$?
Si $T=\delta'$, alors voici ma preuve pour montrer que $Supp T=\{0\}$.
Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, on a $\langle T,\varphi\rangle= \langle \delta',\varphi\rangle= \varphi(0)$
Puisque la fonction qui définit $T$ est au point $\{0\}$, on a envie de dire que $Supp T=\{0\}$. Donc, on montre que l'ouvert d'anulation est $w= \mathbb{R}^\star$.
1. $w$ est ouvert car il est le complémentaire du singleton $\{0\}$0
2. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(w)$, alors $Supp \varphi \subset w$ ce qui implique que $0 \notin Supp \varphi$, et donc $\varphi(0)=0$.

Aussi, pour le choix de $\varphi$. Ici, $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$, donc on peut l'appliquer à n'importe quel $\varphi \in C^\infty$, pourquoi l'appliquer à une fonction à support compact?

et je pense que $\langle T,\varphi\rangle= - \langle \delta,\varphi'\rangle = -1.$ Non?
C'est bon? S'il vous plaît.

Dernière modification par tina (12-01-2017 22:29:52)

Yassine

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Re : Théorème en distribution

Je souhaite comprendre un point. Est-ce que $T=\delta'$ ou bien $T=-\delta$?

Encore une coquille !
J'imagine que ta question est : Est-ce que $T=\delta'$ ou bien $T=-\delta'$ (tu as oublié le 'prime')
Ce n'est pas très important, les deux sont des contre-exemples.

$\langle T,\varphi\rangle= \langle \delta',\varphi\rangle= \varphi(0)$

Coquille : $\langle \delta',\varphi\rangle= -\varphi'(0)$

Puisque la fonction qui définit $T$ est au point $\{0\}$

Incompréhensible !
C'est quoi ce concept de 'la fonction qui définit une distribution'
Et en admettant que ça existe, que veut dire "la fonction $f$ est au point $\{0\}$"

Aussi, pour le choix de $\varphi$. Ici, $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$, donc on peut l'appliquer à n'importe quel $\varphi \in C^\infty$, pourquoi l'appliquer à une fonction à support compact?

Ici, ce qu'on veut montrer, c'est que pour une fonction à support compact, il ne suffit pas qu'elle s'annule sur le support de $T$ pour avoir $<T,\varphi>=0$ mais il faut qu'elle s'annule sur un voisinage du support de $T$. Et en plus, on veut juste exhiber un contre-exemple. Donc, une fonction à support compact est en particulier une fonction $C^\infty$.

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