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#1 10-12-2016 20:36:59

anthony
Invité

Inéquation dans IN

Bonsoir,
Déterminer la valeur de l'entier naturel [tex]n>1467[/tex] tel que :
[tex]\{{e^{\pi\sqrt{163}}}^3\}-\{e^{\pi\sqrt{n}}\}<10^{-8}[/tex]  ou  [tex]\{x\}[/tex] désigne la partie décimale du réel [tex]x[/tex]

#2 12-12-2016 08:57:36

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour à tous,
Il manquait une paire de parenthèses dans mon premier message donc je corrige et relance le défi :
Déterminer la valeur de l'entier naturel [tex]n>1467[/tex] tel que :
[tex]\{(e^{\pi\sqrt{163}})^3\}-\{e^{\pi\sqrt{n}}\}<10^{-8}[/tex]  ou  [tex]\{x\}[/tex] désigne la partie décimale du réel [tex]x[/tex]

#3 12-12-2016 10:53:33

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Inéquation dans IN

anthony a écrit :

Bonjour à tous,
Il manquait une paire de parenthèses dans mon premier message donc je corrige et relance le défi :
Déterminer la valeur de l'entier naturel [tex]n>1467[/tex] tel que :
[tex]\{(e^{\pi\sqrt{163}})^3\}-\{e^{\pi\sqrt{n}}\}<10^{-8}[/tex]  ou  [tex]\{x\}[/tex] désigne la partie décimale du réel [tex]x[/tex]

Salut,

précision bienvenue, quoiqu'un peu tardive, non ?
Bon, le site est très peu orienté "défi", donc il n'est pas certain que tu aies une réponse très rapidement.
On s'en fout un peu d'être les plus beaux si je puis dire, ce qui compte, c'est l'aide qu'on peut apporter aux autres, pas plus.

Sinon, j'avais commencé à un peu y réfléchir, mais j'avoue que ta précision me donne vraiment à réfléchir : faut-il absolument perdre du temps à y réfléchir ou attendre d'autres précisions ? :-)

Bonne journée !


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#4 12-12-2016 11:02:28

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour,
Il y a présent aucune précision supplémentaire à apporter concernant l'écriture de l'inéquation.
Le problème est "on ne peut plus sérieux" et je ne vous cache pas que les réponses ne se bousculent pas au portillon (y compris sur d'autres forum).
Il semblerait que le problème soit vraiment difficile (ce qui confirme ce que je pressentais et me rassure d'une certaine manière).

#5 17-12-2016 19:27:47

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonsoir,
Alors ou vous ont amenés vos réflexions concernant ce drôle de problème ?

#6 05-01-2017 16:09:22

davidh
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour,

je ne suis pas sûr de bien comprendre :

avec xcas, en ligne, on a
f(n):=floor(exp(pi*sqrt(163))^3)-floor(exp(pi*sqrt(n)));
evalf(f(1467)) = 63973084981136431131114426197172423753728
evalf(f(1468)) = -757423639914883472351679804486529830018543505113088

la fonction f est de toute évidence monotone décroissante
Je ne voie pas de solution à ton problème.

#7 05-01-2017 16:11:48

davidh
Invité

Re : Inéquation dans IN

Désolé, je viens de comprendre, c'est la partie décimale que tu cherches...et non la partie entière, j'ai lu ton message trop rapidement

#8 05-01-2017 20:23:19

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonsoir davidh,
... et oui c'est précisément là qu'est la difficulté de l'affaire :)

#9 06-01-2017 08:52:30

PTRK
Membre
Inscription : 14-12-2016
Messages : 96

Re : Inéquation dans IN

Déjà $e^{3\pi\sqrt{163}} = \mathcal{O}(10^{52})$ donc on aura une représentation machine des chiffres uniquement pour ceux qui correspondent au puissance $10^{52}$ à $10^{36}$ ( pour une erreur machine à $10^{-16}$ par exemple). Donc sa partie décimale pour l'ordi est nulle. De même pour $e^{\pi\sqrt{1467}} = \mathcal{O}(10^{52})$. Numériquement on ne pourra pas résoudre ce problème.
[tex]%Et ca m'étonnerai qu'on puisse exprimer $e^{3\pi\sqrt{163}}$ et $e^{\pi\sqrt{n}}$ comme des rationnels. Donc pour moi, c'est hors de ma portée.[/tex]

Après j'ai lu que si on pose $x = \lfloor x \rfloor + \lbrace x \rbrace$ alors  \[
\lbrace x \rbrace = 1/2 - \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(2\pi n x)}{n\pi} < 1
\]
Si ca donne des idées à quelqu'un.

Dernière modification par PTRK (06-01-2017 08:53:01)

Hors ligne

#10 06-01-2017 15:04:05

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour PTRK,

Il semblerait que je sois passé à coter de cette définition de la partie fractionnaire donc merci pour l'info.
Je doute toutefois que cela puisse servir de près ou de loin à déterminer une (ou des) solution mais sait on jamais.
En remplaçant [tex]x[/tex] par [tex]e^{\pi\sqrt{m}}[/tex], on obtient d'ailleurs une expression horriblement compliquée que l'on peut réécrire sous la forme d'une somme infinie de produit "cosinus*sinus" mais c'est à peu près tout et c'est pas sympathique non plus :(

#11 06-01-2017 15:33:40

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 979

Re : Inéquation dans IN

Bonjour,
j'ai découvert un concept que je ne connaissais pas : Les nombres presque entiers.
C'est peut-être en rapport avec l'exercice ci-dessus.

Voir l'article de Wikipedia ici


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#12 06-01-2017 15:40:17

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour Yassine,

Oui oui c'est exactement de cela dont il s'agit et pour être précis de la construction des nombres presque entiers de la forme [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex]

#13 07-01-2017 15:05:22

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 979

Re : Inéquation dans IN

Voici un code Python que j'ai essayé.
Je n'ai pas eu la patience d'attendre longtemps.


from decimal import *

def decimal_part(d):
  return d - d.to_integral_value(ROUND_FLOOR)

getcontext().prec = 100
PrecisionSouhaitee = Decimal(1e-8)
BigPi = Decimal('3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679')
Sqrt163 = Decimal(163).sqrt()
RamanujanCste = (Sqrt163 * BigPI).exp()
Target = decimal_part(RamanujanCste**3)

Demarrage = 1468
NombreEssais = 100000
Trouvee=False
EcartLePlusFaible = Decimal(1000000)
NombreLePlusProche=-1
print("Target : {0}".format(str(Target)))
for n in range(Demarrage, Demarrage+NombreEssais+1):
  Candidat = decimal_part((Decimal(n).sqrt()*BigPi).exp())
  Diff = Candidat.max(Target)-Candidat.min(Target)
  #print("Candidat : {0}".format(str(Candidat)))
  #print("Diff : {0}".format(str(Diff)))
  if EcartLePlusFaible > Diff:
    EcartLePlusFaible = Diff
    NombreLePlusProche = n
  if Diff < PrecisionSouhaitee:
    print("Solution trouvée : {0}, Différence : {1}".format(n,str(Diff)))
    Trouvee = True
    break
if not Trouvee:
  print("Aucune solution trouvée après {0} essais, en démarrant de {1}".format(NombreEssais,Demarrage))
  print("Différence la plus faible trouvée {0} pour n = {1}".format(str(EcartLePlusFaible),NombreLePlusProche))

 


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#14 07-01-2017 15:57:28

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour Yassine,

Vous semblez vous être très impliqué dans cette inéquation en allant jusqu'à écrire un code en Python.
Je vous félicite pour cet effort mais au final ou en êtes vous arrivé dans cette affaire ?

#15 07-01-2017 16:13:54

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 979

Re : Inéquation dans IN

Non, je ne suis pas très impliqué, ça a excité ma curiosité et j'ai essayé de voir si on pouvait arriver à résoudre le problème numériquement.
Le module 'decimal' permet de faire des calcul en virgule flottante à des précisions arbitraires (plus que la précision autorisée par les formats 'standards' du type 'double' ou 'float'), limitées uniquement par des considérations de mémoire et de temps de calcul.

Il me semble que c'est possible (j'arrive déjà à une précision de $6.10^{-5}$). Mais je ne pense pas que je vais continuer. J'ai posté le code si jamais ça intéresse quelqu'un de continuer sur cette voie.


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#16 07-01-2017 16:19:18

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Dommage,
Vous y étiez presque (non je plaisante).
Plus sérieusement, un peu plus loin que n=1 840 000, on passe un premier cap !

#17 27-02-2017 19:20:59

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonsoir,

L'entier [tex]n=103763015[/tex] est solution de l'inéquation.
Il a fallu attendre longtemps pour mettre la main dessus mais la voici enfin ;)

#18 01-03-2017 05:22:36

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour,
C'est assez surprenant de constater qu'une autre solution se trouve quelques millions après la première solution ?!
L'entier [tex]n=106109331[/tex] est également solution.
Pour résumer, on obtient :
[tex]frac(e^{\pi\sqrt{1467}})\sim frac(e^{\pi\sqrt{103763015}})\sim frac(e^{\pi\sqrt{106109331}})[/tex]

#19 15-09-2017 19:12:06

Athony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour,

Je reviens sur le sujet car la recherche fut longue mais elle a aboutit à un premier résultat :
L'entier [tex]n=195246501[/tex] est le plus petit entier naturel tel que le nombre réel [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] admette une partie fractionnaire commençant par 8 zéros exactement.
Il vient [tex]frac(e^{\pi\sqrt{195246501}})=0.00000000856...[/tex]
Le prochain record consisterait à trouver un entier [tex]n[/tex] tel que le nombre réel [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] admette une partie fractionnaire commençant par [tex]9[/tex] zéros exactement à l'instar de [tex]n=652[/tex] (cet entier est issu de la constante de Ramanujan élevé au carré)

#20 02-10-2017 07:26:50

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour,
Au même titre que l'entier [tex]n=1844122=2*7*157*839[/tex]  (qui constitue le nombre presque entier [tex]frac(e^{\pi\sqrt{1844122}})=0.9999999...[/tex]), l'entier [tex]n=195246501=3*3023*21529[/tex] est constitué par la multiplication de deux nombres premier irréguliers :
(https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_pr … 3%A9gulier). Vous pouvez aisément retrouver la liste de ces nombres dans l'encyclopédie de Sloane : https://oeis.org/A000928
Sachant qu'environ 40% des nombres premiers rencontrés dans cette recherche sont des nombres premiers irréguliers, il n'est sans doute peu étonnant que les entiers  [tex]1844122[/tex] et [tex]195246501[/tex] possèdent cette même particularité d'être constitué par la multiplication d'au moins deux nombres premiers irréguliers. Néanmoins, ces drôles de nombres (premiers irréguliers) reviennent suffisamment souvent pour ne pas s'interroger sur leur présence.

#21 29-10-2017 07:04:53

anthony
Invité

Re : Inéquation dans IN

Bonjour,
S'il est vrai que l'entier [tex]n=195246501[/tex] est le plus petit entier naturel tel que le nombre réel [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] admette une partie fractionnaire commençant par [tex]8[/tex] zéros exactement.
Il vient [tex]frac(e^{\pi\sqrt{195246501}})=0.00000000856...[/tex] https://oeis.org/A127031
Il serait surprenant (au sens de peu probable) de trouver un nombre réel de la forme [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] tel que sa partie fractionnaire commence également par [tex]8[/tex] zéros exactement en observant les quelques millions de valeurs de [tex]n[/tex] suivantes (mettons jusqu'à [tex]n=205000000[/tex] pour fixer les idées).
Et pourtant, [tex]frac(e^{\pi\sqrt{204990857}})=0.00000000345...[/tex], la probabilité d'un tel événement (l'événement "trouver deux réels de la forme [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] tel que leurs parties fractionnaires commencent par [tex]8[/tex] zéros exactement dans l'intervalle [tex][195000000;205000000][/tex]") est inférieur à [tex]\frac{5}{1000}[/tex].

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