Dérivée dans D'

Yassine · 02-01-2017 16:18:40

1- Non, c'est incorrect. Prends la fonction $\sin(x)$, elle s'annule sur tous les points $k\pi$, donc $E=\pi\mathbb{Z}$ et $Supp(\sin)=\mathbb{R}$, donc $\left(Supp(\sin)\right)^c = \emptyset$. Le support d'une fonction peut contenir des points où la fonction est nulle.

2- Tu dis une énormité ! Ce n'est pas parce que $f(x)=0$ que $f'(x)=0$ !!!
Prends la plus simple des fonctions, l'identité. Alors $Id(0) = 0$ et $Id'(0)=1$.
La valeur d'une fonction en un point est une information ponctuelle. La dérivé au même point est une information qui dépend de l'évolution de la fonction autour du point (au voisinage du point). Connaitre la position d'un objet ne nous renseigne pas sur sa vitesse. Mais connaitre sa position à des instants très proches nous renseigne sur sa vitesse.
Si tu as du mal avec ça, tu aura du mal avec la théorie des distributions dont l'objet est justement de ne plus regarder la valeur d'une fonction en un point (il n'existe pas de notion de $T(x)$ où $T$ est une distribution) mais de s'intéresser plutôt à son action sur des fonctions test.

Dernière modification par Yassine (02-01-2017 16:19:44)

tina · 03-01-2017 00:34:43

Je me rend compte des bêtises que j'ai dite. Je pense que je me suis mal exprimée.
En fait, dans a, on a que si $x \in (Supp \varphi)^c$, alors $\varphi(x)=0$ mais ça n'implique as que $\varphi'(x)=0$
et qu'est ce qui change si on prend $x$ dans $E$ au lieu de $(Supp \varphi)^c$? C'est ce point que je ne comprend pas, car la relation $x \in E: \varphi(x)=0$ nous donne ausi des renseignement sur $\varphi$ à des moments très proche. l'image de tous les points de $E$ pas $x$ nous donne $0$, donc elle nous renseigne aussi sur la vitesse. Non?
Merci pour votre aide.

Dernière modification par tina (03-01-2017 00:40:30)

Yassine · 03-01-2017 12:18:39

Regarde bien l'exemple que j'ai donné sur la fonction $\sin(x)$.
Est-ce que tu comprends pourquoi $Supp(\sin)=\mathbb{R}$ ?
Est-ce que tu vois que l'ensemble $E$ tel que définit pour $\sin(x)$ est un ensemble de points discrets ? Donc, pour chaque point $E$, tu ne sais pas ce qui se passe au voisinage du point (au voisinage veut dire arbitrairement proche).

Ce qui fait la différence, c'est que le support est l’adhérence des points où la fonction est non nulle. Le mot l’adhérence est très important dans cette définition.
Le support peut contenir des points où la fonction est nulle. Mais, du fait de l'ajout de l’adhérence à la définition, si un point est dans le support, la fonction ne peut pas être nulle sur tout un voisinage du point.
Par miroir, si un point se trouve en dehors du support, donc dans le complémentaire du support, alors non seulement la fonction est nulle en ce point, mais elle est également nulle sur un voisinage autour du point (parce que sinon, ce serait un point adhérent au support, et devrait donc être dans le support).

Dernière modification par Yassine (03-01-2017 12:19:41)

tina · 04-01-2017 13:07:31

Bonjour,
alors voilà.
1. Je ne comprend pas très bien comment on obtient que $Supp(\sin(x))=\mathbb{R}$.
2. Oui, l'ensemble $E$ est discret, et on n'a aucune information sur ce qui se passe au voisinage de chaque point.
3. On définit l'adhérence d'un ensemble $A$ par: $x \in \overline{A} \mbox{ssi} \forall V \in \mathcal{V}(x): V \cap A \neq 0$
Si le point est dans le support, alors a fonction ne peut pas s'annuller au voisinage de ce point car $A= Supp \varphi$ ne contient que les points $x$ t.q $\varphi(x) \neq 0$.
4. Puisqu'il y a des points de l'adhérence où $\varphi$ s'annulle, comment on conclut que si $x \in (Supp \varphi)^c$, alors $\varphi(x)=0$ sinon ça sera un point de l'adhérence du support?
4. Toutes ces questions viennent du fait que j'avais écrit le rasonnement suivant:
Puisque $Supp \varphi \subset [-\pi,\pi]$, alors il existe un seul $k \in \mathbb{Z}$ qui est $k=0$ tel que $\varphi(0)\neq 0$. Donc, on peut dire que
$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)=\varphi'(0)$, et puisque $0 \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$, alors $\varphi(x)=x$ donc $\varphi'(x)=1$ et $\varphi'(0)=1$. Ainsi $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= 1.$
Ma question est, s'il vous plaît, où est l'erreur et comment la corriger de manière simple? Je suis complétement perdue avec les voisinages.
Je vous remercie pour votre aide.

Yassine · 04-01-2017 21:23:53

1- Est-ce que tu sais calculer $\overline{\mathbb{R}\setminus\{a\}}$ où $a$ est un réel quelconque ? Est-ce que tu sais calculer $\overline{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}$

4- ça vient tout simplement de contraposées : Si $P \implies Q$, alors $\neg Q \implies \neg P$.
Remplace d'abord $P$ par "$\varphi(x) \neq 0$" et $Q$ par "$x \in Supp(\varphi)$". Tu obtiens donc par contraposée que $x \in \left(Supp(\varphi)\right)^c \implies \varphi(x)=0$.
Ensuite, remplace $P$ par "tout voisinage $\mathcal{V}_x \ni x$ contient un point $y$ tel que $\varphi(y)\neq 0$" et $Q$ par "$x \in Supp(\varphi)$", tu obtiens par contraposée que $x \in \left(Supp(\varphi)\right)^c \implies \exists \mathcal{V}_x \ni x$ tel que $\varphi(\mathcal{V}_x) = \{0\}$.

tina · 04-01-2017 22:01:53

Pardon, vraiment je m'excuse. Mais du moment où on a dit qu'il existe un unique $k=0$ t.q $\varphi(0) \neq 0$, pourqoi on irait chercher ce qui se passe au voisinage?
Pareil pour le point $\varphi(x)=x$ alors $\varphi'(x)=1$ et donc $\varphi'(0)=0$ pourquoi on va chercher le voisinage et ce qui se passe dans $Supp (\varphi))^c$? En concret, qu'est ce qu'il faut supprimer de mon raisonnemnt, par quoi il faut le remplacer et pourquoi? S'il vous plaît. Je m'excuse mais je suis complétement bloquée sur ce point.
Mercipour votre aide.

Dernière modification par tina (04-01-2017 22:26:19)

Yassine · 04-01-2017 22:39:27

On a besoin de calculer $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)$ qu'on peut écrire comme $\varphi'(0) + \sum_{k \in \mathbb{Z}^*} \varphi'(2 k \pi)$.
On a donc besoin de montrer que $k \neq 0 \implies \varphi'(2k\pi)=0$.
Voici ce que tu avais écris

tina a écrit :

puisque $Supp \varphi \subset [-\pi,\pi]$, alors il existe un seul $k \in \mathbb{Z}$ qui est $k=0$ tel que $\varphi(0) \neq 0$.
Donc on peut dire que $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= \varphi'(0)$.

Ce que cette phrase sous-entend, c'est comme il n'y a que $\varphi(2*0*\pi) \neq 0$ alors, pour tout $k \neq 0,\ \varphi(2k\pi)=0$ et donc $\varphi'(2k\pi)=0$.
Cette dernière implication est fausse.
La vraie raison pour laquelle $\varphi'(2k\pi)=0$ est le fait que $Supp(\varphi') \subset Supp(\varphi)$, et donc, en passant au complément $\left(Supp(\varphi)\right)^c \subset \left(Supp(\varphi')\right)^c$ (sens de l'inclusion inversé). Donc, si $2k\pi \in \left(Supp(\varphi)\right)^c$, alors $2k\pi \in \left(Supp(\varphi')\right)^c$, et donc $\varphi'(2k\pi)=0$.

tina · 05-01-2017 00:59:05

Je n'avais pas dit que $\varphi'(2k\pi)=0$, j'ai dit que $\varphi'(2 k \pi) = \varphi'(0)$ et comme $0 \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$, alors $\varphi'(0)= 1$ (car $\varphi'(x)=1$ et donc $\varphi'(0)=1)$ et de ce fait, $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= 2 \pi$.
S'il vous plaît, qu'est ce qui est faut dans ce que je vient d'écrire? Et pourquoi? En sachant que dans votre réponse, je ne comprend paspourquoi vous dire qe $\varphi'(2k\pi)=0$ pour tot $k$, ni pourquoi vous avez isolé le point 0 au départ.
Merci pour votre aide.

Dernière modification par tina (05-01-2017 00:59:34)

Yassine · 05-01-2017 10:05:19

Alors, c'est encore plus faux !
Si $\varphi'(2k\pi) = \varphi'(0)$, alors $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= \varphi'(0)\sum_{k \in \mathbb{Z}} 1 = \pm\infty$
Je dis que $\varphi'(2k\pi) = 0$ pour $k \neq 0$ car $2k\pi$ est en dehors du support de $\varphi$ et donc également en dehors du support de $\varphi'$.

tina · 05-01-2017 12:35:35

Je pense que je commence à comprendre. Il nous faut calculer $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 \pi k)$ en sachant que $Spp \varphi \subset [-\pi,\pi]$, et $\forall x \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]: \varphi(x)=x$.
On peut distinguer deux cax:
1. Si$k=0$ Alors $0 \in [-\pi,\pi]$, donc $\varphi(0)\neq 0$, et puisque $Supp \varphi' \subset Supp \varphi$, alors $\varphi'(0) \neq 0$. Puisque $0 \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$, alors $\varphi(0)=0$ et on a $\varphi'(x)=1$, donc $\varphi'(0)=1$.
Mais dans ce cas, il n y a pas $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(0)$.

2. Si $k \neq 0$, alors $2 \pi k \notin [-\pi,\pi], \forall k \in \mathbb{Z}^{\star}$, ce qui veut dire que $\varphi(2k\pi)=0$. Puisque $Supp \varphi' \subset Supp \varphi$, alors $\varphi'(2k\pi)=0$. Ainsi, $\sum_{k \in \mathbb{Z^{\star}}} \varphi'(2 k \pi)=0$.
On conclut que
$$
\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 \pi k)= 1,
$$
et donc
$$
\langle g'',\varphi\rangle = 2 \pi.
$$
C'est ok?
Je vous remercie pour votre aide.

Dernière modification par tina (05-01-2017 12:42:33)

Yassine · 05-01-2017 14:41:57

Tu fais encore des erreurs (moins graves).
Tu dis $0 \in [-\pi, \pi]$, donc $\varphi(0)\neq 0$.
Ce que je pense comprendre de ton raisonnement, c'est la chose suivante :
$0 \in [-\pi, \pi]$, donc $0 \in Supp(\varphi)$, donc $\varphi(0)\neq 0$. Les deux implications sont erronée.
Ce que tu sais, c'est que $Supp(\varphi) \subset [-\pi, \pi]$. Si $x \in [-\pi, \pi]$, tu ne peux pas en conclure que $x \in Supp(\varphi)$ (il aurait fallu avoir l'inclusion dans l'autre sens). Par ailleurs, si $x \in Supp(\varphi)$, tu ne peux pas en conclure que $\varphi(x) \neq 0$, comme je te l'ai expliqué, le support d'une fonction peut contenir des points où la fonction est nulle.

Tu connais l'expression de $\varphi$ dans l'intervalle $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$, il n'y a donc aucune difficulté pour calculer $\varphi'(0)$. On n'a pas besoin d'invoquer des propriété du support.

1- Je ne comprends pas ce que veut dire la phrase "Mais dans ce cas, il n y a pas $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(0)$"

2- C'est un peu embrouillé. La valeur $\varphi(2k\pi)$ n'intervient pas.
On a : $Supp(\varphi') \subset Supp(\varphi) \subset [-\pi, \pi]$, donc, pas passage au complémentaire
$\left([-\pi, \pi] \right)^c \subset \left( Supp(\varphi)\right)^c \subset \left( Supp(\varphi')\right)^c$
Et donc, pour $k \neq 0$, on a $2k\pi \in \left([-\pi, \pi] \right)^c$, soit encore $2k\pi \in \left( Supp(\varphi')\right)^c$, et donc $\varphi'(2k\pi)=0$.

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