Cercle du plan

mouaniper · 31-12-2016 11:56:54

Soit [tex](C)[/tex] le cercle d'équation cartésienne [tex]x^2+y^2+4x+2y-15=0[/tex] et A le point de coordonnées (0;5).
a) Montrer que le point A est situé à l'extérieur du disque limité par le cercle [tex](C)[/tex].
b) Montrer qu'il existe exactement deux droites passant par A et tangentes au cercle [tex](C)[/tex].
c) Déterminer les coordonnées respectives des points communs au cercle et à l'une ou l'autre tangente.

mouaniper · 31-12-2016 12:12:44

Bonjour! Voici les propositions de réponse, pour cet exercice.

a) Montrons que le point A est situé à l'extérieur du disque:

Soit C(-2;-1) centre du cercle; A(0;5) [tex]\\(AC)=\sqrt{(-2-0)^2+(-1-5)^2} = \sqrt{(-2)^2+(-6)^2} = \sqrt{40}
r=\sqrt{20}\\ (AC)>r[/tex]

b) Montrons qu'il existe exactement deux droites passant par A et tangentes au cercle

L'équation de la droite est y=mx+5. Sachant qu'elle passe par A(0,5).

[tex]\begin{cases} &(x+2)^2+(y+1)^2-20=0 \\ & y=mx+5 \end{cases}
\\ \begin{cases} &(x+2)^2+(mx+6)^2-20=0 \end{cases}
\\ (x^2+4x+m^2x^2+12mx+20=0 \\(1+m^2)x^2+(12m+4)x+20=0\\ \Delta=(12m+4)^2-4(1+m^2)(20)\\ =144m^2+96m+16-80-80m^2\\ \Delta=64m^2+96m-64[/tex]

Dernière modification par mouaniper (02-01-2017 17:56:04)

mouaniper · 31-12-2016 12:17:11

Excuse moi; mais je suis confus à ce stade! Car, il me faut deux valeurs de m, qui me permettront de montrer les deux droites passant par A.
Je me pose, la question de savoir; si, je suis vraiment sur la piste de résolution?

Dernière modification par mouaniper (31-12-2016 12:19:17)

yoshi · 31-12-2016 14:41:07

Salut,

Oui c'est une bonne piste...
Sauf que
[tex]\begin{cases}(x+2)^2+(y+1)^2-20&=0 \\y&=mx+5\end{cases}[/tex] est correct
mais que
[tex]\begin{cases}(x+2)^2+(mx+6)^2-20&=0 \\y&=mx+5\end{cases}[/tex] est témoin de la confusion de tes pensées.
En effet, en écrivant [tex]...+(mx+6)^2[/tex] tu as déjà remplacé y de la première équation par [tex]mx+5[/tex] qui lui est égal dans la deuxième...
Ce faisant, tu as donc, déjà commencé à résoudre ton système par substitution, et donc ta 2e équation n'a plus lieu d'être...
Contente-toi donc d'écrire à la place de ton système :
[tex](x+2)^2+(mx+6)^2-20=0[/tex]
Par contre, là :
[tex](1+m^2)x^2+(12m+4)+20=0[/tex],
Tu as fait sauter le $x$ ;
[tex](1+m^2)x^2+(12m+4)x+20=0[/tex].

x et y sont les coordonnées de l'intersection de la droite et du cercle.
Par le point, si je trace une droite, 3 cas se présentent :
* Soit elle ne coupe pas le cercle et ton équation n'a pas de solution : et donc ton $\Delta$ est < 0
* Soit elle coupe le cercle en 2 points distincts et $\Delta > 0$
* Soit elle est tangent et $\Delta = 0$.
Ton $\Delta$ va s'annuler pour deux valeurs de m...

Je t'ai répondu et tu as intérêt à ne pas m'obliger à répéter en recopiant des sottises...

@+

mouaniper · 02-01-2017 18:12:36

Bonsoir! Ce n'est pourtant pas, [tex]\Delta=0[/tex]; mais j'ai deux valeurs de m qui annule [tex]\Delta[/tex] : ce sont [tex]m=-2~ou~ m=\frac{1}{2}[/tex]

Dernière modification par mouaniper (02-01-2017 18:18:10)

yoshi · 02-01-2017 22:01:58

Bonsoir,

J'ai du mal à comprendre ce que tu veux dire là :

Ce n'est pourtant pas, [tex]\Delta=0[/tex]; mais j'ai deux valeurs de m qui annule [tex]\Delta[/tex]

, va falloir m'expliquer !
Deux valeurs qui annulent [tex]\Delta=0[/tex] sont deux valeurs pour lesquelles on a [tex]\Delta=0[/tex]

[tex]\Delta=64m^2+96 m-64 = 32(2m^2+3m-2)[/tex]
Pour quelles valeurs de m a-t-on [tex]\Delta=0[/tex], autrement dit [tex]2m^2+3m-2=0[/tex]
Pour le savoir cherchons le discriminant [tex]\Delta_1[/tex] de [tex]2m^2+3m-2[/tex]
[tex]\Delta_1=(-3)^2-4\times 2\times(-2)=25=5^2[/tex]
D'ouù solutions
[tex]m_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}[/tex]
L'ensemble des solutions est [tex]S=\left\{-2,\frac 1 2\right\}[/tex]

Et tu peux remarquer que
[tex]\Delta=64m^2+96 m-64 = 32(2m^2+3m-2)[/tex]

[tex]\Delta[/tex] vaut pour [tex]m = -2[/tex] :
[tex]32(2\times (-2)^2+3\times(-2)-2)=32(8-6-2)=0[/tex]

[tex]\Delta[/tex] vaut pour [tex]m =\frac 1 2[/tex] :
[tex]32\left(2\times \left(\frac 1 2\right)^2+3\times\left(\frac 1 2\right)-2\right)=32\left(2\times \frac 1 4+3\times\frac 1 2-2\right)=32\left(\frac 1 2+\frac 3 2 -2\right)=32\left(\frac 4 2+\frac 1 2-2\right)=0[/tex]
Alors ?

@+

mouaniper · 04-01-2017 01:20:29

b) Pour montrer ces droites; pourrais je faire le produit des vecteurs Am1.U ; puis Am2.U?
Pour obtenir des équations de droites.

yoshi · 04-01-2017 10:30:05

Salut mouaniper,

T'e's vraiment un grand fantaisiste !
Ce sont TES exercices pas les miens : pourquoi moi, je sais sais ce que TU as déjà fait ?
Post #2
C'est bien toi qui a écrit :

Montrons qu'il existe exactement deux droites passant par A et tangentes au cercle
L'équation de la droite est [tex]y=mx+5[/tex]. Sachant qu'elle passe par A(0,5).
[tex]\begin{cases} &(x+2)^2+(y+1)^2-20=0 \\ & y=mx+5 \end{cases}[/tex]

Tu fais donc des calculs, des calculs sans savoir où tu vas ?
J'ai eu un élève de 6e comme ça...
Un jour, je passe derrière lui et je regarde, puis je lui dis
- Qu'est-ce que tu fais ?
- Bin m'sieur, je calcule...
- Je vois bien, mais pourquoi ?
- bin m'sieu, c'est un problème....
- D'accord, mais est-ce que tu sais à quoi vont servir tous tes résultats ?
- Ah ! Non, ça je verrai après...

La forme générique de l'équation de de tes tangentes est [tex]y = mx+5[/tex]

Maintenant, relis ta question :

Pour montrer ces droites; pourrais je faire le produit des vecteurs Am1.U ; puis Am2.U?
Pour obtenir des équations de droites.

Qu'en penses-tu ?

@+

mouaniper · 04-01-2017 15:06:44

Pardon, Je dois juste remplacer, le valeurs de m; sachant qu'il passe par A(0;5). Merci pour le raisonnement!

N'ai je pas tors cet fois ci, en raisonnant comme suit :
[tex]m1=-2~et~m2=\frac{1}{2}[/tex]
D'où les droites seront respectivement
[tex](D): y=-2x+5\Leftrightarrow 2x+y-5=0\\ \Rightarrow (D):y-5=0[/tex]
[tex](D'): y=\frac{1}{2}x+5\Leftrightarrow \frac{1}{2}x-y+5=0\\ \Rightarrow (D'):-y+5=0[/tex]

Dernière modification par mouaniper (04-01-2017 15:27:06)

mouaniper · 04-01-2017 15:30:46

c) Déterminons les coordonnées respectives des points communs au cercle et à l'une ou l'autre tangente

Nommons ces points T pour (D) et S pour (D') de coordonnées
T(0;1) et S(0;-1)

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