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#26 30-12-2016 02:00:10

mouaniper
Membre
Inscription : 04-12-2016
Messages : 110

Re : Géométrie analytique du plan

Bonjour!  I est le centre du cercle Circonscrit [tex](C)[/tex]; et l'on me demande une équation paramétrique du cercle inscrit [tex]©[/tex] dans le triangle ABC.

Dernière modification par mouaniper (30-12-2016 11:04:33)

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#27 30-12-2016 09:14:24

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Géométrie analytique du plan

Bonjour,

Post#25, Yoshi a écrit :

On dit : cercle inscrit DANS le triangle ABC --> Son centre est l'intersection des bissectrices

mais   : cercle circonscrit au triangle ABC --> Son centre est l'intersection des médiatrices

Hhmmmm...... Pas sûr que tu fasses attention...
Je recommence :
On dit :
cercle inscrit

DANS

le triangle ABC
____________________________________________
mais on dit :
cercle circonscrit

AU

triangle ABC

Alors ?
(Je recommencerai tant que tu n'emploiera pas le bon vocabulaire parce qu'il restera un doute)
De toutes façons, quel que soit le cas, tu sais depuis le post #21, ce qu'il te reste à faire.

@+


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#28 30-12-2016 18:12:49

mouaniper
Membre
Inscription : 04-12-2016
Messages : 110

Re : Géométrie analytique du plan

Équations cartésiennes de droite: [tex]y=mx+n \\ (AB): 3x+2y-7=0\\ (BC):8x+3y-7=0\\ (AC):5x+y-7=0[/tex] 
Soit [tex]©[/tex] centre du cercle inscrit dans le triangle ABC:
[tex]\begin{cases}d(©,(AB)) & \\d(©,(AC)) & \end{cases}[/tex]
J'allais oublier les coordonnées [tex]©(a,b)[/tex]
[tex]\begin{cases}d(©,(AB))=\frac{|3x+2y-7|}{\sqrt13}=\frac{3a+2b-7}{\sqrt13} & \\d(©,(AC))=\frac{|5x+y-7|}{\sqrt26}=\frac{5a+b-7}{\sqrt26} & \end{cases}[/tex]

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#29 31-12-2016 15:30:17

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Géométrie analytique du plan

Bonjour,

Hhmmmm...... Pas sûr que tu fasses attention...

Yoshi a écrit :

Je recommence :
On dit :
cercle inscrit

DANS

le triangle ABC
____________________________________________
mais on dit :
cercle circonscrit

AU

triangle ABC

Alors ?
(Je recommencerai tant que tu n'emploiera pas le bon vocabulaire parce qu'il restera un doute)
De toutes façons, quel que soit le cas, tu sais depuis le post #21, ce qu'il te reste à faire.

@+

Alors ???

Ce que tu fais, s'il s'agit bien du cercle inscrit (je doute toujours !), mais je sens mal parti : ça va  être (très) long et (très) pénible...
J'avais une autre piste à explorer et je m'apprêtais à te poser une question,  à laquelle tu as répondu sans le vouloir...
Donc voilà une propriété méconnue des bissectrices que je donnais en plusieurs questions) à démontrer en exercice en 3e...
Soit ABC un triangle quelconque,  et [AM) la bissectrice de [tex]\widehat{BAC}[/tex] et  M son. point d'intersection avec [BC].
Par le point C, on trace la parallèle à (AM) qui coupe la droite (BA) en D.
Je note a = BC, b = AC et c = AB.
161231022502830004.jpg
On montre facilement que [tex]\frac{MB}{MC}=\frac c b[/tex](vois-tu pourquoi  ?)
Il s'ensuit facilement que :
[tex]b.\overrightarrow{MB}+c.\overrightarrow{MC}=\vec 0[/tex]
et donc que M est le ... Barycentre des Ponts B(b) et C(c) !!!
On peut recommencer avec les deux autres côtés...
Et on trouve que S centre du cercle inscrit est le barycentre des points A(a), B(b) et C(c) ;
[tex]a\overrightarrow{SA}+b.\overrightarrow{SB}+c.\overrightarrow{SC}=\vec 0[/tex]

Voilà qui devrait raccourcir considérablement tes calculs...

@+


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#30 01-01-2017 07:39:13

mouaniper
Membre
Inscription : 04-12-2016
Messages : 110

Re : Géométrie analytique du plan

[tex] \frac{MB}{MC}= \frac{c}{b}[/tex] (vois-tu pourquoi  ?)
Non!

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#31 01-01-2017 09:53:29

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Géométrie analytique du plan

Salut,

C'était quand même raide pour des 3e, mais ils étaient guidés, c'était dans un Devoir Maison et c'était il y a assez longtemps (autres programmes, autres exigences)...
Mais pour un élève de TS (ou assimilé), quand même ...

1. Thalès permet d'écrire
[tex]\frac{BC}{BM}=\frac{BD}{BA}[/tex]

que l'on transforme :
[tex]\frac{BC}{BM}=\frac{BM+MC}{BM}=1+\frac{MC}{BM}[/tex]

[tex]\frac{BD}{BA}=\frac{BA+AD}{BA}=1+\frac{AD}{BA}[/tex]
Donc :
[tex]1+\frac{MC}{MB}=1+\frac{AD}{BA}[/tex]
et :
[tex]\frac{MC}{MB}=\frac{AD}{BA}[/tex]  et enfin [tex]\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AD}[/tex](1)

2. (CD)//(AM)  par construction, donc
[tex]\widehat{MAC}[/tex] et [tex]\widehat{ACD}[/tex] alterne internes donc égaux : [tex]\widehat{MAC}=\widehat{ACD}[/tex]
[tex]\widehat{BAM}[/tex] et [tex]\widehat{BDC}[/tex] correspondants donc égaux : [tex]\widehat{BAM}=\widehat{BDC}[/tex]
$[AM)$ bissectrice donc [tex]\widehat{BAM}=\widehat{MAC}[/tex]
Ces 3 égalités permettent de conclure : [tex]\widehat{ACD} = \widehat{BDC}[/tex]
Le triangle ACD est donc isocèle en A et par conséquent AD = AC
que je remplace dans (1) :
[tex]\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}[/tex]

et avec les notations :
[tex]\frac{MB}{MC}=\frac{c}{b}[/tex]

@+


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