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#1 23-11-2016 19:22:24

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

restauration arithmétique

salut.

Cette multiplication a perdu les trois quarts de ses chiffres . sauriez - vous la restaurer tout en démontrant  que la solution est unique ?
n.b.   aucun des cinq nombres ne commence par zéro .


                                                                   ■   ■   1
                                                            X
                                                                   ■   2   ■
                                                 ________________

                                                             ■   3   ■   ■

                                                       ■   4   ■   ■

                                                 ■   5   ■   ■
                                            __________________

                                                 6   ■   ■   ■   ■   ■




                                                                                             bon courage .

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#2 23-11-2016 22:35:06

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 946

Re : restauration arithmétique

Salut,

Texte caché

Je propose


         731
      x 926
     ------
       4386
      1462.
     6579..
     ------
     676906
 

Et c'est la seule solution parce que à aucun moment je n'ai eu de choix.
Au cours du raisonnement,à chaque chiffre que j'ai placé, aucun autre chiffre ne convenait.

Dernière modification par tibo (23-11-2016 22:46:58)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 25-11-2016 21:30:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : restauration arithmétique

Très joli problème!

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#4 26-11-2016 11:12:38

freddy
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Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : restauration arithmétique

@jpp,

attends un peu stp avant de donner la solution, merci !


Memento Mori ! ...

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#5 26-11-2016 12:26:05

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 978

Re : restauration arithmétique

Une Solution

731 x 926

Pour l'unicité, c'est lié à ma méthode, j'arrive à la solution à chaque fois en appliquant une contrainte.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

En ligne

#6 27-11-2016 07:45:00

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : restauration arithmétique

Salut,

proposition

$731\times 926=676.906$
Mais il me manque encore l'unicité. A suivre ...


Memento Mori ! ...

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#7 30-11-2016 06:06:39

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : restauration arithmétique

Salut,

unicité de la solution

Phase 1

                                                                   a   b   1
                                                            X
                                                                   x   2   y
                                                 ________________

                                                             ■   3   ■   y

                                                       ■   4   ■   2

                                                 ■   5   ■   ■
                                            __________________

                                                 6   ■   ■   ■   ■   y


Avec le 4 en seconde ligne, et puisqu'il cette ligne ne peut commencer par 0, alors la seule solution est 14, et donc $a=7$
De plus, $b \lt 5$ sinon 4 ne tient plus.

Phase 2

                                                                   7   b   1
                                                            X
                                                                   x   2   y
                                                 ________________

                                                             ■   3   ■   y

                                                       1    4   ■   2

                                                  ■   5   ■   ■
                                            __________________

                                                  6   ■   ■   ■   ■   y


Si je prends ma table de 7, pour avoir 3 en première ligne, j'ai $7\times 3 =21 +2 =23$ ou $7\times 6 = 42+1=43$ ou $7\times 9=63$.
Ce dernier cas implique que soit $b=0$, soit $b=1$ pour ne pas avoir de retenue.

Si $b=0$ alors $x=5$ pour avoir 35 en dernière ligne. Mais alors le total ne peut pas commencer par 6. Même raisonnement pour $b=1$. Donc $y\lt 9$.

Toujours avec ma table de 7, je peux chercher la valeur de $b$.
Si $b=2$ alors aucune solution ne convient pour trouver un produit $7\times x$ qui finisse par 5.
Si $b=3$, alors $x=9$  de sorte que j'ai bien $7\times 9=63+2=65$
De la même manière, on montre que $b=4$ ne peut pas convenir.
Il reste encore à déterminer $y$, abandonné en cours de route !

Phase 3

                                                                   7   3   1
                                                            X
                                                                   9   2   y
                                                 ________________

                                                             ■   3   ■   y

                                                       1    4   6   2

                                                  6   5    7  9
                                            __________________

                                                  6   ■   ■   ■   ■   y

Toujours avec ma table de 7, je vois que $y=6$ peut convenir mais $y=3$ ne convient pas car il me manquera une unité de retenue.


Donc solution unique

                                                                   7   3   1
                                                            X
                                                                   9   2   6
                                                 ________________

                                                             4   3   8   6

                                                        1   4   6   2

                                                   6   5   7   9
                                            __________________

                                                  6   7   6   9   0   6


Memento Mori ! ...

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#8 30-11-2016 10:38:48

jpp
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Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : restauration arithmétique

salut.

@Freddy : bravo pour ta démo .La mienne n'est pas ordonnée pareil ; mais on voit bien que le point de départ incontournable est sur
la ligne du ■4■2
je posterai ma solution un peu plus tard .

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#9 03-12-2016 12:44:55

jpp
Membre
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Messages : 971

Re : restauration arithmétique

salut .

une démonstration

appelons A le multiplicande et B le multiplicateur ;  C , D & E   les nombres  ■ 3 ■ ■ ,  ■ 4 ■ ■  & ■ 5 ■ ■
On devine immédiatement le premier chiffre et l'unité de D :  1 4 ■ 2 . Ainsi le nombre E  ne peut être que: 6 5 ■ ■
Le nombre A ne peut être que 7 ■ 1  . --->  9 x 7 = 63  ---> E = 6 5 ■ ■  =  9  x  7 ■ 1 a généré  une retenue de 2 sur les centaines.
Dans la multiplication par 9 , seul  3 x 9 = 27 est solution pour la retenue de 2  ---> A  = 731 .
Immédiatement : D = 2 x 731 = 1462 .  Il ne nous manque plus que l'unité U  de B = 92■  .   ■ 3 ■ ■ = U x 731
u = 6 est la seule solution possible avec 6 x 731 = 4386 avec une retenue de 1 sur les centaines.
Ainsi ,  B = 926 ;  donc   A x B = 731 x 926 = 676906
La solution est bien unique .                                                             





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