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#1 28-09-2016 13:15:25

pasmatheuse06
Invité

Base de numération

Bonjour,
Je prépare le CRPE, à chaque fois ce sont les maths qui me bloquent aussi cette année je souhaite réussir malgré mes grandes difficultés en maths.
Je suis stoppée dans l'avancement de mes révisions par cette question : qu'est-ce donc que "les bases de numération"???
merci
Et il faut m'expliquer comme si j'avais 3 ans...car sinon je n'y arriverai jamais!!!

#2 28-09-2016 15:42:22

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : Base de numération

Bonjour,

Surtout ne pas faire une fixation là dessus...
Donc, nous comptons en base dix.
Ce qui signifie que nous utilisons dix petits symboles qui servent à écrire tous les nombres, ces dix petits symboles sont appelés chiffres :
0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6 ,7, 8 9
Note bien que les Romains comptaient aussi en base dix. Mais leurs "chiffres" rendaient impossible les calculs tels que nous les connaissons...
En plus, notre système de numération est une numération de position ; c'est la place du chiffre dans le nombre qui détermine sa valeur : dans le nombre 121, il y a deux fois le chiffre 1, mais ils ne représentent pas la même quantité.
Celui de droite fait partie des "unités" tout court ou encore des unités du 1er ordre.
132 comprend 1 unité du 3e ordre, 3 du 2e ordre et 2 du premier.
En bases dix, dix unités d'un ordre quelconque peuvent être remplacés par 1 unité de l'ordre immédiatement supérieur :

********************************************
*********************************************
*******************************************
Autrement dit tu regroupes les * ci-dessus par paquets de dix : il en reste 2 isolées...
Tu regroupes par dix à la fois ces paquets de dix : il reste 3 paquets isolés
et 1 vaste groupe de 10 paquets.
Dans le temps, existaient des "trucs" appelés blocs logiques : des petits cubes raccordables sur les 6 faces.

Si je remplace mes * par ces cubes : je commence à les regroupés par bâtons de dix : il y a deux cubes seuls...
Avec mes bâtons de dix, je forme des plaques de dix bâtons...
J'ai donc 1 plaque ; 3 bâtons ; 2 cubes de base : 132.

Bin, et en base deux alors ?
Elle ne comprend que deux chiffres 0 et 1, et on fait des  bâtons de deux cubes, puis des plaques carrées de 2 bâtons, puis des gros cubes de deux plaques, puis des gros bâtons de deux gros cubes, puis des grosses plaques carrées de deux gros bâtons, puis des supercubes de deux grosses plaques carrées, puis...
Ainsi, écrire  25 en utilisant la base deux :   *************************

je crée des bâtons
*                                          1 cube seul

** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** **  bâtons

je crée des plaques :
*                                         1 cube
------------                              0 bâton seul
**     **     **     **     **     **    plaques (carrées)
**     **     **     **     **     **       


je crée des gros cubes :
*                     1 petit cube
------                 (0 petit bâton...)
------                 (0 plaque)
****       ****      ****       gros cubes
****       ****      ****

je crée des gros bâtons (composés de gros cubes) :
*                    1 petit cube
------                 (0 petit bâton...)
------                 (0 plaque)
****                  1 gros cube seul
****

********          1 gros bâton
********

Soit l'écriture suivante 11001...

De gauche à droite 1 paquet de 16, 1 paquet de 8, o 0 paquet de 41, 0 paquet de 2, 1 étoile (ou 1 cube seul) 16+8+1=25

On s'arrête là pour le moment.
Questions ?

@+


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#3 28-09-2016 16:41:01

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Merci beaucoup ça commence à venir !!!

Mais alors à la question :
Ecrire en base 12 le nombre qui s'écrit 144 en base 10 ??

Mais finalement c'est souvent les mêmes nombres alors parce que 452 s'écrira toujours 332 exposant 2 avec la grande barre dessus ?

Et ça sert à quoi en fin de compte ce truc ? On apprend pas cela à des élèves de primaire ?

A++

#4 28-09-2016 19:31:41

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : Base de numération

Bonsoir,

Je t'avais bien dit de ne pas faire une fixation là-dessus, oui, ça vient.
144 en base dix s'écrit 100 (lire : un-zéro-zéro) en  douze
[tex]144 = 12^2 \times 1+12 \times 0 + 0[/tex]
Mais la vraie question est : mais alors, et 275 ?
Parce que s'il y a deux symboles en base deux, dix en base dix... il devrait y en avoir douze en base douze !
Or, je n'en connais que dix de 0 à 9, il... en manque deux ?
Bin,oui...
Alors on ajoute deux lettres A et B qui remplacent respectivement le dix et le onze...
En 275 combien de paquets de douze ? [tex]275 = 12 \times 22+ 11[/tex]
Et 11 en base douze s'écrit B...
Et je reprends les 22 paquets de 12 que je vais grouper par 12 !
[tex]22= 12 \times 1 + 10[/tex]  et 10, c'est A..
J'ai donc 1 paquet de 12 *12 + 10 paquets de 12 + 11 : [tex]\overline{1AB}^{12}[/tex]...

Ainsi en base seize (utilisée en informatique, tout comme la base deux) il y a seize "chiffres" :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F... et on s'arrête à F, parce qu'après F, il y 10 (lire un-zéro et pas dix !)
Le nombre [tex]\overline{A3DF}^{16}[/tex] s'écrit en base dix :
[tex]16^3\times 10+16^2\times 3+ 16 \times 13 + 15 =41951[/tex]

On apprend pas cela à des élèves de primaire ?

Dans le temps (à mes débuts), si ! Avec les "blocs logiques"...
Mais ça sert surtout à l'enseignant : il lui faut maîtriser non pas le "comment", mais le pourquoi des calculs en base, s'il veut pouvoir plus facilement expliquer les retenues dans les additions, soustractions, multiplications ou pire les calculs en base soixante...
Hein ? quoi, base soixante ????
Mais oui, tous les calculs en heures minutes secondes...
(Ah, au passage, j'espère que toi, contrairement à 50% de la population, tu écris bien le symbole de la minute min et non pas mn...
Pour info, la décision de modification a été notifiée par décret du 20 décembre 1975 (quand j'ai débuté dans le métier c'était encore mn...
)

On peut additionner, soustraire, multiplier, diviser deux nombres directement dans la base de son choix : il faut juste établir une table d'addition et une table de multiplication.
Par ex en base 3

          
 + |  0  |  1  |  2
---|-----|-----|----
0  |  0  |  1  |  2
---|-----|-----|----
1  |  0  |  2  | 10
---|-----|-----|----
2  |  2  | 10  | 11

On additionne

    122+212 :  
    11
    122
+   212
------------
   1111

En rouge, les retenues...

Si ça t'intéresse, on continuera demain...

@+


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#5 29-09-2016 12:24:45

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonjour,
Mon ciel commence peu à peu à s'éclaircir...oui j'ai toujours écrit minute min...
Normalement en français j'assure!!!
Bon pour les maths effectivement je commence à apercevoir une logique...quelque chose se profile !!

Donc tu es professeur des écoles ? C'est une reconversion pour moi car je suis psychologue mais dans mon département il n'y a pas de poste temps plein CDI...aussi j'ai été prof de français en lettre au collège et lettres histoire géo en lycee pro et l'année derniere j'étais institutrice contractuelle et j'ai adoré.
Je me consacre aux révisions du crpe et je galère comme pas possible!!
Mais je ne doute pas d'y arriver...
C'est donc une sorte de gros challenge reconversion pro.

Tu n'habiterais pas dans les Alpes maritimes ?? De cette façon je pourrai t'engager comme prof particulier ??
Mais déjà tu m'aides bien et je t'en suis très reconnaissante.
Pour le moment je regarde mes bouquins et quand question je t'écris.

Merci
A++

#6 29-09-2016 12:58:55

freddy
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Re : Base de numération

Salut,

non, non, c'est un prof de maths dans le secondaire ! Mais il est très pédago, profites en bien.


Memento Mori ! ...

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#7 29-09-2016 13:02:01

yoshi
Modo Ferox
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Re : Base de numération

Re,

Donc tu es professeur des écoles ?

Tu es : nan, je suis retraité depuis 9 ans.
* J'ai eu mon CAP d'instit,
* J'ai eu ensuite mon CAPCEG Maths-Physique,
* J'ai obtenu enfin le CAPES de Mathématiques...
Mes trente dernières années de prof en activité j'ai sévi de la 6e à la 3e... et j'offrais  à mes 3e en fin d'années, un SAV gratuit de 3 ans "pièces et main d’œuvre" ^_^ : il suffisait de m'envoyer un mél, ou de passer me voir au Collège ou chez moi...

J'ai gardé 10 à 12 ans de devoirs, de devoirs, de corrigés, de documents annexes
Nan, je ne suis pas dans les Alpes Maritimes...

Tu as le bon réflexe de poster ici !
De quoi as-tu encore besoin sur les Bases de numération ? (ou autre ?) dans ce programme : http://prepa-crpe.fr/programme-crpe-maths.
Par exemple Aires/Volumes, si on connaît les Aires, les volumes sont de 3 catégories, et les aires - sauf le disque - se retrouvent toutes à partir de celles du rectangle...

Il y a un bouquin que j'ai beaucoup aimé :
Histoire universelle des chiffres de Georges Ifrah.
C'est un beau pavé que j'ai lu comme un roman d'aventure historique...

@+


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#8 29-09-2016 16:55:56

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonsoir,

Quel beau parcours!!

Bien en fait, sur la question des maths, j'ai besoin de tout re-savoir...
J'ai toujours été d'une nullité absolue dans cette matière, rien que d'ouvrir le manuel Hatier CRPE 2017 j'ai le ventre qui se noue, j'ai des gouttes de sueur sur le front!!

J'ai demandé de l'aide à tous mes collègues instituteur de l'année derniere mais ils me répondent tous qu'ils sont pas bons en maths, je crois qu'ils se la jouent perso...

Toutefois, et j'en suis la première surprise, je commence à appréhender, tout doucement le mécanisme de la base de numération.
Je ne veux pas crier victoire trop tôt, ce soir quand mes deux petits monstres seront couchés je vais m'y replonger vivement, j'ai même hâte car comme je commence à comprendre c'est intéressant...

Je me suis penchée sur les fractions et ça va un peu.

Par contre je ne parviens pas à comprendre cela :

Ecrire en base sept, les nombres suivants:

A= 7(4)+3x7(3)+2x7(2)+6x7+5

B= 7(5)+3x7(3)+2x7(2)+8

C= 7(4)+7(3)x7+3x7

J'ai mis entre parenthèses les exposants car avec l'ipad je ne peux pas les mettre en petit en haut.

Merci d'avance
Bonne soirée
Claire

#9 29-09-2016 17:47:06

yoshi
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Re : Base de numération

Salut,

Le A comporte un non-dit qui, à moi, me paraît gênant (mais aussi le B et le C : là, ça ne me choque pas, par contre)...
Il faut penser :
* nombre de paquets de 7,
* nombre de paquets de [tex]7\times 7[/tex] donc de [tex]7^2[/tex]
* nombre de paquets de [tex]7\times 7\times 7[/tex] donc de [tex]7^3[/tex]
* nombre de paquets de [tex]7\times 7\times 7\times 7[/tex] donc de [tex]7^4[/tex]
.... etc

[tex]A= 7^4 \times 1+7^3\times 3+7^2\times 2+7\times 6+5[/tex]
Il manquait le x 1 après [tex]7^4[/tex]
D'autre part, au risque de paraître pédant (ou d'enfoncer une porte ouverte) je vais t'expliquer quelque chose à ma façon...
Au début était le verbe (ah non, ça c'est la Genèse...^_^) l'addition...
Et quand les érudits des XIe, XIIe siècles en on eu marre d'additionner en colonne sur des parchemins, par exemple :
12345 + 12345+ 12345 +.... +12345  678 fois, ils se sont dits qu'il y avait sûrement à inventer un moyen peut-être pas plus simple, mais plus rapide, ils ont penché le + et ont appelé leur nouvelle opération : multiplication !
Et ils notèrent  :
   12345  x  678
Le 12345 est appelé multiplicande (quantité qui est multipliée) et le 678, multiplicateur (quantité qui multiplie, ou le nombre de fois qu'on devrait ajouter le multiplicande).
Alors, il se trouve que la multiplication est commutative  : [tex] a \times b = b \times a[/tex].
Donc si on écrit 678  x 12345, ça ne change pas le résultat...
Certes, mais moi ça me pique les yeux (même si, à l'heure actuelle, personne ne préoccupe plus de cette nuance)...
Ça  me pique les yeux parce qu'additionner 678 fois le nombre 12345 ou additionner 12345 le nombre 678, résultat identique ou pas, ce n'est pas la même chose (J'étais ch... là-dessus avec mes 6e).
Tout ça pour te dire (et je reviens à mes moutons) que moi je n'écris pas :
[tex]A= 7^4 \times 1+3 \times 7^3\times 3+2 \times 7^2+ 6 \times 7+5[/tex]
mais
[tex]A= 7^4 \times 1+7^3\times 3+7^2\times 2+7\times 6+5[/tex]
Moyennant quoi le nombre de paquets de 7 te saute aux yeux et l'écriture de A en base sept (ça me gêne d'écrire "base 7", puisque justement dans cette base le chiffre 7 n'existe pas) devient évidente :
[tex]A=\overline{13265}^7[/tex].
A toi la suite...

Mo, j'arrête là, ce n'est pas une séance de gavage : je ne veux pas dégoûter ta bonne volonté...
[tex]\overline{332}^4[/tex], c'est  :  [tex]4^2\times 3+4^1\times 3 + 2 = \overline{62}^{10}[/tex]

@+

[EDIT] Lorsqu'une puissance est absente, c'est qu'elle est  multipliée par 0 !!!

[EDIT2] Je vois que j'avais pas répondu à ceci :

452 s'écrira toujours 332 exposant 2 avec la grande barre dessus

Soit [tex]\overline{332}^2[/tex] ?
Si c'est bien ça, alors la réponse est non :
452 ne s'écrit pas 332 en base deux...
En base deux, tu ne disposes que de deux chiffres  : [tex]\{0,\,1\}[/tex]
En base trois, tu ne disposes que de trois chiffres  : [tex]\{0,\,1,\,2\}[/tex]
En base quatre, tu ne disposes que de quatre chiffres  : [tex]\{0,\,1,\,2,\,3\}[/tex]
En base cinq, tu ne disposes que de cinq chiffres  : [tex]\{0,\,1,\,2,\,3,\,4\}[/tex]
... etc
A partir du moment où le 3 est présent dans le nombre 332, la base minimum n'est ni deux, ni trois, mais quatre (et toute autre base >4)...


452 | 4
05  |----
 12 | 113 | 4
  0 |  33 |-----  
        1 | 28 | 4
             0 |-----
               | 7 | 4  
                 3 |-----
                   | 1  <--- test d'arrêt des calculs : 1< 4
  

Donc [tex]\overline{452}^{10} = \overline{13010}^{4}\;(=\overline{111000100}^2)[/tex]

Et [tex]\overline{332}^4[/tex],  c'est [tex] \overline{4^2\times 3 + 4^1 \times 3 + 3}^{10} =\overline{62}^{10}[/tex]

Dernière modification par yoshi (30-09-2016 08:39:45)


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#10 30-09-2016 15:40:27

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonsoir,

Aujourd'hui j'ai fait du français...

Demain maths alors j'aurai obligatoirement besoin de toi !!!
Bonne soirée,
Claire

#11 30-09-2016 18:26:46

yoshi
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Re : Base de numération

Salut,

Pas de pb.
J'attends ça avec intérêt...

@+


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#12 01-10-2016 17:10:08

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonsoir,

Il s'agit de maîtriser les fractions ce soir...

Alors voilà :

17.         11
---- et   -----
27.          18

1) Remplacer chaque fraction par une fraction égale, de telle façon que les deux fractions obtenues aient des dénominateurs égaux ( on dit qu'on a réduit les deux fractions au même dénominateur).

On remarque que 54 est un multiple commun de 27 et de 18. Donc :

17.       34.               11.        33
---- = -----     Et.  ------ = ------
27.      54.                18.        54

2) comparer les numérations des fractions obtenues : la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

33<34.  Donc : 11.       17
                        ---- < -----
                         18.     27

Toutes les explications que tu pourras me donner seront les bienvenues.

Merci d'avance et bonne soirée
Claire

#13 01-10-2016 18:18:18

yoshi
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Re : Base de numération

Salut,


Rien à signaler...

la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Une fraction [tex]\frac a b[/tex] est l'écriture (parfois la seule écriture possible) du quotient exact de a par b (c'est le cas de tes deux fractions).
Donc, à dénominateur égal - à diviseur égal -,il est normal  la fraction la plus grande soit celle qui a le numérateur - le dividende - le plus grand...
Tiens une astuce qui marche bien  : les mômes ont souvent du mal à se souvenir entre <  et > qui veut dire plus petit, qui veut dire plus grand.
Il y a plusieurs techniques, mais je recommande celle-là :
Tu fais écrire les deux, puis tu fais rayer les barres de dessous (comme suit) :
161001075934891144.jpg.
Concernant la réduction au même dénominateur, son emploi le plus fréquent est le calcul de sommes ou différences de fractions.
Dans ce cas, pour se simplifier la tâche :
1. On simplifie (au maximum) - lorsque c'est possible -  les fractions (en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre non nul)
2. On recherche un multiple commun (*) aux différents dénominateurs obtenus (de préférence le plus petit possible),
3. On remplace chaque fraction par une fraction égale ayant pour dénominateur le dénominateur trouvé au point 2.
4. On met tout sur une seule fraction et on additionne ou soustrait les numérateurs.
5. On simplifie le résultat s'il y a lieu.

(*) sinon ce serait comme si on vouait ajouter deux sommes l'une en € l'autre en $, sans conversion préalable dans la même monnaie...

Exemple (pour PE) :
[tex]\frac{21}{28}+\frac{25}{60}-\frac{55}{66}= \frac{3}{4}-\frac{5}{12}-\frac{5}{6}[/tex]
Dénominateur commun 12 :
[tex] \frac{3}{4}+\frac{5}{12}-\frac{5}{6}=\frac{9}{12}+\frac{5}{12}-\frac{10}{12} =\frac{9+5-10}{12}=\frac{4}{12}=\frac 1 3[/tex]
Mais ceci est une autre histoire et j'anticipe sûrement...

@+


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#14 08-11-2016 14:16:41

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonjour,
Je suis toujours dans mes révisions et je suis de retour avec ma base de numération
Comment calculer 4321 - 2323 sachant que c'est en base 5 et qu'après il faut le traduire en base 10??
J'y arrive bien pour l'addition et la multiplication car je me sers du tableau de Pythagore mais là j'avoue que j'ai du mal pour la soustraction.

Merci beaucoup
Claire

#15 08-11-2016 15:31:52

yoshi
Modo Ferox
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Re : Base de numération

Bonjour,,

Ça faisait longtemps...
D'abord une table d'addition en base cinq :

            
 + |  0 |  1 |  2 |  3 |  4 |
---|----|----|----|----|----|
 0 |  0 |  1 |  2 |  3 |  4 |
---|----|----|----|----|----|
 1 |  1 |  2 |  3 |  4 | 10 |
---|----|----|----|----|----|
 2 |  2 |  3 |  4 | 10 | 11 |
---|----|----|----|----|----|
 3 |  3 |  4 | 10 | 11 | 12 |
---|----|----|----|----|----|
 4 |  4 | 10 | 11 | 12 | 13 |
---|----|----|----|----|----|

Maintenant une remarque : Au dos de certains cahiers de brouillons figurent (figuraient ?) des tables de +, - , x , [tex]\div[/tex]...
Sauf que tables de - et [tex]\div[/tex] n'ont pas lieu d'être, ça n'existe pas...
En effet, on appelle différence de 2 nombres a et b, notée a - b, le nombre c tel que a=b+c...

En base dix, chercher 12 - 8, c'est chercher, dans la table d'addition,  combien il faut ajouter à 8 pour trouver 12...
Autrement dit sur la ligne 8, je cherche le nombre 12, puis je remonte verticalement jusqu'à la première ligne où il est écrit : 4...
Quelle que soit la base, on procède à l'identique, d'où ici ma table d'addition en base cinq...
Et je reviens à mes (tes) moutons...

      
  4 3 2 1  
- 2 3 2 3
-----------
=

Et on commence : 1 - 3 = ? impossible, donc j'ajoute une 10 unités (non pas dix, mais mais "un-zéro") que j'ajoute à 1 ( table : 10 + 1 --> 11) et je cherche alors 11- 3 = ?
Ligne 3 -----> 11 et je remonte jusqu'à 3.

Et il y a une retenue de 1 (1 "cinquaine" j'appelle ça comme ça, faute de nom existant dans cette base) que tu ajoutes classiquement au 2 qui suit le 3.
Donc on se retrouve à devoir soustraire non pas 2 - 2, mais 2 - (2+1) soit 2 -3 : même problème.
On rajoute un nombre de "cinquaines" égal à 10 (un-zéro !) : 10 + 2 = 12
Et on cherche 12 - 3 (dire : un-deux moins 3)
Table : ligne du 3 ------> 12 et on remonte jusqu'à 3.
On écrit le 3 au résultat...

Et au 3 qui suit on ajoute la retenue de 1 (1 "vingt-cinquaine" là encore il n'y a pas de nom... ), 3 +1 = 4.
Et on cherche à soustraire 3 - 4....
Si tu as compris, continue...

@+


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#16 09-11-2016 13:50:22

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonjour,

J'obtiens 1443 ??

Et à présent je dois comprendre comment convertir ce nombre en base 10 pour vérifier les résultats ...?

Donc pour le concours je dois apprendre le tableau de base 5 et puis ?

Merci
Bon mercredi
Je ne reprendrai les révisions que vers 21h quand mes bébés seront au lit !! Et le mercredi après midi ma fille fait du theatre ...

A plus tard
Claire

#17 09-11-2016 14:45:03

yoshi
Modo Ferox
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Re : Base de numération

Salut,

1443 c'est juste ?
Apprendre par cœur la table de 5 ? Pour quoi faire ? Et celle de 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 ? (Et au delà...)
Il faut 2 min pour tracer une telle table sur un papier...

Vérifier le résultat.
Aurais-tu oublié que si en base 10, 36897 (par exemple) c'est [tex]10^4\times 3 + 10^3 \times 6 + 10^2\times 8 + 10^1 \times 9+7[/tex]
autrement dit [tex]30000+6000+800+80+7[/tex] ? (Rappelle-toi les "blocs logiques" évoqués au post #4)
En base dix, on regroupe les unités par 10 (dizaines), puis les dizaines par 10 (centaines), puis les centaines pat 10 (milliers) etc...
En base cinq, on fait des paquets de 5, puis des paquets de 5 x 5 = 25, puis des paquets 25 x 5 = 125...
Donc [tex]\overline{4321}^5 = 5^3\times 4+5^2\times 3+5\times 2 +1=125\times 4+25\times 3 + 5\times 2+1 = 500+75+10+1=586[/tex]
Continue...

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#18 14-11-2016 17:13:32

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonsoir

Je bloque et je déprime et j'angoisse

Comment on simplifie une fraction sans calculatrice ????

4 242
---------
2 828

242 424
---------
323 232

32 032
--------
77

Je ne comprends pas du tout.

Merci
Bonne soirée
Claire

#19 14-11-2016 19:22:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : Base de numération

Salut,

Roooohhh... Y a pourtant pas de quoi fouetter un chat si on connaît ceci :
161114075917801108.jpg

On commence par le dernier parce que là c'est vraiment simple :
[tex]\frac{32 032}{77}[/tex]
Tout de suite, mon regard se porte sur 77 (c'est le nombre le plus sympathique des 2) et je pense 77 = 7 * 11.
En foi de quoi, si la fraction peut se simplifier ce ne pourra être que par 7 ou 11...
32032 je prends les nombres 1 sur 2 ;
S1=2+0+3 =5
S2=3+2 =5
S1-S2=5-5= 0 multiple 11
Et hop :
[tex]\frac{32 032}{77}=\frac{2912}{7}[/tex]
Maintenant on teste la division par 7, soit à la main, soit de tête !
En 29 combien de fois 7 ? 4 il reste 1
J'abaisse le 1.
En 11 combien de fois 7 ? 1 fois il reste 4.
J'abaisse le 2.
En 42 combien de fois 7 ? 6 il reste 0
Donc[tex]\frac{32 032}{77}=\frac{2912}{7}=416[/tex]

Après les autres, il y a une astuce : ouvrir les yeux !!!
[tex]\frac{4242}{2828}[/tex] terminaisons 42 = 13 * 4  et 24 = 6 * 4
Je vois le 42 qui se répète :
4242 = 42 * 100 + 42 * 1 = 42*101
Et le 24 aussi
2424 = 24 *100 + 24 * 1 =24 * 101

Sinon, si je ne vois pas ça, je dois voir :
4242 et 2424 multiples de 2 (pairs) mais pas de 4.
S1= 4+2+4+2 = 12 multiple de 3
S2= 2+4+2+4 = 12 multiple de 3
Je sais donc que 4242 est multiple de 2 et de 3, donc de 6...
Je sais donc que 2424 est multiple de 2 et de 3 donc de 6...
Je peux donc déjà faire :
[tex]\frac{4242}{2828}=\frac{4242\div 6}{2424 \div 6}=\frac{707}{404}[/tex]
Et là, normalement, le 101 te saute à la figure...

Et le 2e :
[tex]\frac{242424}{323232}[/tex]
A toi de jouer.
Prends le temps d'examiner ces deux nombres : c'esqt bien plus facile que tu ne le crois...

L'image ci-dessus est extraite d'un dictionnaire de Maths de 23 pages recto verso qui couvrait tout le prog de la 6e à la 3e et parfois au delà...
Il est imparfait (fait il y a plus de 20 ans) : il manque les flèches sur les vecteurs et les chapeaux sur les angles (et les barres des mesures algébriques).
470 ko de pdf...

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#20 14-11-2016 20:52:44

freddy
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Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Base de numération

Salut,

je pense que note amie a besoin d'un vrai coaching pour lui permettre de retrouver ses repères et bien se convaincre que le concours est plus là pour vérifier qu'elle a une tête bien faite plutôt que bien pleine.
Courage, jeune femme, courage, un concours , c'est 90 % de travail, 10 % de chance et surtout, 100 % de confiance (lucide) en soi.
Viens nous voir autant que nécessaire, on te soutiendra, jusqu'au bout !


Memento Mori ! ...

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#21 21-11-2016 14:01:08

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonjour,

Qu'est-ce que c'est que cela :

Une fraction représente un nombre décimal si la fraction irréductible qui lui est égale a un dénominateur qui peut être décomposé sous forme d'un produit de puissances de 2 et de puissance de 5 ???
exemple : ces fractions représentent-elles des nombres décimaux ?
45
------
600

45
------
10500

Merci...

#22 21-11-2016 16:02:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : Base de numération

Salut,

Reprenons.
Considérons une fraction :
- soit elle est irréductible (= on ne peut pas la simplifier) ex : 3/5, 7/8
- soit elle ne l'est pas. Ex 9/12, 15/70...

Si elle ne l'est pas, alors simplifions-la :
45 est multiple de 3, de 5, de 9, et de 15.
Et 600 ? Il: est clair que 600 = 6 x 100 = 6 x 4 x 25.
Donc 600 multiple de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300
Note bien qu'il était inutile de chercher les diviseurs au delà de 40...

En conséquence : le plus grand des diviseurs communs à 45 et 60 est 15 :
[tex]\frac{45}{600}=\frac{456\div 15}{600 \div 15}=\frac{3}{40}=\frac{3}{2^3\times 5}[/tex]

N'oublions qu'un nombre décimal possède une partie décimale finie :
ex : 0,75
mais pas 0,75 75 75 75 75 75.... (une suite infinie de 75) qui est obtenu à partir de [tex] \frac{25}{33}[/tex]
Une fraction représente un nombre décimal si après simplification (et même parfois avant) si on peut trouver une fraction qui est égale et dont le dénominateur s'écrit comme un produit de puissances de 2 et de 5 (la même puissance).

Ce qui signifie que le dénominateur de la fraction irréductible ou pas n'est un produit que de 2 ou de 5.
Pourquoi cela ?

Voyons donc :
[tex] 10=2\times 5[/tex]
[tex]100 = (2\times 5) \times (2\times 5) = 2^2\times 5^2[/tex]
[tex]1000 =  100 \times 10 = 2^2\times 5^25 \times (2\times 5) =  2^3 \times 5^3[/tex]
[tex]10000= 2^4 \times 5^4[/tex]
......................................................
[tex]10^n =2^n \times 5^n[/tex]

Voilà des fractions décimales :
[tex] \frac[3}{10}=(0,3)[/tex], [tex]\frac{27}{1000}=(0,027)[/tex], \frac{1625}{100000}(=0,01625)

Je te l'ai montré :  si tu décomposes une puissance de 10i, tu ne trouveras rien d'autre que des puissances de 2 ou de 5.
Après simplification (et même parfois avant), si tu composes le dénominateur et qu'il n'est formé que d'un produit de 2 et de 5 à différentes puissances, alors cette fraction représente un nombre décimal parce que tu peux l'écrire avec un dénominateur qui est une puissance de 10...

Par exemple [tex]\frac{7}{30}=\frac{7}{3\times 10}[/tex] : il est impossible de multiplier 3 par quelque nombre que ce soit et trouver 10, 100, 1000...

J'ai encore un topo là-dessus que j'avais fait pour mes 6e (je ne leur parlais pas de puissance) ... Ça t'intéresse ?

Alors, tes fractions représentent-elles un nombre décimal ou pas ?

QQ exemples :
[tex]\frac{7}{20}[/tex]
[tex]20= 4 \times 5 = 2^2 \times 5[/tex] 
donc
[tex]\frac{7}{20}=\frac{7\times 5}{20 \times 5=\frac{35}{100}=0,35[/tex]

[tex]\frac{18}{75}[/tex]
[tex]75= 3 \times 35 = 3 \times 5^2[/tex]
On aurait tendance à dire non à cause du 3, mais 18 se divide aussi par 3 :
[tex]\frac{18}{75}=\frac{18\div 3}{75\div 3} =\frac{6}{25}=\frac{6}{5^2}=\frac{2^2\times 6}{2^2\times 5^2}=\frac{24}{100}=0,24[/tex] Donc oui.
Mais pour :
[tex]\frac{98}{75}[/tex] la réponse est non, je ne peux pas "éliminer" le 3 du dénominateur ;
[tex]98 = 2 \times 7^2[/tex]
[tex]75 = 3 \times 5^2[/tex]

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#23 23-11-2016 14:20:18

pasmatheuse06
Invité

Re : Base de numération

Bonjour,
Oui le topo des 6 eme m'intéresse.
Merci

#24 23-11-2016 17:42:29

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 11 391

Re : Base de numération

Salut,

C'est parti.
As-tu compris les explications ci-dessus ?

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