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#1 10-10-2016 10:58:28

tina
Membre
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Messages : 285

ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Bonjour,
on définit la valeur prinçipale [tex]vp \dfrac{1}{x}[/tex] de la manière suivante:
[tex]
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi \rangle = \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} \ \mathrm{d}x.
[/tex]

J'ai montré que [tex]vp \dfrac{1}{x}[/tex] est une distribution d'ordre inférieure ou égale à 1. Ma question est comment montrer qu'elle est d'ordre 1? En utilisant une suite de fonctions plataux?
Je vous remercie par avance.

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#2 10-10-2016 11:30:03

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 702

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Bonjour,

  Il faut montrer que la distribution ne peut pas être d'ordre 0...
Pour cela, il faut partir d'un bon ensemble de fonctions tests.

On peut prendre par exemple une suite de fonctions tests $(\varphi_n)$ telles que
* $\textrm{supp}(\varphi_n)\subset[-2,2]$
* $0\leq\varphi_n\leq 1$
* $\varphi_n=1$ sur $[2/n,1]$
* $\varphi_n=0$ sur $]-\infty,2/n]$.

Une telle suite de fonctions existe (c'est un type de fonctions plateaux).
On a
$$\langle vp(1/x),\varphi_n\rangle\geq \int_{2/n}^1\varphi_n(x)dx\geq\int_{2/n}^1 \frac1x dx\geq \ln n-\ln 2.$$

Si la distribution valeur principale était d'ordre 0, alors il existerait une constante $C$ telle que, pour tout $n$,

$$\left|\langle vp(1/x),\varphi_n\rangle\right|\leq C\sup_{x\in [-2,2]}|\varphi_n(x)|\leq C.$$

Donc elle n'est pas d'ordre 0.

F.

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#3 10-10-2016 16:50:15

tina
Membre
Inscription : 27-03-2014
Messages : 285

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Merci pour l'idée. S'il vous plaît,
1. Pourquoi le choix du compact [tex][2/n,1][/tex], et pourquoi elle est nulle sur [tex]]-\infty,2/n][/tex] exactement? Pourquoi pas sur [tex]]1,+\infty[?[/tex]
2. Moi je trouve que
[tex]|\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi \rangle| = |\displaystyle\int_{2/n}^1 \dfrac{\varphi_n(x)}{x} dx|[/tex]. Pourquoi vous avez écrit que c'est supérieur ou égale au lieu de l'égalité?
Merci beaucoup

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#4 10-10-2016 19:29:37

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 702

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

La réponse à tes deux question est la même. Je ne sais pas ce que fait la fonction sur $[1,2]$. En particulier, elle doit se raccorder de façon $\mathcal C^\infty$ pour valoir 1 en 1 et 0 en 2 (et même sur $[2,+\infty[$).

On aurait pu choisir un autre compact que $[2/n,1]$... N'importe quel compact du type $[\varepsilon_n,1]$ avec $(\varepsilon_n)$ qui tend vers 0 fonctionnerait...

F.

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#5 12-10-2016 12:33:26

tina
Membre
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Messages : 285

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Question un peut bête, mais pourquoi est-ce que le compact [tex]K[/tex] doît être de la forme [tex][\epsilon_n, 1]?[/tex] Qu'est ce qui nous indique ce choix? S'il vous plaît.
Merci beaucoup

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#6 12-10-2016 12:51:06

Fred
Administrateur
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Messages : 4 702

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Parce que ce qui est important, c'est que $1/x$ est grand autour de 0, et il faut s'approcher de 0 aussi près qu'on veut...
Le 1, on aurait pu le remplacer par n'importe quoi d'autre.

F.

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#7 13-10-2016 21:36:46

tina
Membre
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Messages : 285

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

J'ai essayé de comprendre votre explication mais je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider à comprendre s'il vous plaît. Alors voilà comment je procède pour déterminer le compact K sur lequel la suite vaut 1. [tex]K=[a,b][/tex] et il faut trouver [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex].
On a:
[tex]
\langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi_n \rangle = \displaystyle\int_{-A}^A \psi_n(x) dx = \displaystyle\int_{-A}^a \psi_n(x) dx +
\displaystyle\int_a^b \psi_n(x) dx+ \displaystyle\int_b^A \psi_n(x) dx
[/tex]
avec [tex]\psi_n(x)= \dfrac{\varphi_n(x)}{x}[/tex].
1. Tout d'abord, pour l'ouvert sur lequel [tex]\varphi_n = 0[/tex], comment savoir si on prend [tex]]-A,a[[/tex] ou [tex]]b,A[[/tex]?
2. Ensuite, on peut écrire que
[tex]
\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi_n \rangle \geq \displaystyle\int_a^b \dfrac{\varphi_n(x)}{x} dx
[/tex]
Si on suppose que [tex]\varphi_n=1[/tex] sur [tex][a,b][/tex], alors
[tex]
\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi_n\rangle \geq \displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{x}= \ln|b|-\ln|a|
[/tex]
A ce stade, comment on détermine a et b pour avoir ce qu'on cherche? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance.

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#8 14-10-2016 07:27:18

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 702

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

tina a écrit :

1. Tout d'abord, pour l'ouvert sur lequel [tex]\varphi_n = 0[/tex], comment savoir si on prend [tex]]-A,a[[/tex] ou [tex]]b,A[[/tex]?

Puisque tu veux que $\varphi_n$ soit continue, c'est impossible qu'elle soit égale à 1 sur [a,b] et nulle sur ]-A,a[... Sinon, elle devrait être égale à la fois à 1 et à 0 en a....

Il te faut prendre un peu de marge.  Tu dois prendre $c<a$ et $d>b$, et là tu peux demander que $\varphi_n$ soit nulle sur
$]-\infty,c[\cup ]d,+\infty[$ (rien ne t'interdit de prendre la réunion....).

Ensuite, ton écriture de $\langle vf\frac{1}x,\varphi_n \rangle$ où la limite a disparu n'est pas valable tout le temps. Il faut par exemple supposer que $c>0$.

[tex]
\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi_n\rangle \geq \displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{x}= \ln|b|-\ln|a|
[/tex]
A ce stade, comment on détermine a et b pour avoir ce qu'on cherche? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance.

Si ta distribution était d'ordre 0, puisque $\|\varphi_n\|_\infty\leq 1$ pour tout $n$, et que $\varphi_n$ est à support toujours contenu dans $[-2,2]$ (il faut ici que le compact ne dépende pas de $n$), il existerait une constante $C>0$ telle que
$$\ln(b_n)-\ln(a_n)\leq \langle vf\frac 1x,\varphi_n\leq C$$
(ici, j'ai mis $a_n$ et $b_n$ au lieu de tes notations $a$ et $b$ car ces deux réels vont dépendre de $n$).

Pour aboutir à une contradiction, il faut trouver $a_n$ et $b_n$ de sorte que $\ln(b_n)-\ln(a_n)$ tend vers l'infini,
tout en respectant les contraintes précédemment imposées (on doit avoir $0<a_n<b_n<2$).

F.

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#9 14-10-2016 09:50:03

tina
Membre
Inscription : 27-03-2014
Messages : 285

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Merci pour la réponse. J'ai quelques questions s'il vous plaît.
1. Vous dîtes que le compact ne doit pas dépendre de [tex]n.[/tex] C'est le compact qui contient le support de [tex]\varphi_n?[/tex] Pourquoi il ne doît pas dépendre de n?

2. Pourquoi le compact K sur lequel [tex]\varphi_n=1[/tex] doît-il dépendre de [tex]n?[/tex]

3. Au départ, on a dit que [tex]\varphi_n=1[/tex] sur [tex][\dfrac{2}{n},1][/tex] et [tex]\varphi_n=0[/tex] sur [tex]]-\infty, \dfrac{2}{n}][/tex]. Mais là on n'a pas la continuité de [tex]\varphi_n[/tex] au point [tex]\dfrac{2}{n}[/tex]. Non?

4. Pourquoi avoir choisi exactement [tex]a_n=\dfrac{2}{n}[/tex]?

Je vous remercie par avance.

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#10 14-10-2016 11:52:23

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 702

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

tina a écrit :

Merci pour la réponse. J'ai quelques questions s'il vous plaît.
1. Vous dîtes que le compact ne doit pas dépendre de [tex]n.[/tex] C'est le compact qui contient le support de [tex]\varphi_n?[/tex] Pourquoi il ne doît pas dépendre de n?

Quand tu appliques la définition d'une distribution d'ordre 0, tu obtiens une constante $C_L$ qui dépend du compact $L$ dans lequel est le support de $\varphi$. L'argument de la fin consistant à faire varier $n$, il faut que cette constante ne dépende pas de $n$ pour arriver à une contradiction. D'où la nécessité d'avoir un compact fixe tel que le support de tous les $\varphi_n$ soit inclus dans ce compact.

2. Pourquoi le compact K sur lequel [tex]\varphi_n=1[/tex] doît-il dépendre de [tex]n?[/tex]

Sinon tu obtiens une minoration de $\langle vp(1/x),\varphi_n\rangle$ qui ne dépend pas de $n$, et tu en fais quoi?

3. Au départ, on a dit que [tex]\varphi_n=1[/tex] sur [tex][\dfrac{2}{n},1][/tex] et [tex]\varphi_n=0[/tex] sur [tex]]-\infty, \dfrac{2}{n}][/tex]. Mais là on n'a pas la continuité de [tex]\varphi_n[/tex] au point [tex]\dfrac{2}{n}[/tex]. Non?

Je me suis trompé, je voulais dire $\varphi_n=0$ sur $]-\infty,1/n[$.

4. Pourquoi avoir choisi exactement [tex]a_n=\dfrac{2}{n}[/tex]?

Lis-tu vraiment ce que j'écris? Je t'ai expliqué dans un post précédent qu'on s'en fichait que ce soit exactment 2/n, mais que....

F.

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#11 14-10-2016 17:51:05

tina
Membre
Inscription : 27-03-2014
Messages : 285

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

C'est OK , j'ai bien compris toutes les étapes. Il suffit de comprendre qu'on dit que [tex]vp \dfrac{[/tex] n'est pas d'ordre 0 si on trouve une suite de fonction [tex]\varphi_n[/tex], telle que pour tout compact L, il existe [tex]\varphi_n \in \mathcal{D}_L[/tex], il existe une constante [tex]C_L[/tex] telle que
[tex]
\langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi_n \rangle \leq C_L ||\varphi||_{\infty}
[/tex]
avec
[tex]
\langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi_n \rangle \to +\infty \mbox{ quand } n \to +\infty
[/tex]
Mais j'ai un doute dans les quantificateurs. Est-ce que tout est bon? S'il vous plaît.

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#12 14-10-2016 19:00:49

Yassine
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Messages : 976

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Non ce n'est pas bon.
Une distribution $T$ est d'ordre $0$ si elle vérifie :
Pour tout compact $L \subset \Omega$, il existe une constante $C_L$ tels que pour toute fonction test $\varphi$ de support dans $L$, on ait la condition de continuité :
$\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_L \sup_{x\in L} |\varphi(x)|.$

La négation de cette propriété est la suivante :
Il existe un compact $L \subset \Omega$, tel que pour toute constante $C$, il existe une fonction de test $\varphi$ de support dans $L$ telle que
$\displaystyle |\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi \rangle| > C \sup_{x\in L} |\varphi(x)|.$

La demonstration de Fred procède comme suit : il prend d'abord pour compact $[-2,2]$ et il considère une constante $C$ quelconque. Il considère alors la suite de fonctions tests $\varphi_n$ et montre que  $\displaystyle |\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi \rangle| \ge \ln n - ln 2$. On peut donc trouver un $n$ tel que $\ln n - ln 2 > C$, appelons cet entier $n_0$ et posons $\varphi = \varphi_{n_0}$.
On a alors les inégalités suivantes : $\displaystyle |\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi \rangle| \ge \ln n_0 - ln 2 > C \ge C \sup_{x\in L} |\varphi(x)|$ (car $\|\varphi_n\|_\infty\leq 1$ pour tout $n$), soit encore   $\displaystyle |\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi \rangle| > C \sup_{x\in L} |\varphi(x)|$, CQFD.

Dernière modification par Yassine (15-10-2016 09:14:59)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#13 14-10-2016 19:43:27

sbl_bak
Membre
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Messages : 130

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Bonjour à tous,
Je viens dans cette discussion, juste pour une question.

A quoi correspond l'ordre d'une distribution? A quoi ça sert ? Pourquoi le définir?...

Merci d'avance pour vos réponses.

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#14 15-10-2016 09:46:07

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 976

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Bonjour,
Une tentative de réponse (sous le contrôle de Fred) :
Une distribution est définie par l'action qu'elle a sur les fonctions de tests, il est alors naturel de s'intéresser à caractériser cette action.
L'ordre est une indication qui permet d'avancer dans ce sens. Une distribution d'ordre $0$ va surtout être "sensible au niveau" de la fonction de test et non aux dérivées d'ordres supérieurs. C'est le cas des distributions associées aux fonctions $L^1_{loc}$ (on identifie la fonction à la distribution qu'elle défini). Si on a une distribution d'ordre $\ge 1$, on sait que n'est pas une fonction dans $L^1_{loc}$ (attention, la distribution de Dirac est d'ordre $0$ et n'est pas une fonction).
Par ailleurs, la transformation de Fourrier est définie pour les distribution tempérées, dont la restriction dans $\mathcal{D}'(\Omega)$ est d'ordre fini. Les distributions d'ordre infini sont donc des "bêtes" un peu sauvages !


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#15 04-11-2017 11:46:58

aichaa19
Invité

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Bonjour,

Comment montrer que la valeur principale vp(1/x) est une distribution d'ordre inférieure ou égale à 1.
mercii

#16 04-11-2017 12:57:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 702

Re : ordre de la distribution valeur principale vp(1/x)

Bonjour

  Reprends la démonstration du fait que c'est une distribution. En suivant les calculs tu devrais comprendre pourquoi son ordre est inférieur ou egal à 1. Si tu n'y arrives pas dis nous où tu bloques !

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