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#1 07-10-2016 20:24:23

PUSSY
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Pour boucher un creux

Bonjour,

Mon problème est compliqué à expliquer avec des mots.
Voici le schéma :

https://photos.google.com/share/AF1QipM … QxMzd0cVp3

J'aimerai connaitre la relation qui existe entre "r" et "r' " (ou "R" et "r' ").


Voilà plusieurs jour que j'essaie et je ne "décolle" pas !
Merci de votre aide,
PUSSY.

Dernière modification par PUSSY (07-10-2016 20:26:25)

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#2 07-10-2016 20:44:30

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bonsoir,
La figure est parfaitement définie, donc la solution est parfaitement définie.
Il suffit d'écrire les relations dans les triangles.
Cependant, il est possible, je n'ai pas essayé, que les équations soient d'une forme qu'on ne sait par résoudre autrement que par des méthodes numériques.
Qu'avez-vous trouvé comme relation ?

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#3 07-10-2016 20:54:23

PUSSY
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Re : Pour boucher un creux

Bonsoir,

Je n'ai trouvé pour le moment QUE la relation entre "r" et "R" (grâce au triangle en vert).

Dans le triangle <centre du cercle de rayon "r' " - centres des deux cercles de rayon "r" tangents>, il n'y a qu'un coté de connu (en vert) égal à "2r".

C'est peu pour trouver sa hauteur, non ?
Mais peut-être qu'il y a quelque chose que je ne vois pas !

Cordialement,
PUSSY.

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#4 08-10-2016 10:49:45

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour,
La relation entre "R" et "r", c'est bien de l'avoir trouvée, il ne faut pas s'arrêter en si bon chemin.
Qu'avez-vous essayé pour la suite ?
Vous parlez de hauteur, de quelle hauteur s'agit-t-il ?

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#5 08-10-2016 11:24:29

PUSSY
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour,

Pour que nous parlions tous de la même chose, je mets un schéma où les points sont nommés :

https://photos.google.com/share/AF1QipM … QxMzd0cVp3

Je parlais de la hauteur du triangle ABD.
Dans le triangle OBD (ou OAD), les trois cotés sont connus (R-r', r+r', (2r/31/2) ) mais après ?

Je ne m'arrête pas, je dis que je bloque !

Cordialement,
PUSSY.

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#6 08-10-2016 12:01:05

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bon, lorsque vous dites que dans le triangle OBD, les trois côtés sont connus, ce n'est qu'en partie vrai, puisque vous connaissez R, r, mais pas r', par contre on peut peut-être écrire une relation telle que r' = quelque-chose de connu. Par ailleurs, vous connaissez une autre donnée pour ce triangle, l'angle en O. Ce serait peut-être intéressant de s'en servir.

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#7 08-10-2016 15:08:46

yoshi
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour,

Bienvenue chez nous...
Ok pour ta relation [tex]R = r\left(\frac{2}{\sqrt 3}+1\right)=r\left(\frac{2+\sqrt  3}{\sqrt 3}\right)=\frac{r(3+2\sqrt 3)}{3}[/tex]
Il me semblait en effet avoir rencontré ces histoires de cercles tangents : cercles de Descartes.
Le théorème des cercles de Descartes est bien documenté sur Internet et notamment ici : http://mathafou.free.fr/themes/kdescartes.html.
Script associé (je ne vais pas réinventer la roue) : http://mathafou.free.fr/exe/exesoddy.html.

Donc on a [tex]R= \frac{r(3+2\sqrt 3)}{3}[/tex], mais je pense préférable d'écrire r en fonction de R :
[tex]r = \frac{3R}{3+2\sqrt 3}=R(2\sqrt 3-3)[/tex]

Je prends un repère orthonormé  où O centre du grand cercle est le centre du repère.
J'appelle [tex]O_1[/tex] le le cente du petit cercle du haut (appartenant à l'axe des ordonnées).
L'ordonnée du point [tex]O_1[/tex]  est[tex] R-R(2\sqrt 3 -3) =2R(2-\sqrt 3)[/tex]
D'où [tex]O_1(0\;;\;2R(2-\sqrt 3))[/tex]
J'ai donc de même
[tex]O_2(-R(2\sqrt 3 - 3)\;;\;-R(2-\sqrt 3))[/tex]
[tex]O_3(R(2\sqrt 3 - 3)\;;\;-R(2-\sqrt 3))[/tex]
Ce sont ces formules qui m'ont permis de tracer un dessin propre avec Geogebra (j'ai pris arbitrairement R=6)...
161008052142397602.jpg
Maintenant, je vais m'attaquer au 5e cercle, j'espère m'en sortir parce que les calculs sont pénibles.
Je vais d'abord essayer analytiquement :le centre que je vais chercher est sur [OG].
La droite (OG) a pour équation [tex]y=\frac{\sqrt 3}{3}x[/tex]
Je vais prendre un point quelconque I sur [OG] de coordonnées [tex]\left(m\,;\,\frac{m\sqrt 3}{3}\right)[/tex], écrire la valeur littérale de IG et l'équation du cercle passant par I et de rayon IG, et de chercher les coordonnées du point d'intersection unique de ce cercle avec (O1) : s'il est tangent à (O1), par symétrie, il devrait être tangent à (O2).

Si je ne viens à bout de mes calculs (*), j'essaierai avec Descartes...

Si jpp passe par là, lui, c'est un vraiment un spécialiste de ce genre de calcul.

@+

[EDIT] (*) Je ne pense pas y arriver comme ça : j'ai 3 inconnues, le rayon de mon cercle et les coordonnées du centre...

Dernière modification par yoshi (08-10-2016 16:06:18)


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#8 08-10-2016 16:45:54

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bon, manifestement le but est de résoudre l'exercice.
Dans le triangle OBD, on écrit la relation dite du cosinus, connue aussi sous le nom de El Kachi, cela donne
BD² = OB² + OD² - 2 OB OD cos(BOD)
Je vous laisse remplacer par les valeurs. Vous devriez arriver à une équation du second degré avec une racine évidente.

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#9 08-10-2016 18:07:36

PUSSY
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour à tous et merci aux deux intervenants,

@yoshi : je n'avais absolument pas pensé à la solution analytique, mais il est vrai qu'à mon age (très avancé), jongler avec les calculs n'est plus ma tasse de thé.
@ Dlzlogic : Sympa ta formule ! Il me semble en avoir entendu parler dans ma jeunesse ! Il faudra que je fasse une recherche sur cette formule (ey son histoire) et bien évidement, que je cherche la solution de cette équation.

Je vous tiens au courant des résultats, d'ici quelques temps.

Cordialement,
PUSSY.

Dernière modification par PUSSY (09-10-2016 13:52:21)

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#10 08-10-2016 19:03:34

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bon, à mon avis, il faut oublier son petit nom qui n'est utilisé qu'en France et depuis pas très longtemps.
Pour la résolution de triangles quelconques, on a deux formules à notre disposition. La formule des sinus a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R,
et la formule du cosinus a² = b² + c² -2 bc cosA.
Il y a d'autres formules qui utilisent l'aire du triangle, mais dans presque tous les cas, ces deux formules suffisent.
Bonne soirée.

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#11 08-10-2016 19:28:49

yoshi
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Re : Pour boucher un creux

Salut,

Cher Dlz, bravo ! il me faut reconnaître que je cherchais bien loin, ce que j'avais tout près... Et moi qu pensais à lire ce que tu écrivais, que tu ne savais pas du tout où tu allais et que tu débitais des platitudes...
Tu as bien caché ton jeu ! Encore bravo !
Je calculerai le rayon demain, et j'en déduirai les coordonnées de mon centre I...
Et ainsi, je pourrai compléter mon dessin Geogebra : c'est une pierre (provisoire) dans mon jardin que de n'avoir pas tracé ce 5e cercle...

@PUSSY : Oh, mais moi aussi, j'ai des km au compteur. Heureusement, le cerveau ne s'use que si ion ne s'en sert pas (comme certaines piles de notre jeunesse). ^_^
En l'occurrence, la solution analytique était pourtant une mauvaise idée.

@+


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#12 08-10-2016 19:52:00

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bonsoir Yoshi,
Ce genre de problème de géométrie plane fait partie de mes compétences élémentaires.
Cependant, ce n'est en aucun cas la panacée. Il est évident que la géométrie analytique est un outil incontournable.
Cette discussion met en évidence un point fondamental : un membre pose une question, ou plutôt dit qu'il n'arrive pas à résoudre tel exercice. Je suis complètement déconnecté du système éducatif, donc a priori je suis incapable de donner la solution qu'il attend. Donc, pour moi, le seul moyen de l'aider est de le guider et la seule méthode est de lui poser des questions.
C'est la seule façon que je connaisse. Naturellement je n'ai jamais "caché mon jeu".
Pour le sujet dont il s'agit, j'avoue que j'aimerais bien savoir le but réel de cette question.

Bonne soirée.
[HS] Dans mon logiciel, j'ai une fonction de "calcul de centre de cercle". C'est un calcul par contrainte, je crois avoir étudié tous les cas possibles, de mémoire, il y en a 24. Toute l'info à ta disposition. [/HS]

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#13 08-10-2016 22:36:47

jpp
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Re : Pour boucher un creux

salut.

calcul de r'  en fonction de r  :
[tex]r' = r\times{\frac{2 + \sqrt3}{6 + \sqrt3}} \approx0.4826728..r[/tex]

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#14 09-10-2016 10:42:49

Ostap Bender
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour à tous.

Que pensez-vous de l'idée d'inverser la figure par rapport au point de tangence du cercle de rayon [tex]R[/tex] et du cercle de rayon [tex]r'[/tex] ?

Bon dimanche,

Ostap Bender.

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#15 09-10-2016 12:34:35

yoshi
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour,

Depuis hier soir, je n'ai pas arrêté de calculer comme un sabot, alors comme ne n'aime pas  trop emprunter les chemins des autres, j'ai fait une infidélité à Al Kashi, et suis allé retrouver ce bon vieux Pythagore (ou toutefois ses mânes) : les calculs se sont révélés moins lourds.
161009011324540569.jpg
Fichier geogebra à votre disposition...

Le triangle O1DI est rectangle D.
[OD] est une médiane O1O2O3 est équilatéral, donc isocèle et la médiane est aussi médiatrice et hauteur relative au côté [O1O3] et bissectrice de [tex]\widehat{O_1O_2O_3}[/tex]
Les angles [tex]\widehat{IO_2O_3}[/tex] et  [tex]\widehat{IOy}[/tex], en position d'angles correspondants avec (O_2O_3)//[Oy sont donc égaux [tex]\left(\text{à }\frac{pi}{6}\right)[/tex]).
J'ai [tex]O_1I=r+r'[/tex], [tex]O_1D=r[/tex] et [tex]DI = OG-OD-IG = R-OO_1/2-r'[/tex]
[tex]DI = R-R(2-\sqrt 3)-r' = R(1-2+\sqrt 3)-r'[/tex]
On a donc ;
[tex]DI=R(\sqrt 3 - 1)-r'[/tex]
[tex]O1D=r[/tex]
[tex]O_1I=r'+r[/tex]
Et pas plus qu'avec Al Kashi, je n'obtiens d'équation du 2nd degré.
Donc théorème de Pyrthagore :
[tex](r'+r)^2=[R(\sqrt 3 -1)-r']^2+r^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]r'^2+2r'r+r^2 = R^2(4-2\sqrt 3)-2Rr'(\sqrt 3-1)+r'^2+r'2[/tex]
Je simplifie en supprimant [tex]r'2+r^2[/tex] dans chaque membre :
[tex]2r'r= R^2(4-2\sqrt 3)-2Rr'(\sqrt 3-1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2R(2\sqrt 3-3)r'+2R(\sqrt 3-1)r'=R^2(4-2\sqrt 3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2R(2\sqrt 3-3+\sqrt 3-1)r'=2R^2(2-\sqrt 3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2R(3\sqrt 3-4)r'=2R^2(2-\sqrt 3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]r'=\frac{2R^2(2-\sqrt 3)}{2R(3\sqrt 3-4)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]r'=\frac{R(2-\sqrt 3)}{3\sqrt 3-4}[/tex]
Je rends rationnel le dénominateur :
[tex]r'=\frac{R(2\sqrt 3-1)}{11}[/tex]
J'en tire :
[tex]I\left(\frac{3R(2\sqrt 3-1)}{11}\,;\,\frac{R(6-\sqrt 3)}{11}\right)[/tex]

[tex]J(\left(\frac{-3R(2\sqrt 3-1)}{11}\,;\,\frac{R(6-\sqrt 3)}{11}\right)[/tex]
et comme OK = OI
[tex]K\left(0\,;\,\frac{R(13\sqrt 3-12)}{11}\right)[/tex]
Le dessin est là pour attester de l'exactitude des calculs : tous les cercles ont été placés à partir des coordonnées calculées des points et des rayons calculés également...

@+

[EDIT]

Ostap Bender a écrit :

Que pensez-vous de l'idée d'inverser la figure par rapport au point de tangence du cercle de rayon R et du cercle de rayon r′ ?

inverser avec  i minuscule = verbe dont dérive le mot Inversion avec majuscule ?
Que dirais-tu de lâcher un peu plus d'info ? Parce que telle quelle ta suggestion ne m'inspire pas ; s'il s'agit d'utiliser une Inversion, personnellement, je n'ai pas retouché à cette transformation ponctuelle depuis 1966 ! Alors vois-tu... ;-)
Bon, moi, j'ai fait avec des outils de 4e/3e Pythagore, produits remarquables, résolution d'équation se ramenant au 1er degré et une petite incursion en lycée avec l'emploi de la quantité conjuguée.

Dernière modification par yoshi (09-10-2016 12:56:13)


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#16 09-10-2016 13:39:35

PUSSY
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour,

Oh la la la formule, même si elle est du premier degré !
Même en remplaçant "r' " par "x" pour éviter les erreurs, en faisant le calcul, je trouve un résultat trop petit par rapport au dessin.
En recommençant, je trouve un résultat absurde !
Donc je dois me tromper quelque part. A refaire à tête reposée.

Pour l'info, j'essaie de réaliser des trépieds. Plutôt que d'articuler les pieds sur un mat central, j'ai pensé introduire trois tubes (Ø20) (les ronds noirs) dans un manchon (Ø43 intérieur) (le rond rouge). Seulement, pour un montage/démontage facile, il faut du jeu et qui dit jeu dit instabilité.
Je comptais réduire le manque de rigidité en introduisant deux contacts supplémentaires au niveau des tubes Ø20 (ronds noirs).

Voilà, vous savez tout (ou presque).
Pour ce projet, soit je recommencerai le calcul jusqu'à trouver un résultat cohérent, soit j'utiliserai un logiciel de dessin avec "accroche objets", soit je ferai des essais.

Je vois que "JPP" à été plus rapide (plus ordonné) que moi car son résultat colle à la réalité.
Je vais donc, pour le fun, essayer de trouver le même résultat.

Problème résolu en ce qui me concerne.
Merci pour l'aide.
Bye.

Dernière modification par PUSSY (09-10-2016 13:51:21)

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#17 09-10-2016 13:41:49

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour Yoshi,

Yoshi a écrit :

Et pas plus qu'avec Al Kashi, je n'obtiens d'équation du 2nd degré.

Comme je suis très paresseux, je n'ai pas fait le calcul. Cependant, que ce soit avec Pythagore ou une autre formule, les termes sont de la forme (a+b)² ou (a-b)² autrement dit on a forcément des distances au carré. D'autre part la définition du cercle de rayon r' est d'être tangent aux cercles de centre A et de centre B, rayon r. Le cercle de centre O et de rayon R répond aussi à la question.
La façon de mener les calculs permet une simplification, ce qui permet d'ignorer la solution où r' = R.
On remarque aussi que la solution r' = r existe aussi. La présence de la figure lève toute ambiguïté.

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#18 09-10-2016 13:57:08

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour Pussy,
Là, je comprends mieux.
D'abord, je vous conseille de bien vérifier les diamètres : r = 20 et R = 43. Si ce sont des valeurs normalisées, alors il s'agit probablement du diamètre extérieur.
Pour faciliter le montage et démontage, (en espérant que les 3 tubes de 20 entrent dans le tube de 43), je pense qu'il serait préférable de prévoir une petite pièce cylindrique qui pourra entrer à l'axe (entre les 3 tubes) et qui plaquera les 3 tubes. Je pense à la technique utilisée pour bloquer les guidons de vélo.
N'hésitez pas à revenir, ce problème est intéressant.

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#19 09-10-2016 14:02:08

yoshi
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Re : Pour boucher un creux

Re,

PUSSY a écrit :

Je vois que "JPP" à été plus rapide (plus ordonné) que moi car son résultat colle à la réalité.
Je vais donc, pour le fun, essayer de trouver le même résultat.

Oh, mais mes résultats sont bons aussi...
Tout a été vérifié 2 fois avant de poster.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#20 09-10-2016 14:05:39

PUSSY
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Re : Pour boucher un creux

Bonjour,

Les problèmes de dimensions "standards" ne sont pas un problème car le dispose d'un tour.
Une pièce pour bloquer les tube, j'y avais pensé car il faut prévoir de fixer quelque chose au sommet (sinon pourquoi un trépied ?),
mais l'idée d'ajouter 3 tubes (ronds bleus) fixes (dans le manchon rouge) m'a traversé l'esprit et j'ai voulu "aller jusqu'au bout" de la réflexion (en présumant un peu de mes capacités , et de ma mémoire surtout).

Forum très sympa !

Bien cordialement,
PUSSY.

Dernière modification par PUSSY (09-10-2016 14:06:18)

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#21 09-10-2016 19:12:51

camille23
Invité

Re : Pour boucher un creux

Bonsoir,

Les formules de jpp et de yoshi sont bonnes bien sûr,
Celles de Dlzlogic ?

Ostap Bender propose bien une Inversion telle qu'enseignée jadis en géométrie de seconde-Lycée. Le centre d'inversion qu'il propose permet de transformer les cercles de rayons R et r' en droites tangentes à 2 cercles de rayon r. Si en plus la puissance choisie conserve ces 2 cercles, c'est gagné pour un tracé facile du cercle de rayon r' "à la règle et au compas".

#22 09-10-2016 19:19:09

camille23
Invité

Re : Pour boucher un creux

Petit correctif :
...transformer les cercles de rayons R et r' en droites tangentes à 2 cercles "transformés de 2 cercles" de rayon r...
Ce "transformés de 2 cercles" m'a échappé !!

#23 09-10-2016 20:48:30

Dlzlogic
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Re : Pour boucher un creux

Bonsoir Camille,
Je n'ai pas vu que JPP ait donné une formule, juste un résultat.
Yoshi a utilisé des formules qui sont plus de base, mais qu'importe, le plus important est de trouver le résultat.
Par contre, d'après ton message, il semblerait que les formules que j'ai citées ne seraient pas bonnes, aurais-je fait une faute de frappe ?
Concernant le problème posé, naturellement, c'est la relation du cosinus qui est intéressante. Aurais-tu trouvé un résultat différent ?

PS. je ne suis pas sûr que l'inversion ait été enseignée en seconde, au moins dans les dernières décennies. Personnellement, je l'ai étudiée en terminale et comme je n'ai pas eu l'occasion de m'en servir depuis, sauf son nom et le principe, je l'ai complètement oubliée.

Dernière modification par Dlzlogic (09-10-2016 20:52:53)

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#24 10-10-2016 12:35:14

camille23
Invité

Re : Pour boucher un creux

Bonjour,

On va donc construire un petit cercle de rayon r'  PAR INVERSION en partant de la figure de yoshi #15 le 09/10/2016 à 13:34:35
En choisissant de trouver le centre I quand le diamètre [BG] (partie de la médiatrice de [O1O3]) est tracé,

On prend G comme centre d'inversion et GD² comme puissance d'inversion, ce qui transforme les cercles de rayon r et de centres O1 et O3 en eux-mêmes,
Désignons par (O3,r) le cercle de centre O3 et de rayon r :
Il suffit de tracer une parallèle à [BG] passant par O3 qui intersecte le cercle (O3, r) en W et W'. (W étant le plus éloigné de G), Le segment [GW]intersecte le (O3,r) exactement au point de contact  X des cercles de centre O3 et I. Pour trouver I on prend l'intersection de [BG] avec la médiatrice de [GX].

Cela est si simple parce que les inverses des cercles de rayons R et r' qui passent en G sont les 2 droites tangentes communes aux cercles de rayons r et de centres O1 et O3.

#25 18-10-2016 20:10:20

Norilin
Membre
Inscription : 18-10-2016
Messages : 3

Re : Pour boucher un creux

Bonjour, donc c'est réglé ton problème? si oui passe-moi stp la solution en mp car j'ai presque le même exercice

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