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#1 01-09-2016 20:31:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 702

Un tour de cartes de Claude Bachet de Mézirac

Bonjour,

  Dans ses célèbres Problèmes plaisans et délectables, consultable sur Gallica, Gaspard Bachet de Méziriac propose le tour de cartes suivant, où les cartes sont présentées faces visibles :

"Le meneur de jeu dispose de 15 cartes qu'il range en trois lignes de cinq cartes. Il demande au joueur de choisir mentalement une carte et de dire seulement dans quelle ligne elle est.
Puis il ramasse chaque ligne de gauche à droite en respectant l'ordre des cartes (la gauche devenant le haut, et la droite le bas), les met ensuite en pile, la ligne de la carte étant mise au milieu.
Il remet alors les cartes en trois lignes comme ceci, en commençant par la gauche : 1ère carte en ligne 1, 2ème carte en ligne 2, 3ème carte en ligne 3, 4è en ligne 1, etc... Il demande au joueur dans quelle ligne se trouve sa carte. Puis il ramasse les cartes de la même façon que précédemment, et les redistribue également de la même façon.
Il demande pour la troisième fois dans quelle ligne la carte se trouve... et la trouve!".

Voici plusieurs petits problèmes :
* où est la carte?
* sauriez-vous le démontrer?
* est-ce que ceci se généralise? C'est-à-dire, si on dispose de pq cartes rangées en p lignes de q cartes, et qu'on itère un processus similaire un certain nombre de fois, va-t-on finir par trouver la carte choisie initialement???

A vous de jouer!
Fred.

NB. D'après un article de Pierre Legrand dans le bulletin vert de l'APMEP.

Hors ligne

#2 02-09-2016 09:32:47

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 200

Re : Un tour de cartes de Claude Bachet de Mézirac

Salut,
ce tour de cartes mathématique n'est pas récent, on est bien d'accord ? :)

Hors ligne

#3 02-09-2016 10:31:38

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Un tour de cartes de Claude Bachet de Mézirac

salut.




avec  15 cartes

L=5 (longueur de la ligne)  et  C = 3 ( hauteur de la colonne)  N = L.C  est le nombre de cartes , C lignes et L colonnes .

lorsque le meneur pose la seconde question au joueur , ce dernier répond :

a) ligne 1  ( 2 solutions possibles et le meneur ne peut conclure ) , les 2 cartes possibles sont 3 ou 4

b) ligne 2 ( une seule solution et le meneur peut conclure) , de toute façon sa carte ne bougera pas car elle est au centre du rectangle 5 x 3

c) ligne  3 ( 2 solutions possibles et le meneur ne peut conclure) , les 2 cartes possibles sont 2 ou 3

Ainsi , après le troisième placement des cartes , le meneur pose la dernière question et dans ce cas une seule des 2 cartes candidates se trouve sur la ligne sélectionnée.

La quantité de cartes doit être un nombre impair.

avec 35 cartes --> 3 questions aussi sont nécessaires . Les lignes sont plus longues que les colonnes .

Si L = C² + 2  ,  ex:  C = 3 & L = 11 , à l'issue de la seconde question la première et la troisième ligne ont chacune 4 candidats possibles . Alors au troisième placement , il y aura donc

au moins une ligne avec 2 candidats possibles . Dans ce cas alors , au pire 4 questions devront être posées .

Pour conclure si N est premier , pas de rectangle et je ne joue pas.

Si N est le produit de 2 impairs premiers , un seul rectangle possible ( 3 x 7= 21 )  , je mène le jeu avec 3 questions dans ce cas .

Si N est le produit de 2 impairs premiers , un seul rectangle possible ( 3 x 11= 33 )  , je mène le jeu avec 4 questions dans ce cas .

Si N est le produit de 2 impairs premiers , un seul rectangle possible ( 3 x 13= 39 )  , je mène le jeu avec 4 questions dans ce cas .

je pense qu'en règle générale , si :

[tex]  C^k = L [/tex]  (k + 1) questions doivent être posées. ex: C = 3 & L = 9  ,  27 cartes

[tex]  C^k < L < C^{k+1} [/tex]  (k + 2) questions doivent être posées.

ex: C = 5  &  L = 27  ---> 135 cartes ( cela peut être des symboles tous différents )  ---> k = 2 --> 4 questions .

Hors ligne

#4 02-09-2016 12:40:39

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Un tour de cartes de Claude Bachet de Mézirac

Salut,

j'ai la démonstration de la solution avec 15 cartes, je cherche si et sous quelles conditions c'est généralisable.

15 cartes

on montre que la carte est, après les deux manipulations, toujours dans la troisième colonne. Pour la ligne, c'est le copain qui nous le dit.


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#5 04-09-2016 07:53:32

camille23
Invité

Re : Un tour de cartes de Claude Bachet de Mézirac

Bonjour,

jpp a écrit :

La quantité de cartes doit être un nombre impair.

Exemple : 4 lignes de 16 colonnes, numérotées de 1 à 16,
je place la première ligne désignée en 2ème position,
je redistribue : les 16 cartes possibles viennent dans les colonnes 4,5,6,7,
je place la ligne à nouveau désignée en 2ème position,
je redistribue : les 4 cartes possibles viennent dans la colonne 6,
la ligne à nouveau désignée donne la carte.

Est-ce que je fais erreur ?

#6 04-09-2016 09:53:31

camille23
Invité

Re : Un tour de cartes de Claude Bachet de Mézirac

lire bien sûr : 5,6,7,8 au lieu de 4,5,6,7

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