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#1 28-08-2016 17:16:46

Dlzlogic
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Cancul d'aire d'un triangle

Bonjour,
Un très joli problème.
Soit un triangle ABC.
Soit un point M appartenant à AB et un point N appartenant à AC
Les segments BN de CM se coupent en O.
L'aire du triangle AMN est égale à 24 cm².
L'aire du triangle OMN est égale à 6 cm².
L'aire du triangle OBC est égale à 20 cm².
Calculer l'aire du triangle ABC.

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#2 28-08-2016 20:57:02

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Bonsoir,

On prend un exemple facilement au "hasard" :

$A[0,\ 0]$
$N[1,\ 0]$
$M[0,\ 48]$ : L'aire du triangle AMN est égale à 24 cm².
$O[5/8+\sqrt{105}/56, \ 30-6\sqrt{105}/7]$ : L'aire du triangle OMN est égale à 6 cm².
$B[0, \ 48(35-\sqrt{105})/(21-\sqrt{105})]$
$C[(35+\sqrt{105})/(21+\sqrt{105}), \ 0]$ : L'aire du triangle OBC est égale à 20 cm².

On trouve ainsi que l'aire du triangle ABC vaut 80 cm² (et aussi l'aire du triangle ABC vaut 4 fois celle du triangle OBC...).

Voilà.

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#3 28-08-2016 21:32:00

Dlzlogic
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Bravo.
Que ceux qui ont compris la démonstrations veuillent bien l'expliquer aux membres du forum.
En fait, il aurait été plus rapide de donner la réponse tout simplement.
Merci Léon.

Dernière modification par Dlzlogic (28-08-2016 21:35:57)

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#4 28-08-2016 22:44:29

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Dlzlogic a écrit :

Que ceux qui ont compris la démonstrations veuillent bien l'expliquer aux membres du forum.

Oh, mais tu as le droit de dire "c'est pas vrai" si tu n'as pas compris la démonstration. De toute manière, j'ai pris mon exemple un peu au pif, et comme le hasard est unique, on tombe forcément sur la bonne valeur.

Bonne soirée.

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#5 29-08-2016 11:35:08

tibo
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Salut,

Il y a quand même quelque chose de très gênant dans la réponse de leon : c'est un cas particulier.
Et même un cas très particulier : ABC est rectangle en A !
Qui nous dit que la réponse de 80cm² est vraie pour tout triangle ABC?

Bon et je ne peux m’empêcher de réagir :

Dlz a écrit :

En fait, il aurait été plus rapide de donner la réponse tout simplement.

C'est vrai qu'il est toujours plus facile d'affirmer des trucs sans les démontrer, mais un peu moins rigoureux quand même.

Et oui mon post n'apporte aucune ébauche de solution ^^
Mais je planche dessus, et ce n'est pas si facile.


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#6 29-08-2016 11:42:21

Dlzlogic
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Salut Léon,

Léon a écrit :

comme le hasard est unique, on tombe forcément sur la bonne valeur.

C'est un peu [hs], mais je crois que je viens de comprendre peut-être quelque-chose. Comme tu n'as pas l'habitude d'écrire sans réfléchir, je suppose que tu n'as pas dit juste cette phrase pour te moquer.
Quand je dis "le hasard est unique", je parle du hasard comme d'une fonction. Prenons le tir à l'arc sur cible. Le tireur est expérimenté, n'a pas trop bu lors du déjeuner et sait que ce tir est important. D'autre part, il y a le vent, non nul, même si chacun retient son souffle, l'imperfection de fabrication de la flèche, le battement d'aile d'un papillon dans le forêt amazonienne. Bref une quantité de facteurs qui feront que la position de l'impact dépend du hasard. Le Pr Rouaud décrit en détails cela dans son livre, à partir du tir à l'arc.

Donc, il me semble que cette nouvelle approche "orientée objet" qui définit et utilise des "choses" inexistantes en tant que telles pour définir des objets, qui fait un joli amalgame entre variable et fonction etc. est une des causes d'incompréhension en mathématiques.
Je pourrais détailler tout cela, mais ici, ce serait hors sujet.

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#7 29-08-2016 15:06:26

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

tibo a écrit :

Il y a quand même quelque chose de très gênant dans la réponse de leon : c'est un cas particulier.
Et même un cas très particulier : ABC est rectangle en A !
Qui nous dit que la réponse de 80cm² est vraie pour tout triangle ABC?

Tu as mathématiquement raison, nous sommes d'accord.

Explication de ma réponse : il y a ici des gens qui font de la psycho-mathématique... Une question est posée, les hypothèses sont assez flexibles pour fabriquer plein d'exemples. Mais on demande un résultat : on se doute que cette question n'est amusante que si la réponse est constante, quelle que soit la situation. Donc finalement, peu importe la situation particulière, elle donnera le bon résultat. Et l'expérience le confirme ! Mais tout ça est mal compris en mathématiques.

tibo a écrit :

Mais je planche dessus, et ce n'est pas si facile.

Bon courage :)

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#8 29-08-2016 15:45:37

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

En fait, l'exercice n'est qu'une application numérique d'une formule générale :

Soit C,B,M,N un quadrilatère tel que
les droites (MB) et (NC) se coupent en un point, noté A, et
les droites (MC) et (NB) se coupent en un point, noté O.

Alors Aire(M,O,N) * Aire(B,A,C) = Aire(M,A,N) * Aire(B,O,C) 

(échange de A et O, ça sent l'invariance par dualité quelque part...)

Dernière modification par leon1789 (29-08-2016 16:49:25)

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#9 29-08-2016 16:45:31

Dlzlogic
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Bonjour Tibo,
Ce problème est effectivement intéressant. Je ne sais pas comment Léon a trouvé la solution qu'il a donnée.
En tout cas, ce qui est certain, c'est qu'il n'a rien démontré. Il a calculé dans un contexte donné, il a conclu avec production d'un rapport 1/4, et là c'est clairement faux.

[Edit] (j'avais oublié d'envoyer le message.)
Petite info supplémentaire : ce problème semble être du niveau collège.

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#10 29-08-2016 17:02:29

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Dlzlogic a écrit :

Je ne sais pas comment Léon a trouvé la solution qu'il a donnée.

Et toi Dlzlogic, saurais-tu nous donner un exemple qui vérifie les hypothèses de l'énoncé ? Allez, fais voir :)

Dlzlogic a écrit :

En tout cas, ce qui est certain, c'est qu'il n'a rien démontré.

Je l'ai démontré (pas très difficile, avec un bon repère).

Dlzlogic a écrit :

Il a calculé dans un contexte donné, il a conclu avec production d'un rapport 1/4, et là c'est clairement faux.

Ah bon, 20/80 ne fait pas 1/4 ? Tu préfères dire "c'est pas vrai", cela te regarde... Si à chaque ligne tu dis "c'est pas vrai" on n'arrivera à rien.

Dernière modification par leon1789 (29-08-2016 17:04:44)

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#11 29-08-2016 17:04:19

tibo
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Re,

@leon : Je ne connais pas ce théorème. As-t-il un petit nom?

@Dlz : L'idée de prendre un exemple n'est pas mauvaise. Surtout, comme l'a dit leon, dans ce type de problème où l'on se doute que le résultat sera le même dans le cas général. Par contre ce n'est effectivement pas une démonstration.
Mais si son théorème est juste, l'exercice est plié.

Pour le niveau collège, j'en doute... As-tu la solution?


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#12 29-08-2016 17:39:22

Dlzlogic
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Bon, quand je dis que le rapport des aires n'est pas 1/4, je veux simplement dire que ce n'est vrai qu'avec les valeurs numériques de l'énoncé.
Voila la solution que je propose.
On sait que trois valeurs indépendantes définissent un triangle. Il y a des exos classiques, par exemple, définir un triangle connaissant la longueur des trois hauteurs. La particularité de celui-ci est qu'on connait les 3 aires.
On sait qu'un triangle conserve son aire si un sommet se déplace sur la parallèle au côté opposé. Pour résoudre le problème, il est  intéressant de prendre un cas particulier.
Prenons donc un triangle rectangle en A, isocèle et traçons MN parallèle à BC. Il est facile de vérifier l'égalité. On a donc déterminé un triangle ABC qui répond à la question. (autrefois, on disait "supposons le problème résolu").
Si A se déplace sur la parallèle à BC, M et N suivront et la relation est toujours vérifiée.
On déplace ensuite B suivant une parallèle à MC. Les aires sont conservées.
Je ne sais pas si les valeurs numériques ont été données à l'attention des collégiens, ou pour tromper le mode de démonstration.

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#13 29-08-2016 18:16:22

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

tibo a écrit :

@leon : Je ne connais pas ce théorème. As-t-il un petit nom?

je ne sais pas (je suis assez ignare en géométrie), mais cela ne serait pas étonnant.

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#14 29-08-2016 19:21:30

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Dlzlogic a écrit :

Bon, quand je dis que le rapport des aires n'est pas 1/4, je veux simplement dire que ce n'est vrai qu'avec les valeurs numériques de l'énoncé.

Ai-je dit le contraire ? Et pour une formule générale, voir la formule "produit des aires" ci-dessus.

Dlzlogic a écrit :

On sait que trois valeurs indépendantes définissent un triangle. Il y a des exos classiques, par exemple, définir un triangle connaissant la longueur des trois hauteurs. La particularité de celui-ci est qu'on connait les 3 aires.

Remarquer que ces 3 aires ne définissent pas le triangle. Il y a plein de triangles qui vérifient l'énoncé.

Dlzlogic a écrit :

On sait qu'un triangle conserve son aire si un sommet se déplace sur la parallèle au côté opposé.

exact.

Dlzlogic a écrit :

Pour résoudre le problème, il est  intéressant de prendre un cas particulier.

c'est ce que j'ai fait, et tu as critiqué...

Dlzlogic a écrit :

Prenons donc un triangle rectangle en A, isocèle et traçons MN parallèle à BC.

isocèle en A, je suppose.

As-tu un exemple réel, respectant les hypothèses de ton exo, d'un tel triangle rectangle isocèle en A et MN parallèle à BC ?

Dernière modification par leon1789 (29-08-2016 19:22:17)

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#15 30-08-2016 07:14:51

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

La formule Aire(M,O,N) * Aire(B,A,C) = Aire(M,A,N) * Aire(B,O,C) donnée ci-dessus (qui résout l'exercice instantanément)
est une conséquence de cette formule plus précise :

Soit quatre points B,C,M,N distincts.  Si P est l'intersection des droites (B,N) et (M,C) alors
Aire(P,M,N) / Aire(P,B,C) = ( Aire(C,M,N) * Aire(B,M,N) ) / ( Aire(B,C,M) * Aire(B,C,N) )

On applique cette formule avec O=P intersection des droites (B,N) et (M,C)
Aire(O,M,N) / Aire(O,B,C) = ( Aire(C,M,N) * Aire(B,M,N) ) / ( Aire(B,C,M) * Aire(B,C,N) )

On applique cette formule avec A=P intersection des droites (B,M) et (N,C)
Aire(A,M,N) / Aire(A,B,C) = ( Aire(C,M,N) * Aire(B,M,N) ) / ( Aire(B,C,N) * Aire(B,C,M) )

ce qui prouve
Aire(O,M,N) / Aire(O,B,C) = Aire(A,M,N) / Aire(A,B,C) , qui la formule annoncée au-dessus.

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#16 30-08-2016 07:16:12

camille23
Invité

Re : Cancul d'aire d'un triangle

Bonjour,

Vous avez la démonstration devant vous sous forme simple, au lieu de vous chamailler.
il faut construire un triangle qui convienne : de coté [AB] donné par exemple, avec un point M sur [AB].
vous savez où se trouve N : sur une parallèle à (AB) telle que pour un point N sur cette droite l'aire du triangle AMN soit 24.
La clé de la construction c'est de remarquer que le point O se trouvera sur une droite (d)
homothétique de (MN) para rapport au point A et de rapport 5/4.
l'intersection de (BN) et d donne le point O, puis l'intersection de (AN) et (MO) donne le point C.
Reste à ajuster le point M sur [AB] pour que le triangle BOC ait une aire égale à 20 : Je vous conseille Geogebra.

Maintenant vous pouvez translater le point N sur sa parallèle à (AB), C suit sur une parallèle à (AB)
sans que les aires ne changent (remarque de Dlzlogic)...
Déplacez alors le point N sur sa droite parallèle à [AB] pour que l'angle BAN soit droit et faites le calcul de leon1789 du post #2.
alors tout le monde est satisfait !

#17 30-08-2016 08:51:40

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Personnellement, j'essaie de trouver des formules généralisant la situation, mais bon, je conçois que cela ne passionne pas les foules :)

La question finale de mon message #14 concerne un triangle (à partir duquel Dlzlogic fait sa démonstration). Le problème est qu'un tel triangle rectangle isocèle en A, avec MN parallèle à BC, et respectant les hypothèses de l'exo, n'existe pas. (Il y a trop de contraintes... qui ne sont pas toutes nécessaires.)

camille23 a écrit :

il faut construire un triangle qui convienne : de coté [AB] donné par exemple, avec un point M sur [AB].
vous savez où se trouve N : sur une parallèle à (AB) telle que pour un point N sur cette droite l'aire du triangle AMN soit 24.
La clé de la construction c'est de remarquer que le point O se trouvera sur une droite (d)
homothétique de (MN) para rapport au point A et de rapport 5/4.
l'intersection de (BN) et d donne le point O, puis l'intersection de (AN) et (MO) donne le point C.
Reste à ajuster le point M sur [AB] pour que le triangle BOC ait une aire égale à 20 : Je vous conseille Geogebra.

C'est une méthode pour construire un triangle quelconque parmi tous les triangles possibles vérifiant l'énoncé, c'est ça ?

camille23 a écrit :

Maintenant vous pouvez translater le point N sur sa parallèle à (AB), C suit sur une parallèle à (AB)
sans que les aires ne changent (remarque de Dlzlogic)...

A,M,B sont fixes, et N,C se déplacent parallèlement à (AB), ok, et le point O ? Comment voit-on que les aires de MON et BOC ne changent pas (quand il y a 2 sommets sur 3 qui bougent) ?

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#18 30-08-2016 11:05:18

Camille23
Invité

Re : Cancul d'aire d'un triangle

Rebonjour,

Oui c'est ça...
Pour le point O par construction il dépend de l'homothétie de centre A.de rapport 5/4..
Utilisez donc Geogebra : Un must pour la géométrie

#19 30-08-2016 11:14:24

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

Merci pour le confirmation.
Comment voit-on mathématiquement que les aires de MON et BOC ne changent pas (quand il y a 2 sommets sur 3 qui bougent) ?

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#20 30-08-2016 11:59:53

camille23
Invité

Re : Cancul d'aire d'un triangle

rerebonjour,

@leon1789 : il vous faut donc revoir les propriétés de l'homothétie.

Si par construction O est sur (d) homothétique de (MN) par rapport à A (vous avez vu pourquoi !)
alors O et N sont homothétiques par rapport à B....vous voyez pourquoi : regardez l'intersection de (d) avec (AB)
Si N se déplace sur sa droite parallèle à (AB), alors O se déplace aussi sur une droite parallèle à (AB)
Toutes les aires restent constantes car les bases sont fixes et les hauteurs constantes :
C'est de la géométrie simple ! Pas besoin de formule compliquée...

#21 30-08-2016 14:03:42

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

camille23 a écrit :

Si par construction O est sur (d) homothétique de (MN) par rapport à A (vous avez vu pourquoi !)
alors O et N sont homothétiques par rapport à B....vous voyez pourquoi : regardez l'intersection de (d) avec (AB)
Si N se déplace sur sa droite parallèle à (AB), alors O se déplace aussi sur une droite parallèle à (AB)

ok, l'aire constante du triangle MON est assurée par construction de 0 sur (d).

camille23 a écrit :

Toutes les aires restent constantes car les bases sont fixes et les hauteurs constantes

oui, mais encore fuat-il que les bases soient fixes.
Pour le triangle BOC, les points O et C bougent... c'est la construction de C qui maintient l'aire constante ?

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#22 30-08-2016 14:57:32

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

leon1789 a écrit :

Soit quatre points B,C,M,N distincts.  Si P est l'intersection des droites (B,N) et (M,C) alors
Aire(P,M,N) / Aire(P,B,C) = ( Aire(C,M,N) * Aire(B,M,N) ) / ( Aire(B,C,M) * Aire(B,C,N) )

Allez, je vais prouver cette formule. Pour cela, j'utilise les coordonnées barycentriques et le déterminant (comme moyen de calculer les aires : confer https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn% … ns_le_plan )

Notre repère barycentrique est B(1,0,0), C(0,1,0), M(0,0,1).
N, quelconque distinct, pour coordonnées normalisées (n1, n2, n3) avec n1+n2+n3=1

P l'intersection des droites (B,N) et (M,C) a pour coordonnées (0, n2/(n2+n3), 1-n2/(n2+n3))

Enfin, "proportionnellement" à a=Aire(B,C,M) , on obtient à vue :
Aire(N,C,M) = |det(N,C,M)|.a = n1 .a
Aire(B,N,M) = |det(B,N,M)|.a = n2 .a
Aire(B,C,N) = |det(B,C,N)|.a = n3 .a
Aire(N,P,M) = |det(N,P,M)|.a = n1.n2/(n2+n3) .a
Aire(B,C,P) = |det(B,C,P)|.a = n3/(n2+n3) .a

ce qui prouve la formule annoncée.

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#23 30-08-2016 15:00:52

camille23
Invité

Re : Cancul d'aire d'un triangle

rererebonjour,

oui, si vous avez vu pourquoi O est entrainé sur une parallèle à [AB] quand N se déplace sur une parallèle à [AB]
alors regardez la même chose pour C (par exemple voyez qu'une parallèle à MC passant par N coupe [AB] en un point fixe...)
Ces homothéties de centre B (ou de centre A) fonctionnent indépendamment des aires des triangles quand M est fixé sur [AB].

#24 30-08-2016 15:18:21

leon1789
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Re : Cancul d'aire d'un triangle

hum... C'est là où on voit un gros intérêt d'un logiciel de géométrie...

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#25 31-08-2016 04:24:41

camille23
Invité

Re : Cancul d'aire d'un triangle

Bonjour,

@leon1789 : Je pense que vous avez largué du monde avec vos post #15 et #22 (d'un niveau très intéressant).

Pour ceux qui voudraient une géométrie plus habituelle (plus rudimentaire) je conseille d'utiliser :
"deux triangles de même hauteur ont des aires proportionnelles à leur base."

ce qui conduit "naturellement" et visuellement au rapport BM/AM=r

avec [tex]r=\frac{21+\sqrt{105}}{24}[/tex]  et (aire BOM+aire CON) = 30

je confirme aussi post #17 : "un triangle rectangle isocèle en A, avec MN parallèle à BC, et respectant les hypothèses de l'exo, n'existe pas."

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